浙江省舟山市2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题.doc

浙江省舟山市2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题

浙江省舟山市2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题

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姓名：

13

浙江省舟山市2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题
参考公式：
球的表面积公式
锥体的体积公式（其中表示锥体的底面积，表示锥体的高）
球的体积公式（其中表示球的半径）
台体的体积公式（其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高）
柱体的体积公式（其中表示柱体的底面积，表示柱体的高）
第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A．不存在 B． 0° C．90° D． 180°
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3. 若直线与平面不平行，且直线也不在平面内，则 （ ）
A．内不存在与异面的直线 B．内存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与相交 D． 内存在无数条与垂直的直线
4. 已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则它的表面积是（ ）
A． B． C. D．
5. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则
C. 若，则
D．若，则
6. 已知圆与圆相切，则实数的取值个数为（ ）
A． 1 B．2 C. 3 D．4
7. 三棱锥的各棱长都相等，分别是的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）

A．平面 B．平面
C. 平面平面 D．平面平面
8. 双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. 2 D．
9. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是（ ）

A． B． C. D．
10. 如图是椭圆的左、右焦点，是椭圆上两点，满足，若，则直线的斜率为（ ）

A．-1 B． C. D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.双曲线的焦距为________，渐近线方程为___________.
12.已知空间向量分别是的方向向量，则；向量与的夹角为___________.
13.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是__________，此时的弦长为 ．
14.已知斜三棱柱，它的每条棱长均为2，并且侧面与底面垂直，，则与底面所成角的正弦值为__________， ．

15.已知抛物线的焦点恰与双曲线的右焦点重合，为左焦点；点在双曲线上运动，是的内切圆，则介于抛物线内部的圆心的轨迹长为 ．
16.如图，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则四面体的外接球的球心到平面的距离等于 ．

17.已知为椭圆上两点，线段的中点在圆上，则直线在轴上截距的取值范围为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （本题满分14分）
已知点及圆.
（1）若点在圆内部，求实数的取值范围；
（2）当时，求线段的中垂线所在的直线的方程.
19. （本题满分15分）
如图，在三棱台中，面平面，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.

20.（本题满分15分）
已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于两点， 直线的斜率分别是，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.（本题满分15分）
如图矩形中，；分别为的中点，沿将点折起至点，连接.
（1）当时，（如图1），求二面角的大小；

（2）当二面角等于120°时（如图2），求与平面所成角的正弦值.

22.（本题满分15分）
如图已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，与轴分别交于.
（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记两点到直线的距离分别为；求当取最大值时的面积.

试卷答案
一、选择题
1-5:CBDBD 6-10: CCAAD
二、填空题
11. ， 12. 13. 14.
15. 16. 17.
三、解答题
18.（1）圆可以化为，
若点在圆内部，则，
解得：；
（2）当时，线段的中点的坐标为，
，
故线段为的中垂线所在的直线的斜率为-2，
所求直线方程为.
19.（1）证明：

取中点，连接，，
又∵，
又∵平面平面；
（2）证明：取中点，连接由，
∵，
∵，
又∵
.
20.（1）圆的圆心为，半径为，
点在圆内，，
所以曲线是为焦点，长轴长为的椭圆，
由，得，所以曲线的方程为.
（2）①设，由已知直线的斜率存在，设直线：
，联立方程组得，
，

（定值）
21.

（1）取中点，连接，∵，
∴，
∴就是所求二面角的平面角，
因为正三角形，
又因为等腰
，所以二面角的大小为90°.
（2）方法一：几何法
由于沿将点折起至点，所以点在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上又因为三点共线，二面角等于
正三角形

∵平面平面
，
∵，∴又，∴，
又因为，∴，
又由平行四边形对角线性质得：

设与平面所成角为，所以，
方法二：向量法

由于沿将点折起至点，所以点在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，又因为三点共线，二面角等于，
以为原点，分别以为轴，轴，与它们都垂直于的直线为轴.
于是各点坐标如图所示：
∵点坐标为，
所以，
设平面的法向量为，
，
令
.
22.解：（1）设过点与抛物线相切的直线方程为：，
由，
因为相切，所以，
设是该方程的两根，由韦达定理得：，
分别表示切线斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点

所以直线为：，
直线方程为：，
所以过定点.
解：（2）法一
由（1）知，
由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，
即：，
分居直线两侧
，
∴
∴当且仅当，
又由，令得：
；
法二：
因为
由（1）知点坐标为，，
又由（1）知直线方程为：

∴当且仅当取到等号
又由，令得：
.