沪教版高三数学分类讨论专题复习——函数、方.doc

“分类讨论专题讲解函数、方程与不等式的分类情形”知识定位分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、探索性，能训练人的思维挑理性和概括性，所以在高考题中占有重要的位置知识梳理引起分类讨论的原因主要是以下几方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的如的定义为、三种情况这种分类讨论题型可以称为概念型（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者时分类给出的如等比例的前项和的公式，分和两种情况这种分类讨论题型可以称为性质型（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论如解不等式时分、和三种情况讨论这种称为含参型（4）某些不确定的数量、不确定的图形的形状和位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性（5）较复杂的或非常规的数学问题，需采用分类讨论的策略解决分类讨论的标准： 涉及的数学概念是分类定义的； 涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的； 涉及题中所给出的限制条件或研究对象的性质而引起的； 涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果二引起的； 涉及几何图形的形状、位置的变化而引起的； 一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的分类讨论的步骤一般可分为以下几步： 确定讨论的对象及其范围； 确定分类讨论的标准，正确进行分类； 逐步讨论，分级进行； 归纳整合，作出结论例题精讲【试题来源】【题目】函数在中的最大值比最小值大，则的值为【答案】：当是，原函数在上单调递增，解得（舍去），当时，原函数在上单调递减，解得（舍去），【解析】此处注意指数函数底的讨论，要求熟悉掌握指数对数函数的分类情形【知识点】【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】设，且，比较与的大小【答案】：（1）当（2）当由（1）、（2）可知，【解析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数有关，所以对底数分两类情况进行讨论本题要求对对数函数的单调性的两种情况十分熟悉，即当时其是增函数，当时其是减函数去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性【知识点】【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【备注】对于基础不好的学生，解析时可引导学生回忆复习指数和对数的一些运算公式，指数对数函数的急图像和性质，注重基础知识的梳理和总结。【试题来源】【题目】设函数的图像与轴恰有一个公共点，求实数的值及公共点坐标【答案】：（1）当时，此时，它的图像是一条直线若，则，它的图像与轴只有一个公共点，符合题意若（2）当，则是二次函数，它的图像是抛物线当且仅当判别式时，抛物线与轴恰有一个公共点由，得当时，解得或，此时公共点为当时，解得，（舍）综上所述，所求值为1或0，相应公共点为或【解析】该题比较简单，考查的是对函数解析式的分类讨论，特别是对二次函数二次系数的讨论往往是学生容易出错的地方【知识点】【适用场合】当堂练习题【难度系数】1【备注】该题比较简单，适用于一些基础较差的学生。【试题来源】【题目】设，在复数集中，解方程：【答案】解法一 ，由得：为实数或纯虚数当时，解得：当为纯虚数时，设，解得：；由上可得，或解法二 设，代入得；当时，解得，所以；当时，解得，所以由上可得，或【解析】：由已知和可以得到，即对分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解本题用标准解法（设再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对分两类讨论则简化了数学问题 此题属于复数问题标准解法，即设代数形式求解，其中抓住而分和两种情况进行讨论求解，实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想【知识点】【适用场合】当堂例题【难度系数】3【备注】教学时可引导学生用两种方法尝试，比较两种方法的利弊，并体会两种方法中包含的分类讨论思想【试题来源】【题目】设为实数，函数（1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值【答案】：（1）当时，是偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数（2）：当时，当时，；当时，：当时，函数当时，；当时，综上所述，当时，；当时，；当时，【解析】该题（1）问结合函数奇偶性的定义即可分析出答案，（2）问里要对二次函数的定义域和参数a分两个层次的讨论，最后做综合比较，必须明晰讨论标准。【知识点】【难度系数】5【适用场合】当堂例题【试题来源】【题目】设数列为递增数列，且，（为正整数）若对于任意的，总有两个不同的根（1）试写出，并求出； （2）求，并求出的通项公式；（3）设，求【答案】（1），又，总有两个不同的实根，且（2）1当时，为增函数，不合题意，舍去；2当时，时，有唯一解，不合题意（3）当时，当时，【解析】注意学会分类讨论中常用的奇偶分析【知识点】【适用场合】课堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】在何范围内，对任意实数都成立【答案】设若，对为任意实数都成立，（1）若则当时，即；（2）若，则当时，；（3）若，则当时，又，不符合题意舍去综上所述，【解析】先用同角三角比公式转化成二次函数的形式，然后结合二次函数的对称轴讨论区间上的最大值【知识点】【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知函数，求的值【答案】（1）若（2）若综上所述，【解析】利用辅助角公式并结合换元法转化成二次函数的最值讨论问题。【知识点】【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】 设是由正数组成的等比数列，是前项和（1）证明：；（2）是否存在常数，使得成立？