2021-2022学年高中数学-第4章-指数函数与对数函数-4.4-第1课时-对数函数及其图象、性质.docx

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 第1课时 对数函数及其图象、性质巩固练习新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 第1课时 对数函数及其图象、性质巩固练习新人教A版必修第一册

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第1课时　对数函数及其图象、性质(一)
课后训练巩固提升
A组
1.给出下列函数:①y=log23x2;②y=log3(x-1);③y=log(x+1)x;④y=logπx.其中是对数函数的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:A
2.函数y=xln(1-x)的定义域为(　　)
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
解析:由题意可知x≥0,1-x>0,得0≤x<1,故选B.
答案:B
3.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f12的值为(　　)
A.-log23 B.-log32
C.19 D.3
解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f12=log312=-log32,
故选B.
答案:B
4.函数y=|lg(x+1)|的图象是(　　)

解析:因为y=|lg(x+1)|≥0,且当x=0时,y=0,故选A.
答案:A
5.下列不等号连接错误的一组是(　　)
A.log0.52.2>log0.52.3 B.log34>log65
C.log34>log56 D.logπe>logeπ
解析:因为y=log0.5x是区间(0,+∞)内的减函数,所以选项A正确;
因为log34>log33=1=log55>log65,所以选项B正确;
因为log34=1+log343>1+log365>1+log565=log56,所以选项C正确.
因为π>e>1,所以logeπ>1>logπe,故选项D错误.
答案:D
6.若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=12-x,则f(2)+g(4)=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:方法一:∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)=12-x=2x,
∴g(x)=log2x,∴f(2)+g(4)=22+log24=6.
方法二:∵f(x)=12-x,∴f(2)=4,即函数f(x)的图象经过点(2,4).
∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,
∴函数g(x)的图象经过点(4,2).
∴f(2)+g(4)=4+2=6.
答案:D
7.已知对数函数f(x)的图象经过点(8,-3),则f(22)=　　　　　. 
解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则-3=loga8,所以a=12.所以f(x)=log12x.所以f(22)=log1222=-log222=-32.
答案:-32
8.若loga(π-3)<logb(π-3)<0,a,b为不等于1的正数,则a,b,1之间的关系是　　　　　. 
解析:由已知得1log(π-3)a<1log(π-3)b<0,
所以log(π-3)b<log(π-3)a<0.所以1<a<b.
答案:1<a<b
9.比较下列各组对数值的大小.
(1)log3π与log1314;
(2)3log45与2log25;
(3)log20.5与log30.5;
(4)log36与log510;
(5)log43与log25.
解:(1)∵log1314=log34,
又y=log3x在区间(0,+∞)内是增函数,
∴log3π<log34.
∴log3π<log1314.
(2)∵3log45=log453=log4125,2log25=log252=log225,
又log225=log4252=log4625,且y=log4x在区间(0,+∞)内是增函数,
∴log4125<log4625.
∴3log45<2log25.
(3)∵0<0.5<1,
∴函数y=log0.5x在区间(0,+∞)内是减函数.
∴log0.53<log0.52<log0.51=0,
∴1log0.53>1log0.52,即log20.5<log30.5.
(4)∵log36=log33+log32=1+log32,同理log510=1+log52,
又log32>log52,∴log36>log510.
(5)∵0<log43<1,log25>1,
∴log43<log25.
10.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式;
(2)解不等式:g(x)≤loga(2-3x).
解:(1)指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数为g(x)=logax(a>0,且a≠1,x>0).
(2)由g(x)≤loga(2-3x),得logax≤loga(2-3x).
若a>1,则x>0,2-3x>0,x≤2-3x,解得0<x≤12;
若0<a<1,则x>0,2-3x>0,x≥2-3x,解得12≤x<23.
综上所述,当a>1时,不等式的解集为0,12;当0<a<1时,不等式的解集为12,23.
B组
1.若函数f(x)=a-lgx的定义域为(0,10],则实数a的值为(　　)
A.0 B.10 C.1 D.110
解析:由已知,得a-lgx≥0的解集为(0,10].由a-lgx≥0,得lgx≤a,又当0<x≤10时,lgx≤1,所以a=1,故选C.
答案:C
2.若a>0,且log0.25(a2+1)>log0.25(a3+1),则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析:∵log0.25(a2+1)>log0.25(a3+1),
∴a2<a3,即a2(1-a)<0,
∴a>1.故选C.
答案:C
3.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(　　)
A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2
C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1
解析:分别作出三个函数的大致图象,如图所示.由图可知x2<x3<x1.

答案:A
4.若函数f(x)=3loga(2x-7)-3(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的坐标为　　　　　. 
解析:令2x-7=1,得x=3.
又f(3)=3loga1-3=-3,
所以f(x)的图象经过定点P(3,-3).
答案:(3,-3)
5.已知loga(3a-1)恒为正,则a的取值范围是　　　　　. 
解析:由题意知loga(3a-1)>0=loga1.
当a>1时,y=logax在区间(0,+∞)内是增函数,所以3a-1>1,3a-1>0,解得a>23,所以a>1;
当0<a<1时,y=logax在区间(0,+∞)内是减函数,所以3a-1<1,3a-1>0,解得13<a<23.所以13<a<23.
综上所述,a的取值范围是13<a<23或a>1.
答案:13,23∪(1,+∞)
6.已知函数f(x)=|log12x|的定义域为12,m,值域为[0,1],则m的取值范围为　　　　　. 
解析:作出f(x)=|log12x|的图象(如图)可知f12=f(2)=1,f(1)=0,由题意结合图象知1≤m≤2.

答案:[1,2]
7.已知对数函数f(x)的图象过点(4,2),试解不等式f(2x-3)>f(x).
解:设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
因为f(4)=2,所以loga4=2,所以a=2,
所以f(x)=log2x,
所以由f(2x-3)>f(x),可知log2(2x-3)>log2x,
即2x-3>0,x>0,2x-3>x,解得x>3,
所以原不等式的解集为(3,+∞).
8.若不等式x2-logmx<0在区间0,12内恒成立,求实数m的取值范围.
解:由x2-logmx<0得x2<logmx,在同一坐标系中作出y=x2和y=logmx的草图,如图所示.

要使x2<logmx在区间0,12内恒成立,只要y=logmx在区间0,12内的图象在y=x2的图象的上方,于是0<m<1.
当x=12时,y=x2=14.
所以只需x=12,y=logm12≥14=logmm14成立.
所以12≤m14,即116≤m.
又因为0<m<1,所以116≤m<1,即实数m的取值范围是116,1.