2021-2022学年高中数学-4-指数函数与对数函数-4.2-第2课时-指数函数的性质的应用课后素.doc

2021-2022学年高中数学 4 指数函数与对数函数 4.2 第2课时 指数函数的性质的应用课后素养落实新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 4 指数函数与对数函数 4.2 第2课时 指数函数的性质的应用课后素养落实新人教A版必修第一册

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课后素养落实(二十九)　指数函数的性质的应用
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝－1.5，则(　　)
A．c>a>b　　 B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
D　[a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝－1.5＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．
C．(－∞，1) D．
B　[∵函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C.∪(1，＋∞) D．
A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A.]
4．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
A　[因为f(x)＝3x－x，定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．]
5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6　　 B．1
C．3　　 D．
C　[函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.]
二、填空题
6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
m<n　[∵a＝∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]
7．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
(－1,0)∪(0,1)　[由x<0，得0<2x<1；由x>0，
∴－x<0,0<2－x<1，
∴－1<－2－x<0.
∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．]

8．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
[0，＋∞)　[由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝1－x2的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝1－x2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；
(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．
[解]　(1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝x在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．
(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以x2－2x≤3，
即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．
10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
[解]　(1)设t＝3x，∵x∈[－1,2]，函数t＝3x在[－1,2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为.
(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，
故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.

1．(多选)若f(x)＝3x＋1，则(　　)
A．f(x)在[－1,1]上单调递增
B．y＝3x＋1与y＝x＋1的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点(0,1)
D．f(x)的值域为[1，＋∞)
AB　[f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选AB.]
2．(多选)关于函数f(x)＝的说法中正确的是(　　)
A．偶函数
B．奇函数
C．在(0，＋∞)上是增函数
D．在(0，＋∞)上是减函数
BC　[∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又y＝πx在(0，＋∞)上单调递增，y＝π－x在(0，＋∞)上单调递减，∴y＝πx－π－x在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选BC.]
3．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
　[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立，
即a≥－x－x在(－∞，1]上恒成立．
又y＝－x－x＝－2x－x在(－∞，1]上的最大值为－，∴a≥－.]
4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
　[∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，
∴x>1－x，即x>.]

已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；
(2)是否存在实数a使f(x)为奇函数？证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
[解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.
∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2 x1)(1＋2 x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．
(2)存在．若f(x)在x∈R上为奇函数，
则f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.
(3)由(2)知，f(x)＝－，由(1)知，f(x)为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
∵f(1)＝－＝，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.