河北省邯郸市九校联盟2020-2021学年高一数学下学期期中试题.doc

河北省邯郸市九校联盟2020-2021学年高一数学下学期期中试题

河北省邯郸市九校联盟2020-2021学年高一数学下学期期中试题

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河北省邯郸市九校联盟2020-2021学年高一数学下学期期中试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z＝，则|z|＝
A. B. C. D.
2.满足下列条件的三角形有两解的是
A.a＝1，c＝2，B＝90° B.a＝1，b＝3，A＝120°
C.a＝2，b＝3，sinA＝ D.a＝2，A＝35°，B＝24°
3.设m，n为两个不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.若m//n，mα，nβ，则α//β B.若m⊥n，mα，nβ，则α⊥β
C.若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β D.若m⊥n，m//α，n//β，则α⊥β
4.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是
A.a与λ2a的方向相同 B.a与－λa的方向相反 C.|λa|＝λ|a| D.|－λa|＝－λ|a
5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a－bcosC＝bsinC，△ABC的外接圆半径为2，则b＝
A. B.2 C.2 D.4
6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P，Q分别是A1D1，B1C1的中点，则异面直线AP与DQ所成角的余弦值为

A. B. C.0 D.
7.已知向量a，b满足：|a|＝2|b|＝2，|a＋b|＝，则向量a与向量b的夹角为
A. B. C. D.
8.在△ABC中，已知，则
A.2021 B.2022 C.4042 D.4043
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.复数z＝cosθ＋isinθ，其中θ∈[0，2π)，下列说法正确的是
A.当π≤θ≤时，z对应于复平面内的点在第三象限 B.z＝cos2θ＋isin2θ
C.z·＝1 D.存在θ满足|z|>1
10.已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是
A.若A>B，则a>b B.a2＋b2<c2
C.若sinA<sinC，则cosA<cosC D.sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E为边BC上两个动点，且满足DE＝2，则下列选项正确的是

A.的最小值为 B.的最小值为
C.的最大值为 D.当取得最大值时，点D与点B重合
12.已知在三棱锥P－ABC中，O为AB中点，PO⊥平面ABC，∠APB＝90°，PA＝PB＝2，下列说法中正确的是

A.若O为△ABC的外心，则PC＝2
B.若△ABC为等边三角形，则AP⊥BC
C.当∠ACB＝90°时，PC与平面PAB所成角的最大值为
D.当PC＝4时，M为平面PBC内动点，满足OM//平面PAC，则M在△PBC内的轨迹长度为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a∈R，复数z＝a2＋a－2＋(a－1)i是纯虚数，则a＝ 。
14.已知G为△ABC的重心，且，则λ＝ 。
15.已知三棱锥P－ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，该三棱锥的外接球半径为5，则三棱锥P－ABC的体积最大值为 。
16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点。从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°。已知山高BC＝100m，则山高MN＝ m。两山山顶的距离MC＝ m。(本题第一个空2分，第二个空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知向量a＝(1，2)，b＝(k，3)(k∈R)。
(1)若a//b，求k的值；
(2)若a⊥b，求向量a＋b与b的夹角余弦值。
18.(本小题满分12分)
已知在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，△ABC的面积为S，若cosB＝，a＝2， ，求b的值。
在①4S＝3bcosC，②b2＋c2＝4－bc，③bsinA＝，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的横线上进行求解。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
19.(本小题满分12分)
如图，已知AB，CD分别是圆柱体上底面和下底面的直径，且CD//AB，E为圆柱下底面内的一个动点(不与C、D重合)，若该圆柱的高与底面圆的直径长度均为2。

(1)求证：平面BCE⊥平面ADE；
(2)求三棱锥A－BCE体积的最大值。
20.(本小题满分12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且(b2＋c2－a2)＝4S。
(1)求角A；
(2)若a＝，当b＋2c取得最大值时，求cosB。
21.(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，M为边CD的中点，将△ADM沿直线AM翻折成AME，且BE＝，点P为线段BE的中点。

(1)求证：PC//平面AME；
(2)求直线PC与平面ABM所成角的正弦值。
22.(本小题满分12分)
如图，在∠AOB中，已知∠AOB＝60°，点E、F在射线OB运动(不含端点，且OE<OF)，点P在射线OA上且OP＝2，且∠EPF＝30°。

(1)若OE＝3，求EF长；
(2)当E、F在射线OB运动时，设∠OPE＝θ，记△PEF的面积为S(θ)，求S(θ)的解析式，并求出S(θ)的最小值。