初中数学分类讨论问题专题.doc

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中考数学专题复习——分类讨论问题
朱江敏

使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。

对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。

对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。

1：分式方程无解的分类讨论问题
例题1：（2011武汉）
解：去分母，得：

猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？
例题2：（2011郴州）

2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3：（2010上海）已知方程有实数根，求m的取值范围。
（1） 当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=
（2） 当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且
综（1）（2）得，
常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4：（2011益阳）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。
解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即，，
同理，且，又因为m为整数
（1）当m=—1时，第一个方程的根为不是整数，所以m=—1舍去。
（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.
练习：已知关于ｘ的一元二次方程有实数根，则ｍ的取值范围是：

3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题
例题:5：（2011青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）

Ａ 12　　　　　Ｂ 12或15　　　Ｃ 15　　　 　Ｄ 不能确定

例题6：（2011武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）
析：，
没有给图形的计算题得多留意多解；图形的可能性

例题7：（2011湘西）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为：3或11.

A
B
C
例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm或120cm
分析：1、折点A、B都有可能；
给了图形的指代不明导致多解

4：动点问题的分类分类讨论问题
4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；

分段函数引起思考不同时段不同的关系

例题9：（2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。

A
B

C
D

解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。
　　∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|= (cm)
　　（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
　　（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t
　　（4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
　　综上得：|PD|=
　　总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
例题10：（2010福建）已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。

分析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标，A点坐标（9，0）。设P点坐标为，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为。（不适合条件的解已舍去）
总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
例11：(2010湖北)如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似M
E
A
B
C
D
N
。
分析与解答 勾股定理可得AE=．当△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1） 当DM与BE是对应边时，，
即．（2）当DM与AB是对应边时，
，即 故DM的长是．
例题12：（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。

A
B
C
O
Q

说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．
解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。
易得：
（2） 依题意得，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)
1) 以AQ为底，则有AB=QB,及解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)
2) 以BQ为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,) Q(1,)
3) 以AB为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).
综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,) 、(1,)

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