高一数学必修四第2章平面向量导学案).doc

§2.1向量的概念及表示（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
1. 了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
高考要求：B级
重难点：对向量概念的理解.
课前准备
（预习教材P55 ~ P57，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、在现实生活中，有些量（如距离、身高、质量、 等）在取定单位后只用
就能表示，我们称之为 ，而另外一些量（如位移、速度、加速度、力、 等）必须用 和 才能表示。
2、我们把 称为向量，向量常用一条
来表示， 表示向量的大小。以A为起点、B为终点的向量记为 。
3、 称为向量的长度（或称为 ），记作
4、 称为零向量，记作 ； 叫做单位向量.
5、 叫做平行向量 叫做相等向量. 叫做共线向量.
二、小试身手、轻松过关
1、下列各量中哪些是向量？
浓度、年龄、面积、位移、人造卫星速度、向心力、电量、盈利、动量
2、判断下列命题的真假:
（1） 向量的长度和向量的长度相等.
（2）向量与平行,则与方向相同.
（3） 向量与平行,则与方向相反.
（4） 两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.
§2.1向量的概念及表示（作业）
完成时间： 年 月　　日　
一、【基础训练、锋芒初显】
1、判断下列命题的真假:
（1） 若与平行同向,且＞，则＞
（2）由于方向不确定，故不能与任意向量平行。
（3） 如果=，则与长度相等。
（4） 如果=，则与与的方向相同。
（5） 若=，则与的方向相反。
（6）若=，则与与的方向没有关系。
2、关于零向量，下列说法中正确的有
（1）零向量是没有方向的。 （2）零向量的长度是0
（3） 零向量与任一向量平行 （4）零向量的方向是任意的。

3、如果对于任意的向量，均有// ,则为_________________

二、【举一反三、能力拓展】
1、 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_____________.

2、 把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是______________.

§2.2.1向量的加法（预学案）
课时：一课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
1. 掌握向量加法的定义.
2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算.
高考要求：B级
重难点：对向量概念的理解.
课前准备
（预习教材P59 ~ P61，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、如何求与的和？

2、向量的加法： 叫做向量的加法。
规定：零向量与任一向量，都有 ．
3、向量加法的法则：
（1）三角形法则： 的方法，称为向量加法的三角形法则。
（2）什么是平行四边形法则？

4、向量的运算律：（用向量表示）
交换律：
结合律：
二、小试身手、轻松过关
1已知△ABC中，D是BC的中点，则=
2、在平行四边形ABCD中，下列各式中不成立的是
1） 2）
3） 4）
§2.2.1向量的加法（作业）
完成时间： 年 月　　日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、已知正方形ABCD的边长为1，，
则=
2、课本P61——3
证明：

3、课本P61——4（作图）
提示：以A点为坐标原点，北、东方向分别为轴、轴正半轴方向。

二、【举一反三、能力拓展】
1、当向量与_______________________时，;
当向量与_______________________时，;
当向量与_______________________时，;
当向量，不共线时，_______________;
同理:______________。
2、向量，皆为非零向量，下列说法正确的是 .
1）．向量与反向，且，则向量的方向与的方向相同.
2）．向量与反向，且，则向量方向相同.
3）．向量与同向，则向量与的的方向相同.
4）．向量与同向，则向量与的方向相同.

§2.2.2向量的减法（预学案）
课时：一课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
1. 掌握向量减法的定义，明确相反向量的意义
2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量
3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算
高考要求：B级
重难点：对向量概念的理解
课前准备
（预习教材P61 ~ P63，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、向量减法是
2、若 ，则 ，记为 ,
求 ，叫做向量的减法。
3、预习P—62 例1 了解如何得到向量的作图方法。

二、小试身手、轻松过关
1、在△ABC中，向量可表示为
① ② ③ ④

2、在菱形ABCD中，下列各式中成立的是
1） 2）
3） 4）

§2.2.2向量的减法（作业）
完成时间： 年 月　　日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、课本P63——1(作图)

2、课本P63——6
证明：

3、化简：=_______________。

二、【举一反三、能力拓展】
1、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中
则=

2、一架飞机向北飞行300km后改变航向向西飞行400km，则飞行的总路程为___________，两次位移和的和方向为____________，大小为______________。

