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2021-2022学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 复习课 第4课时 指数函数与对数函数课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 复习课 第4课时 指数函数与对数函数课后训练巩固提升新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

第4课时　指数函数与对数函数
课后训练巩固提升
A组
1.化简2lg(lga100)2+lg(lga)的结果为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:2lg(lga100)2+lg(lga)=(lg2100·lga)2+lg(lga)=2[lg100+lg(lga)]2+lg(lga)=2.
答案:B
2.关于函数f(x)=12x与函数g(x)=log12|x|在区间(-∞,0)内的单调性的描述正确的是(　　)
A.f(x)和g(x)都单调递增
B.f(x)和g(x)都单调递减
C.f(x)单调递增,g(x)单调递减
D.f(x)单调递减,g(x)单调递增
解析:f(x)=12x在区间(-∞,0)内单调递减,g(x)=log12|x|为偶函数,当x∈(0,+∞)时,g(x)=log12x单调递减,所以g(x)在区间(-∞,0)内单调递增.
答案:D
3.已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是(　　)

解析:因为f(x)是函数y=log2x的反函数,
所以f(x)=2x.
所以y=f(1-x)=21-x=12x-1,其函数的图象可由函数y=12x的图象向右平移1个单位长度得到,故选C.
答案:C
4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为(　　)
A.0,18 B.18,14 C.14,12 D.12,1
解析:因为在4个选项中,只有f14f12<0,又函数f(x)的图象是连续不断的,所以函数f(x)的零点所在区间为14,12.
答案:C
5.已知a=log0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
解析:因为y=log0.6x在区间(0,+∞)内为减函数,所以log0.60.6<log0.60.5,即a>1.
同理,ln0.5<ln1=0,即b<0.
又0<0.60.5<0.60,所以0<c<1.
所以a>c>b.
答案:B
6.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,+∞) B.[0,2]
C.(0,2) D.(2,+∞)
解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0<m<2.
答案:C
7.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为　　　　　. 
解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;
当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12,
又因为x>1,所以此时方程无解.
综上,函数f(x)的零点只有0.
答案:0
8.函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为　　　　　. 
解析:由题意得x>0,所以f(x)=log2x·log2(2x)=12log2x·log2(4x2)=12log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=log2x+122-14≥-14.
当且仅当x=22时,有f(x)min=-14.
答案:-14
9.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:分a>1与0<a<1两种情况,画出函数y=ax与函数y=x+a的图象,如图所示.

由图知,当a>1时,两个函数的图象有两个交点;当0<a<1时,两个函数的图象有一个交点.
所以实数a的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
10.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若ab<0,求不等式f(x+1)>f(x)的解集.
解:(1)当a>0,b>0时,因为y1=a·2x,y2=b·3x在R上都单调递增,所以函数f(x)在R上单调递增;
当a<0,b<0时,因为y1=a·2x,y2=b·3x在R上都单调递减,所以函数f(x)在R上单调递减.
综上可知,当ab>0时,函数f(x)在R上单调递增.
(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.
①当a<0,b>0时,32x>-a2b,解得x>log32-a2b;
②当a>0,b<0时,32x<-a2b,解得x<log32-a2b.
故当a<0,b>0时,所求的解集为x　　x>log32-a2b;
当a>0,b<0时,所求的解集为x　　x<log32-a2b.
11.已知函数f(x)=log2(2x+1).
(1)求证:函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;
(2)若g(x)=log2(2x-1)(x>0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在区间[1,2]上有解,求m的取值范围.
(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log22x1+12x2+1.
因为x1<x2,所以0<2x1+12x2+1<1,
所以log22x1+12x2+1<0,所以f(x1)<f(x2).
所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.
(2)解:因为g(x)=m+f(x),所以g(x)-f(x)=m.
设h(x)=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log22x-12x+1=log21-22x+1.
设1≤x1<x2≤2,则3≤2x1+1<2x2+1≤5,
即13≥12x1+1>12x2+1≥15,
即-23≤-22x1+1<-22x2+1≤-25,
∴13≤1-22x1+1<1-22x2+1≤35,
∴log213≤h(x1)<h(x2)≤log235,
即h(x)在区间[1,2]上单调递增且值域为log213,log235.
要使g(x)-f(x)=m有解,需m∈log213,log235.
故m的取值范围为log213,log235.
B组
1.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上单调递增的是(　　)
A.(-∞,1] B.-1,43 C.0,32 D.[1,2)
解析:当2-x≥1,即x≤1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递减.
当0<2-x≤1,即1≤x<2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数f(x)在区间[1,2)内单调递增,故选D.
答案:D
2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),则是“同形”函数的是(　　)
A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
解析:因为f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以f2(x)=log2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度得到y=log2x的图象,再沿着y轴向上平移1个单位长度可得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的图象,根据“同形”函数的定义,f2(x)与f4(x)为“同形”函数.f3(x)=log2x2=2log2|x|与f1(x)=2log2(x+1)不“同形”,故选A.
答案:A
3.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是　　　　　. 
解析:画出函数f(x)的图象如图所示.

设f(a)=f(b)=f(c)=m,不妨设a<b<c,则直线y=m与函数f(x)的图象交点的横坐标从左到右依次为a,b,c.
由图象易知0<a<1<b<e<c<e2,所以f(a)=|lna|=-lna,f(b)=|lnb|=lnb.
因此-lna=lnb,lna+lnb=0,lnab=ln1,于是ab=1.所以abc=c∈(e,e2).
答案:(e,e2)
4.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=log22x,y=x12,y=22x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为　　　　　. 

解析:由题中图象可知,点A(xA,2)在函数y=log22x的图象上,所以2=log22xA,xA=222=12.
点B(xB,2)在函数y=x12的图象上,
所以2=xB12,即xB=4.
由点B为(4,2),可知点C为(4,yC).
又点C(4,yC)在函数y=22x的图象上,所以yC=224=14.
又xD=xA=12,yD=yC=14,所以点D的坐标为12,14.
答案:12,14
5.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
解:(1)要使函数f(x)有意义,则有1-x>0,x+3>0,解得-3<x<1.
故函数f(x)的定义域为(-3,1).
(2)函数f(x)可化为
f(x)=loga[(1-x)(x+3)]
=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].
因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4.
因为0<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4.
所以loga4=-2,即a-2=4,解得a=4-12=12.
6.已知函数f(x)=2x-12x+1+log21+x1-x.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数g(x)=f(1-x2)+f3x2,求函数g(x)的零点.
解:(1)要使函数f(x)有意义,则有1+x1-x>0,解得-1<x<1,故函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)函数f(x)为奇函数.理由如下:
∵f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
对任意的x∈(-1,1),有f(-x)=2-x-12-x+1+log21-x1+x=1-2x1+2x-log21+x1-x=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(3)要求函数g(x)的零点,即求方程g(x)=0的解.
由f(1-x2)+f3x2=0及f(x)为奇函数,可得f3x2=-f(1-x2)=f(x2-1),任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=2x1-12x1+1+log21+x11-x1-2x2-12x2+1+log21+x21-x2
=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)+log21+x11-x1·1-x21+x2.
∵-1<x1<x2<1,2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0,
(1-x1)(1+x2)-(1+x1)(1-x2)=2(x2-x1)>0,
∴0<1+x11-x1·1-x21+x2<1,∴log21+x11-x1·1-x21+x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在定义域(-1,1)内为增函数,
∴由f3x2=f(x2-1),得3x2=x2-1,
解得x=2或x=-12.
验证当x=2时,1-x2<-1,不符合题意,
当x=-12时,符合题意.
∴函数g(x)的零点为x=-12.