初中数学分类讨论思想例题分析.doc

分类讨论思想例题分析

[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。

例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。
A
B
C1
C2

练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上

例2下列说法正确的是（ ）
A、 两条线段相交有且只有一个交点。
B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C、两条射线不平行就相交。
D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。

例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）

[练习] 已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。
（1）射线OC在内 （2）射线OC在外

这两种情况下，都有
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然的大小不确定，但是所求的与的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。

[三角形中分类讨论思想的应用]
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
1、三角形的形状不定需要分类讨论
  例4、 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。
   解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。  如图1，当△ABC的高在形内时，由，  得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由  ∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。    如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。 由，得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°
 ∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°

2、等腰三角形的分类讨论：
a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。

例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。
b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。
例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°
[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

2、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。
3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_____________。
    解析：由，可得且
    分别解这两个方程，可得满足条件的解，或
    由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
    当两直角边长分别为2，2时，斜边长为；
    当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；
    当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。
    综上，第三边的长为或或。

4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

例8、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）
(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)
A
C
B
P

析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选(B)。

四、本节小结
分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。 3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)