§2.2.3向量的数乘（预学案）
课时：一课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
1. 理解并掌握数乘的意义
2. 理解并掌握数乘的运算律
高考要求：B级
重难点：向量的数乘的综合运用
课前准备
（预习教材P63 ~ P64，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、一般地，实数与向量的积是一个 ，记作 ，它的长度和方向规定如下：
（1）=________;
（2）当>0时， 当<0时，
当=时， 当=0时，
相乘，叫做向量的数乘
2、数乘的运算律
（1）结合律：
（2）分配率： 、
二、小试身手、轻松过关
1、=___________ 2、=_____________。
3、 = ______ __ 4、=___________。
5、=___________。
6、=_________ 。

§2.2.3向量的数乘（作业）
完成时间： 年 月　　日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、课本P64——4（要求有图）

2、课本P64——5

3、=

二、【举一反三、能力拓展】
1、点C在线段AB上，且，则。

2、（2006 安徽高考 文 11）
在ABCD中， 为的中点，
则= (用表示)

§2.2.4向量的共线定理（预学案）
课时：一课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
1. 掌握两个向量共线的条件，能根据条件判断两个向量是否共线
2. 学会用共线向量的条件处理一些几何问题
高考要求：B级
重难点：共线向量的条件
课前准备
（预习教材P64 ~ P66，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、如果，则称

2、一般地对于两个向量，有如下的向量共线定理
如果有一个实数，使 ， 那么 ；
反之，如果 ，那么 .

二、小试身手、轻松过关
已知非零向量满足求证：向量共线.

§2.2.4向量的共线定理（作业）
完成时间： 年 月　　日
一、【基础训练、锋芒初显】
1、课本P66——1
证明：

2、课本P66——2
证明：

3、课本P66——3
证明：

二、【举一反三、能力拓展】
1、设两非零向量，不共线，且，求实数k的值。

2、设两非零且不共线向量，实数满足 ，试讨论的取值.

§2.3.1平面向量的基本定理（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化.
高考要求：B级

课前准备
（预习教材P68 ~ P69，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。
2.我们把________________,叫做这一平面内所有向量的一组__________.
3.一个平面向量用一组基底,表示成的形式，我们称它为向量的___________,当,所在直线___________________,这种分解也称为向量的________________.
二、小试身手、轻松过关
1. 设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. +和- B. 2-3和4-6
C. +2和2+ D. +和
７．已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（　　）
Ａ．（ － ）　　　Ｂ．　－（ － ）
Ｃ．－（ ＋）　　　Ｄ．（ ＋）
§2.3.1平面向量的基本定理（作业）
完成时间： 年 月　　日　
一、【基础训练、锋芒初显】
1. 已知不共线， =+，=4 +2，并且，共线，则下列各式正确的是（ ）
A. =1， B. =2， C. =3， D. =4
2、已知是同一平面内两个不共线的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为　　　　　。

3．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，＝，＝，则＝（　　）
Ａ．（ － ）　　　Ｂ．　－（ － ）
Ｃ．＋　　 　Ｄ．（ ＋）
4．如果３+４＝，２+３＝，其中，为已知向量，则＝　　 　，＝　　　　　　　.

二、【举一反三、能力拓展】
１．当ｋ为何值时，向量＝４+２，＝ｋ＋共线，其中、是同一平面内两个不共线的向量。

2.若向量的一种正交分解是=+，且=2，则.
§2.3.2（1）平面向量的坐标运算（预学案）
课时：第一课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
高考要求：B级

课前准备
（预习教材P70 ~ P71，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、两个向量和差的坐标运算
已知：，为一实数
则=______________________；
即=_____________________________。
同理将=_____________这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于______________________。
2、数乘向量和坐示运算
=____________
即=____________________________
这就是说，实数与向量的积的坐标等于：_______________________________________。
3、向量的坐标表示
若已知,，则=_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。
二、小试身手、轻松过关
1、设则=_________________
2、若点A（-2，1），B（1，3），则=___________________________
§2.3.2平面向量的坐标运算（作业）
完成时间： 年 月　　日　
一、【基础训练、锋芒初显】
1、P75、T1

2、P75、T4(2)

3知则=（ ）
A．（6，-2） B．（5，0） C．（-5，0） D．（0，5）

二、【举一反三、能力拓展】
1求证：设线段AB两端点的坐标分别为，，则其中点M（x,y）的坐标公式是：。

2利用上题公式，若已知A（-2，1），B（1，3）求线段AB中点的M的坐标.

