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双基限时练(十一)
1．设自变量x∈R，下列各函数中是奇函数的是( )
A．y＝x＋3 B．y＝－|x|
C．y＝－2x2 D．y＝x3＋x
答案 D
2．对于定义在R上的任意奇函数f(x)都有( )
A．f(x)－f(－x)>0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)>0
解析 ∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0，故C正确．
答案 C
3．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析 函数f(x)的定义域关于原点对称，
又∵f(－x)＝＋x＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称．
答案 C
4．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D.
解析 当x＝－a时，f(－a)＝－f(a)，
∴过点(－a，－f(a))．
答案 C
5．偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有( )
A．f(－1)>f>f(－π)
B．f>f(－1)>f(－π)
C．f(－π)>f(－1)>f
D．f(－1)>f(π)>f
解析 ∵y＝f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)．
∵0<1<<π<4，y＝f(x)在[0,4]上单调递减，
∴f(1)>f>f(π)．
∴f(－1)>f>f(－π)．
答案 A
6．已知x>0时，f(x)＝x－2021，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x＋2021 B．f(x)＝－x＋2021
C．f(x)＝－x－2021 D．f(x)＝x－2021
解析 设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－x－2021，又由于f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝x＋2021，故选A.
答案 A
7．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析 由f(－x)＝－f(x)，
得＝，
即(x－1)(x－a)＝(x＋1)(x＋a)(x≠0)，∴a＝－1.
答案 －1
8．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个不同的交点，则这四个不同交点的横坐标之和为________．
解析 由题意可知函数f(x)的图象关于y轴对称．所以函数f(x)的图象与x轴的四个不同交点关于y轴对称，因此四个不同交点的横坐标之和为0.
答案 0
9．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.
解析 当x<0时，则－x>0，由f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
所以f(x)＝－x2＋2x.
即g(x)＝－x2＋2x，
因此，f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.
答案 －15
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域是[a－1,2a]，求f(x)的值域．
解 ∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在区间[a－1,2a]上的偶函数，
∴∴
∴f(x)＝x2＋1.
∴f(x)＝x2＋1在上的值域为.
11．推断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，所以为偶函数．
(3)f(x)＝的定义域是[－1,0)∪(0,1]，所以解析式可化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数．
(4)函数的定义域为R.
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．
综上，对任意x∈R，
都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
12．(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上为增函数，求不等式f(4x－5)>0的解集；
(2)已知偶函数f(x)(x∈R)，当x≥0时，f(x)＝x(5－x)＋1，求f(x)在R上的解析式．
解 (1)∵y＝f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0.
又f(4x－5)>0，即f(4x－5)>f(0)，
又f(x)为增函数，∴4x－5>0，∴x>.
即不等式f(4x－5)>0的解集为.
(2)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝－x(5＋x)＋1，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x(5＋x)＋1.
∴f(x)＝
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