辽宁省辽阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题.doc

辽宁省辽阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题

辽宁省辽阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题

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辽宁省辽阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的的一般形式可得出复数的虚部.
【详解】，所以，复数的虚部为.
故选：C.
【点睛】本题考查复数虚部的求解，属于基础题.
2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A. －15x4 B. 15x4 C. －20ix4 D. 20ix4
【答案】A
【解析】
试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.
【考点】二项展开式，复数的运算
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．

3.下列求导数运算错误是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则，对选项中的函数逐一求导，即可判断正误.
【详解】,故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式以及导数的运算法则，意在考查对基本公式、基本运算法则掌握的熟练程度，属于基础题
4.在复平面内，复数的对应点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依据题意可得复数，然后根据共轭复数的概念，可得结果.
【详解】由题可知：复数的对应点为，则
所以
故选：A
【点睛】本题考查共轭复数以及复数与所对应的点之间的关系，熟悉概念，属基础题.
5.除以，所得余数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，展开式的通项为，不能被整除即时，余数为，由于余数要为正数，故加，得.
【点睛】本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题，关键在于将原式转化为的倍数来展开. 二项式的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.
6.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，
所以二项式中奇数项的二项式系数和为．
考点：二项式系数，二项式系数和．

7.已知复数满足，其中为虚数单位，则等于（ ）
A. 10 B. C. 5 D.
【答案】D
【解析】
由题意，则，故选D．
8.5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依次考察3项冠军被获得的可能情况,分为3个步骤，利用分步计数原理求解.
【详解】5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），依次考察3项冠军被获得的可能情况,分为3个步骤，每个步骤都有５种不同的可能，根据分步计数原理可知获得冠军的可能种数为，
故选：A.
【点睛】本题考查分步计数原理的实际应用，关键是按什么标准分步骤的问题，分步计数原理，要保证每一步的不同选择对下一步选择的方法数的影响是相同的，本题属于基础题，重点题，易错题.
9.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求导分析导函数大于0的区间即可.
【详解】易得,当时解得.故函数的单调递增区间是.
故选：D
【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题.
10.已知函数在上有导函数， 图象如图所示，则下列不等式正确的是（　 ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设函数，则，则函数为增函数，再利用一次函数的增减性即可得解.
【详解】解：设函数，
则，
则函数为增函数，
又，
则，
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.
11.在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（ ）
A. 216 B. 288 C. 312 D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】
根据能被2整除，可知偶数.最高位不能为0，可分类讨论末位数字，即可得总个数.
【详解】由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论：
当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有种；
当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有，
综上可知，共有个.
故选：C
【点睛】本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.
12.（安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2018届高三上学期“五校”联考）已知定义在上的函数是它的导函数，恒有成立，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
根据题意，设，则，
又由当时，恒有成立，则，则函数在上为增函数，
又因为，所以，即， 即，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及导数的公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小等知识点的运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答时根据题意构造新函数，利用新函数的单调性比较大小是解题的关键.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，其中第15小题第一空3分，第二空2分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知，那么________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用排列数公式可求得的值.
【详解】由题意可得，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用排列数公式求参数，考查计算能力，属于基础题.
14.若复数z=-1-2i是关于的方程的一个根，(是实数)则p+q=_________.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据实系数方程的虚数根成对出现求解．
【详解】∵复数z=-1-2i是关于的方程的一个根，(是实数)，
∴方程的另一根为，
∴，，，
．
故答案为：7.
【点睛】本题考查实系数方程的复数解，实系数方程的虚数根成对出现，它们互为共轭虚数．
15.用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大________，在四角截去的正方形的边长为________.
【答案】 (1). 8192 (2). 8
【解析】
【分析】
设小正方形边长为，铁盒体积为．根据题意建立函数关系,利用导数研究函数的单调性,进而求解.
【详解】解：设小正方形边长为，铁盒体积为．
．
．
∵，∴．
令，则(舍去 )，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时铁盒的容积最大，，
故答案为：8192；8．
【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，涉及利用导数研究函数的最值，属基础题.
16.已知定义在上的单调函数，对任意的，都有，则函数的图象在处的切线的倾斜角为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，求得的值，进而得到的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解.
【详解】设，则.
因为为单调函数，故不随的变化而变化即是常数.
又，，，，
，，，切线斜率为1，
所以倾斜角为.
∴答案为:.
【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知i是虚数单位，复数，，．
（1）判断z是否为纯虚数，并说明理由；
（2）求的值．
【答案】（1）不为纯虚数，理由详见解析；（2）0.
【解析】
【分析】
（1）根据复数除法运算法则，求出，即可得出结论；
（2）由二项展开式定理，所求式子化为，由虚数单位定义，即可求解.
【详解】（1），不为纯虚数；
（2）
．
【点睛】本题考查复数的代数运算、二项展开式定理的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
18.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线且过原点，求直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，即可求得直线方程．
【详解】（1），
，
所以曲线在点处的切线方程为：
（2）设直线与曲线相切的切点坐标为即：则切线方程为
把代入得，所以
此时，切点
所以直线方程为：
【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，属于中档题.
19.有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；
(2)全体站成一排，女生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生互不相邻．
【答案】（1）72（2）36（3）72
【解析】
【分析】
（1）分两步分析：①、在中间3个位置选出1个，安排甲，②、将剩下的4人全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分两步分析：①、将3名女生看成一个整体，考虑其之间的顺序，②、将这个整体与2名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（3）分两步分析：①、将3名女生全排列，分析女生之间的空位，②、在4个空位中任选2个，安排2名男生，由分步计数原理计算可得答案；
【详解】(1)甲为特殊元素．先排甲，有3种方法，其余4人有种方法，故共有3×=72种方法．
(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与2名男生在一起进行全排列，有种方法，再将3名女生进行全排列，有种方法，故共有×＝36种方法．
(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的4个空位中任选2个空位排男生，有种方法，故共有×＝72种方法．
【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及排列问题中的几种常用方法，特殊元素优先安排，相邻捆绑，不相邻插空.
20.（1）在的展开式中，求的系数；
（2）设，，求下列各式的值.
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）.
【答案】（1）120；（2）（ⅰ）1；（ⅱ）364；（ⅲ）12.
【解析】
【分析】
(1)利用二项式定理求得的系数的表达式，再利用组合数的计算公式，即可求解.
(2) 令即可求得（ⅰ）的结果，令得；令，计算即可求得（ⅱ）的结果，对已知条件两边求导，令即可求得（ⅲ）的结果.
【详解】（1）在的展开式中，项的系数为
.
（2）（ⅰ）令得
（ⅱ）令得；
令，得与（ⅰ）中式子相加得：，
所以
（ⅲ），求导可得：

