全国中考数学分类解析汇编专题2：几何问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编
专题2：几何问题

一、选择题
1. （2012上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【 】
　 A． 外离 B． 相切 C． 相交 D． 内含
【答案】D。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，6﹣2=4，4＞3，即两圆圆心距离小于两圆半径之差，
∴这两个圆的位置关系是内含。故选D。
2. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】

A.10 B. C. 10或 D.10或
【答案】C。
【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理
【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：

①如左图：
∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=10 。
②如右图：
∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=。
因此，原直角三角形纸片的斜边长是10或。故选C。
3. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】
　 A． 5 B． 6 C． 11 D． 16
【答案】C。
【考点】三角形三边关系。
【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C。
4. （2012广东珠海3分）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为【 】
A. 30° B. 45° C ．60° D．90°
【答案】C。
【考点】弧长的计算。
【分析】根据弧长公式，即可求解
设圆心角是n度，根据题意得，解得：n=60。故选C。
5. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】

　　A．90　　B．100　　C．110　　D．121
【答案】C。
【考点】勾股定理的证明。
【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。
6. （2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再
向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】
A.（－2，3） B.（－1，4） C.（1，4） D.（4，3）
【答案】D。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换。
∵的顶点坐标是（1，1），
∴点（1，1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4，3），即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，3）。故选D。
7. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】

A． B． C． D．3
【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。
设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。
在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：。
∴DF= ，EF=1＋。故选B。
8. （2012湖北咸宁3分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型
摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形
状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为【 】．

A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，即要这个几何体的三
视图分别是正方形、圆和正三角形。符合此条件的只有选项A：主视图是正方形，左视图是正三角形，俯
视图是圆。故选A。
9. （2012福建泉州3分）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则【 】

A .EF>AE+BF B. EF<AE+BF C.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF
【答案】C。
【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】如图，连接圆心O和三个切点D、G、H，分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。
∵EF∥AB，∴∠HEO=∠IAE，EI=OD。
又∵OD=OH，∴EI=OH。
又∵∠EHO=∠AIE=900，∴△EHO≌△AIE（AAS）。∴EO=AE。
同理，FO=BF。
∴AE+BF= EO+FO= EF。故选C。
10. （2012湖南长沙3分）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【考点】构成三角形的三边的条件。
【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形。故选B。
11. （2012湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【 】
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】 C。
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。
【分析】如图，△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。
在Rt△ABD中，BD=×6=3，AD=4，根据勾股定理，得AB=5。
故选C。
12. （2012湖南湘潭3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】

A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】D。
【考点】圆周角定理，平行线的性质。
【分析】∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选D。
13. （2012四川自贡3分）如图①是一个几何体的主视图和左视图．某班同学在探究它的俯视图时，画出了如图②的几个图形，其中，可能是该几何体俯视图的共有【 】

　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】由主视图和左视图看，几何体的上部都位于下部的中心，在两种视图下是全等的，故d不满足要求。故选C。
14. （2012辽宁阜新3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使，那么平行四边形ABCD应满足的条件是【 】

A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2D．AB：BC=5：8
【答案】D。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC。∴∠AEB=∠EBC。
又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。
同理可得：DC=DF。
∴AE=DF。∴AE－EF=DE－EF，即AF=DE。
当时，设EF=x，则AD=BC=4x。
∴AF=DE=（AD－EF）=1.5x。∴AE=AB=AF+EF=2.5x。
∴AB：BC=2.5：4=5：8。
∵以上各步可逆，∴当AB：BC=2.5：4=5：8时，。故选D。
15. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】

　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。
【分析】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。
∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。
∴DE=HE，DC=AH。
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。
16. （2012河南省3分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A, ，则下列结论不一定正确的是【 】

A．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC
【答案】D。
【考点】切线的性质，圆周角定理，平行的判定，垂径定理。
【分析】由为直径，AD为切线，根据切线的性质可知：BA⊥DA。故A正确。
∵根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得。
∴。∴OC∥AE。故B正确。
由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可以判断C正确。
根据垂径定理，只有在点E是的中点时，OD⊥AC才成立。故D不正确。
故选D。
二、填空题
1. （2012北京市4分）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点
A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点
B的横坐标的所有可能值是 ▲ ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n
的代数式表示．）

【答案】3或4；6n－3。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。
【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案：
如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），
（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4。
当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，
∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12 n－3，对角线AB上的整点个数总为3，
∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3。

2. （2012广东汕头4分）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

【答案】。
【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算
【分析】过D点作DF⊥AB于点F。
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=。
3. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．

【答案】7。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。
∴∠AOM+∠BOF=90°。
又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。
在△AOM和△BOF中，
∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，
∴△AOM≌△BOF（AAS）。∴AM=OF，OM=FB。
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。
∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。
∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（6）2，解得：CF=OF=6。
∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。
4. （2012广东珠海4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　 ▲ ．

【答案】。
【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。
【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：
。
5. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．

【答案】。
【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×。
由垂径定理可知EF=2EH=。
6. （2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这
些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ▲ ．

【答案】2。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。
【分析】如图，连接BE，交CD于点F。
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF。
根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP。
∴DP：CP=BD：AC=1：3。∴DP=PF=CF= BF。
在Rt△PBF中，。
∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2。
7. （2012福建福州4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于
点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)