§2.3.2（2）平面向量的坐标运算（预学案）
课时：第二课时 预习时间： 年 月　　日　
学习目标
. 1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。
高考要求：B级

课前准备
（预习教材P73 ~ P74，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
1、两向量平行（共线）的条件
若则存在唯一实数
使；反之，存在唯一实数。
使，则
2、两向量平行（共线）的坐标表示
设，其中则等价于______________________。

二、小试身手、轻松过关
1、已知，且，则x=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2、已知且与共线，则x=( )
A．-6 B．6 C．3 D．-3
3、已知与平行且方向相反的向量的是（ ）
A． B． C． D．
4、已知，且A、B、C三点共线，则C点的坐标是（ ）
A． B． C． D．(-9，-1)

§2.3.2平面向量的坐标运算（作业）
完成时间： 年 月　　日　
一、【基础训练、锋芒初显】
1、已知判断与是否共线？

2、P75、T7

3、P75、T8

二、【举一反三、能力拓展】
1、平面内给定三个向量
（1）求
（2）求满足的实数;
（3）若//，求实数.

2已知△ABC三个顶点ABC的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
C(x3，y3)，求△ABC的重心G的坐标．
§2.4向量的数量积（1）(预学案)
课时：第一课时 预习时间：　 年 月 日
学习目标
1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．了解用数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；
高考要求：C级
课前准备（预习教材P76 ~ P77，完成以下内容并找出疑 惑之处）
一、【知识梳理、双基再现】
1._____________________________ __________叫做的夹角。
2.已知两个______向量，我们把______________叫的数量积。（或________）记作___________即＝______________________其中是的夹角。______________________叫做向量方向上的___________。(见链接部分)
3.零向量与任意向量的数量积为___________。
4.平面向量数量积的性质：设均为非零向量：
①___________
②当同向时，＝ __　当反向时，＝_____ __，
特别地，= 或= 。
③
5. 的几何意义：______________________________。的几何意义：
6.向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。
①＝___________（______律）
②＝___________= = ③＝_________ __
二、【小试身手、轻松过关】
1.已知的夹角为120º，则___________。
2.已知＝12，且，则夹角的余弦值为________。(正弦值= )
3. 已知中，，则这三角形的形状为______________
4.垂直，则＝___________。

§2.4向量的数量积（1）(作业)
课时：第一课时 完成时间： 年 月 日
三、【基础训练、锋芒初显】
1.，则与的夹角为 。
2.已知是单位向量，它们之间夹角是45º，则在方向上的投影为_____ ___， 在方向上的投影为 。
3.边长为的等边三角形ABC中，设则 。
4.有下面四个关系式①0.＝0；②③④，其中正确的有 个。　　　　　
5.则的夹角为120º，则的值为 。
6. 中，<0，则为 三角形。
四、【举一反三、能力拓展】
7.向量夹角为 ，的值。

8.已知向量满足求

9.设是两个垂直的单位向量，且
（１）若求的值。（２）若的值。

§2.4向量的数量积（2）(预学案)
课时：第二课时 预习时间：　 年 月 日
学习目标
1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法；
2．掌握两个向量垂直的坐标条件；
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。
高考要求：C级
课前准备 （预习教材P78~ P79，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、【知识梳理、双基再现】
1.　平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量　　　 　 　（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于　　　　　　　 　　　。
如：设=(5,-7),b=(-6,-4),求= 。
2.平面内两点间的距离公式
①设则________________或=________________。
②如果有向线段的起点为和终点，则=______________ _________（平面内两点间的距离公式）
3.向量垂直的判定设则_____________ ____
如：已知A（1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证是直角三角形。
4.两向量夹角的余弦（0≤≤）
　＝______________________(向量表示)＝______________________(坐标表示)　如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,则与的夹角为___________。
二、【小试身手、轻松过关】
1.已知则 。
2.已知则夹角的余弦为 。
3.则___ _。
4.已知则__________。
5．已知，，则 。
§2.4向量的数量积（2）(作业)
课时：第二课时 完成时间：　 年 月 日
三、【基础训练、锋芒初显】
1.则_____，______ _ 。
2.与垂直的单位向量是____ _____ ，平行的单位向量为 。
3.则方向上的投影为_____ ____。
4. A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且则的夹角为_____ __ 。
5.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为 三角形。
6.已知_______（其中为两个相互垂直的单位向量）
7.已知则等于 。　
8.若与　　　　　 互相垂直，则m的值为 。
四、【举一反三、能力拓展】
9.求①与
②与垂直，且大小的向量。

10.已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90º若不能，说明理由；若能，求C坐标。

§2.4向量的数量积（3）(预学案)
课时：第三课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1．灵活进行向量数量积的两种运算方法(向量运算、坐标运算)；
2．能灵活运用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直等几何问题。
高考要求：C级
一、【知识梳理、双基再现】
1.夹角为450,　使垂直，则＝______ 。
2._______ 。
3._______。
4.的夹角为钝角，则的取值范围为_________。
5.若，则实数的值为 。
6.若互相垂直，则实数X的值为（ 　）
二、【小试身手、轻松过关】
7.已知，则的值为 。
8.若＝_________。
9．已知，，则a与b的夹角是 。
10．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证： AD，BE，CF相交于一点.

§2.4向量的数量积（3）(作业)
课时：第三课时 完成时间：　 年 月 日
三、【基础训练、锋芒初显】
11.设是任意的平面向量，下列命题中正确的是 。
① ② ③
④ ⑤
12.若平面四边形满足， ，则四边形一定是 。

(平行四边形、梯形、菱形、等腰梯形、正方形、长方形)
13．已知，试求：
① ，②与的夹角为 。
四、【举一反三、能力拓展】
14.已知，当k为何值时，
（1）垂直？
（2）平行？平行时它们是同向还是反向？

15．已知直线，与直线，求两直线的夹角的余弦值？

§2.5向量的应用(预学案)
课时：一课时 预习时间： 年 月 日
学习目标
1．经历用向量方法解决简单的几何问题、力学问题的过程；
2．体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力我解决实际问题的能力。
高考要求：A级
一、【小试身手、轻松过关】
1、的三个顶点坐分别为A（-2，1）,B（-1，3），C（3.4）则顶点D的坐标为 。
2.中心为0，P为该平向任一点，且则______ 。
3．某人骑自行车的确速度为，风速为，则逆风行驶的速度在大小为 。
4.已知一物体在共点力的作用下产生位移则共点力对物体做的功W为 。
5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观测站C的北偏东，灯塔B在观测站C的南偏东，则灯塔B的距离为 。
二、【基础训练、锋芒初显】
6. 的顶点A（-2，3）， B.（4，-2），重心G（2，-1）则G点的坐标为__________
5.如右图，已知平行四边形ABCD、E、E在对角线BD上，并且.
F
A
D
求证：ABCF是平行四边形。

E

C
B

7.在水流速度为的河水中，一艘船以12km/h的速度垂直对岸行驶，求这艘船实际航行速度的大小与方向。

§2.5向量的应用(作业)
课时：一课时 完成时间：　 年 月 日
一、【举一反三、能力拓展】
1.求证：平行四边形两条对角线的平行和等于四条边平方和。

2.已知四边形ABCD，，，0是BD的中点，试用证明A、0、C三点等线，且。

四、【举一反三、能力拓展】
3.一辆汽车从A地出发向西行驶了100km到过B地，然后又改变方向向北偏西400走了200km到达C地，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D地，求这辆汽车的位移。

4.如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上，∠ACW＝1500,∠BCW=1200,求物体平衡时，A和B处所受力的大小。（绳子质量忽略不计），g=10N/kg）。　　　　
A
B

C

G(W)

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