令得：.
【点睛】本题考查了二项展开式系数，考查了二项式定理的性质及其应用、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
21.设函数的导数满足，，其中常数.
（1）求值；
（2）设，求函数的极值.
【答案】（1）；（2）极小值，极大值.
【解析】
【分析】
（1）由题，得，求方程组的解，即可得到本题答案；
（2）由题，得，令，得或，令，得函数的减区间，令，得函数的增区间，从而可确定函数的极值.
【详解】（1）∵，∴，
则，解得；
（2）由（1）知，
∴，
令，即，得或，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
从而函数在处取得极小值，，
在处取得极大值，.
【点睛】本题主要考查利用导数值求参数以及利用导数求函数的极值，属基础题.
22.设，.
（1）令，求的单调区间；
（2）若任意且，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
详解】
【分析】
试题分析：（1）求出函数的导函数，对导函数再次求导得到导函数的单调性和0的关系，从而求出函数的单调性即可；（2）已知可转化为时，恒成立，令，则为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数m的取值范围.
试题解析：（1）的定义域为，∴，则，
令，则，
由得，，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，∴，
∴的定义域为上单调递减.
（2）据题意，当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
令，即
则在上是增函数，
∴在上恒成立，∴（），
令（），
∴，∴在上为减函数，
∴，∴.
点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，导数在恒成立中的应用，解题的最大难点在于对导函数与0关系的判断时需进行二次求导以及构造函数，重点是将恒成立问题转化为求最值问题.