并证明结论【答案】设的公比，则（1） 当时，从而；当时，从而由上可得，所以，即（2） 要使成立，则必有，分两种情况讨论如下：当时，则当时，则即, 而对数式无意义由上综述，不存在常数，使得成立【解析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解其中在应用等比数列前项和的公式时，由于公式的要求，分和两种情况【知识点】【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真明题还是假命题，并说明理由（1）设过点的直线交抛物线于点【答案】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点、；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，由得又，综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题；（3） 逆命题是：设直线交抛物线于两点，如果，那么该直线过点该命题是 假命题例如：取抛物线上的点，此时，直线的方程为：，而 不在直线上；【解析】由抛物线上的点满足，可得，或，如果，可证得直线过点；如果，可证得直线过点，而不过点【知识点】【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知椭圆的中心为坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，=，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 【答案】(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，解得，所以，椭圆的标准方程为（2）设，其中由已知及点在椭圆上可得整理得，其中 时化简得 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段 时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；【解析】（1）问中的定点指的是长轴上的顶点 （2）中先要整理出曲线方程，然后结合所学的各种曲线类型分类讨论。【知识点】【适用场合】当堂练习【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】函数的最小值记为，则等于【答案】【解析】利用换元法把整体换掉，转化成二次函数，然结合二次函数的定义域讨论对称轴的位置，进而得到用含有a的式子表达的最小值【知识点】【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【试题】若不等式对一切成立，则的取值范围【答案】【解析】1、讨论对称轴相对于给定的定义域的位置关系2、也可以用分离参数法转化成不等式横恒成立问题，恒成立【知识点】【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【试题】函数的值域是【答案】【解析】可以按象限讨论四个式子的取值【知识点】【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【试题】若函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，则正实数的值为_【答案】【解析】首先用降幂公式把f(x)变形整理，然后利用周期公式求出的值，注意有两个取值。【知识点】【适用场合】随堂课后练习【难度系数】1【试题来源】【试题】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和4的矩形，则它的的体积为【答案】【解析】注意讨论高的取值为2或者为4【知识点】【适用场合】课后一周练习【难度系数】2【试题来源】【试题】过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是【答案】【解析】注意截距相等的直线可能有不同的情况。【知识点】【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【试题】到空间不共面的个点距离相等的平面的个数是【答案】7【解析】按平面两端分布的点的个数可以分为两类，一类是一三分布，一类是二二分布，前面一种有种，另外一类有种，所以共有7种。【知识点】【适用场合】课后一周练习【难度系数】5【试题来源】【试题】设是方程的两根，求（用的解析式表示）【答案】（1）当方程有实根时，；当；（2）当方程有虚根时， 所以【解析】该题要注意虚根的讨论，这是学生容易遗漏的情况。【知识点】【适用场合】课后两周练习【难度系数】4【试题来源】【试题】已知函数和的图像关于原点对称，且，（1）求函数的解析式；（2）解不等式；（3）若在上是增函数，求实数的取值范围【答案】（1）（2）由当时，此时不等式无解当时，原不等式的解集为（3）当时，在上是增函数当时，二次函数的对称轴方程 当时，解得 当时，解得 综上【解析】本题讨论的点还是在二次函数的二次系数和对称轴位置【知识点】【适用场合】课后一月练习【难度系数】3【试题来源】【试题】已知点，（为正整数）都在函数的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）设数列的前项的和，求；（3）设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；【答案】（1），（ ，是等比数列(2)因为是等比数列，且公比，当时， ；当时，因此，（3），设，当最大时，则，解得，所以时取得最大值，因此的面积存在最大值【解析】求含有指数式分式的极限时注意对底的讨论，同时数列最大项最小项的求法有两种，一种是解法当中的方法，另外还有一种可以通过求数列的单调性去判断，相邻项做差法和相邻项做商法是判断数列单调性的常用方法【知识点】【适用场合】阶段测验【难度系数】4【试题来源】【试题】动点到两定点，连线的斜线之积为，求动点的轨迹方程，并讨论当值在内变化时曲线的变化情况【答案】解：设动点的坐标为，于是得，即，当时，表示焦点在轴上的双曲线；当时，变为，即是轴；当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示圆心在原点，半径为的圆；当时，表示焦点在轴上的椭圆【解析】方程整理出来以后，结合所学曲线方程标准形式进行讨论即可。【知识点】【适用场合】随便练练【难度系数】314 / 14