【答案】；。
【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。
【分析】可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值：
∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°。
∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°。
∴ ∠A＝∠DBC＝36°。
又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC。∴ ＝。
设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，解得：x＝(舍去)或。
∴x＝ 。
如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝。
在Rt△AED中，cosA＝＝＝。
8. （2012湖北宜昌3分）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】直线与圆的位置关系。1419956
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直
线l和⊙O相离⇔d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。因此，
∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，
∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交。故选B。
【宜昌无填空题，以倒数第二条选题代替】
9. （2012湖北襄阳3分）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是　 ▲ 　．
【答案】4或或。
【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：
（1）如图，当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD=AC=×8=4。
（2）如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°。
∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4。
（3）如图，当AC=BC时，则AD=4。
∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=。
综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。
10. （2012湖南长沙3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为
　 ▲ 　．

【答案】4。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。
∴AE=CD=2，AD=EC=2。
∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形。∴BE=AB=AE=2。
∴BC=BE+CE=2+2=4。
11. （2012四川凉山5分）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ▲ 。

【答案】36。
【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。
∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线。
∴EH= BD=3。
同理可得EF=GH= AC=3，FG= BD=3。
∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。
∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9。
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36。
∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。
12. （2012贵州铜仁4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ▲ ．
【答案】。
【考点】正方形的性质，垂线段最短的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理。
【分析】如图，
∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD。
∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°。
∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB。
∵在△COA和△DOB中，∠OCA=∠ODB，OC=OD，∠COA=∠DOB，
∴△COA≌△DOB（ASA）。∴OA=OB。
∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形。
由勾股定理得：。
∴要使AB最小，只要OA取最小值即可。
根据垂线段最短的性质，当OA⊥CD时，OA最小。
∵四边形CDEF是正方形，∴FC⊥CD，OD=OF。∴CA=DA，∴OA=CF=1。
∴AB=。
13. （2012山东滨州4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： ▲ （用相似符号连接）．

【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】（1）在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF；
（2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE。
14. （2012山东济宁3分）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=　 ▲ 　．

【答案】。
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC。
∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC=30°。
∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE。
∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO。
∵在△BAO和△EAO中，AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，
∴△BAO≌△EAO（SAS）。∴∠AEO=∠ABO=30°。∴tan∠AEO=tan30°=。
15. （2012山东日照4分）如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠θ= ▲ ．[来︿源

【答案】180。
【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。
【分析】如图，连接CE，DE，
∵过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，
∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。
∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。
又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。∴∠θ=180。
16. （2012山东枣庄4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ▲ _．

【答案】。
【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】由于DE为△ABC的中位线，BC＝8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE＝4；又由于∠AFB＝90°，点D为AB的中点，AB＝5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF＝。因此EF＝DE－DF＝4－＝。
17. （2012广西来宾3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是 ▲ 米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）

【答案】12。
【考点】解直角三角形的应用（仰角仰角问题），锐角三角函数定义。
【分析】直接根据正切函数定义求解：AB=BC·tan∠ACB=8·tan56°≈8×1.483≈12（米）。
18. （2012河北省3分）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 ▲ 。

【答案】6。
【考点】正多边形内角和定理，周角定义。
【分析】∵正六边形的每个内角为，
∴围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角，它也是正六边形。
∴n=6。
19. （2012新疆区5分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2=2π，则S3是　 ▲ 　．

【答案】。
【考点】勾股定理。
【分析】如图，由圆的面积公式得，，
解得，。
根据勾股定理，得。
。
20. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图。四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ▲

【答案】。
【考点】矩形的性质，平行的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠CED=∠ADE。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=900。
∵点G是DF的中点，∴AG=DF=DG。∴∠CGE=2∠ADE=2∠CED。
又∵∠AED=2∠CED，∴∠CGE=∠AED。∴AE=AG。
又∵BE=1，AG=4，∴AE=4。
∴。
21. （2012黑龙江大庆3分）用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图1，得到的几何体的三视图如图2所示，若小明从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图仍是图2，则他取走的小立方体最多可以是 ▲ 个．

【答案】2。
【考点】由三视图判断几何体，简单组合体的三视图。
【分析】由于从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图都相同，由主视图可知有2层2列，由左视图可知有2层2行，由俯视图可知最少有4个小立方体，所以下层4个小立方体不变，同时上层每一横行和每一竖列上都有一个小立方体。因此，取走的小立方体最多可以是2个，即上层一条对角线上的2个。
三、解答题
1. （2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。
∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。
∵BC=4，∴x= AB= BC=4。
（2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。
∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴。
∴。∴。
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得，
即。
两式相加，得。
又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中，。
∴，解得（已舍去负值）。
∴。
∴在Rt△CEF中由勾股定理得。
∴。∴。
【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。
（2）由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。
2. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：
依据2：
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。
（2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。
∵O是AB的中点，∴OA=OB。
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。
∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，
∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。
（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线。
∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB。
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。
∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。
又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。
∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。
又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。
∴△MOC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。
∴OM⊥ON。
【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。
【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。
（2）利用AAS证明△OMA≌△ONB即可。
（3）利用SAS证明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通过角的等量代换即可得∠MON=∠BOC=90°，而得到OM⊥ON。
3. （2012福建厦门10分）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分
别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋3－4，求BC的长．

【答案】解：（1）连接PO ,
∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。
∴∠EPO＝∠FPO。
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，
∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。
（2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。
又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。
∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。
∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。
∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。
∴ BD＝BC。
∵ BF＝BD，∴BC＋3－4＝BC，解得，BC＝4。
【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。
（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。
4. （2012甘肃白银10分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，，延长DB到点F，使，连接AF．
（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

【答案】解:（1）证明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝BD，AE＝ED，∴。
又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。
（2）直线AF与⊙O相切。证明如下：
连接OA，OB，OC，
∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA，
∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝∠OAC。
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线。
∴AO⊥BC。
∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。
∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直线AF与⊙O相切。
【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。
【分析】（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA。
（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽FDA，得出∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切。
5. （2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE