全国中考数学分类解析汇编专题9：由运动产生的线段和差问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编专题9：由运动产生的线段和差问题一、选择题1. （2012湖北黄石3分）如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】把A，B分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，A（ ，2），B（2， ）。在ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大。设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得： ，解得：。直线AB的解析式是。当y=0时，x= ，即P（ ，0）。故选D。二、填空题三、解答题1.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义： 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为x1x2； 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为y1y2. 例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为1325，所以点P1与点P2的“非常距离”为25=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 （1）已知点，B为y轴上的一个动点， 若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； 直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线上的一个动点， 如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； 如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。 【答案】解：（1）（0，2）或（0，2）。（2）设C坐标为，如图，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q。 由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q，过点E作EMx轴于点M，作ENy轴于点N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由OABMEM，OE=1，得OM=，ON=。设C坐标为由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。 （2）解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。 同，同时理解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小。2. （2012广西南宁10分）已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（1，y）（1）如图1，若点C（x，0）且1x3，BCAC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标【答案】解：（1）如图1，过点A作AEx轴于点E在BCD与CAE中，BCD=CAE=90ACE，BDC=CEA=90，BCDCAE，。A（3，4），B（1，y），C（x，0）且1x3，。y与x之间的函数关系式为（1x3）。（2）y没有最大值。理由如下：，又1x3，y没有最大值。（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA，使AA=1，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小。A（3，4），A（2，4）。B（1，1），B（1，1）。设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得。直线AB的解析式为。当y=0时，解得。线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（，0）。【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。【分析】（1）过点A作AEx轴于点E，先证明BCDCAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式。（2）先运用配方法将写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解。（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA，使AA=1，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定再根据待定系数法求出直线AB的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，从而得出点E的坐标。3. （2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值【答案】解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解这个方程组，得。抛物线的解析式为y=x2+x。（2）由y=x2+x=（x1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。OM=BM。OM+AM=BM+AM。连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。过点A作ANx轴于点N，在RtABN中，因此OM+AM最小值为。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。对x=1上其它任一点M，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：O M+A M= B M+A MAB=OM+AM，即OM+AM为最小值。4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值【答案】解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（1，0）及C（2，3）得，解得。直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6， 3）由得D（1，4）。设直线DN的函数关系式为y=sx+t，则，解得。故直线DN的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。 当BD为平行四边形边时，点E在直线AC上，设E（x，x+1），则F（x，）。又BD=2若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G， 设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）。 。 ，当时，APC的面积取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3），求得线段PQ=x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知，由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值。5. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值(2)在(1)的条件下，求BCE的面积(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线C1过点M(2，2)，解得m=4。（2）由（1）得。 令x=0，得。E（0，2），OE=2。 令y=0，得，解得x1=2，x=4。B（2，0），C（4，0），BC=6。 BCE的面积=。（3）由（2）可得的对称轴为x=1。 连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。 设直线CE的解析式为，则 ，解得。直线CE的解析式为。 当x=1时，。H（1，）。（4）存在。分两种情形讨论： 当BECBCF时，如图所示。则，BC2=BEBF。由（2）知B（2，0），E（0，2），即OB=OE，EBC=45，CBF=45。作FTx轴于点F，则BT=TF。令F（x，x2）（x0），又点F在抛物线上，x2=，x+20（x0），x=2m，F（2m，2m2）。此时，又BC2=BEBF，（m+2）2= ，解得m=2。m0，m=+2。当BECFCB时，如图所示。则，BC2=ECBF。同，EBC=CFB，BTFCOE，。令F（x，（x+2）（x0），又点F在抛物线上，（x+2）=。x+20（x0），x=m+2。F（m+2，（m+4），BC=m+2。又BC2=ECBF，（m+2）2= .整理得：0=16，显然不成立。综合得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似，m=+2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得BCE的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。（4）分两种情况进行讨论：当BECBCF时，如图所示，此时可求得+2。当BECFCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。6. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MAMB=MAMC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MAMB的值最小。设直线AC的解析式为y=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直线AC的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。M点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四边形ABCP1为梯形。若ABCP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，BCx轴，ABCP2，四边形ABCN为平行四边形。AN=BC=2。N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线CN的解析式为：y=x+3。点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2（6，6）。ABCN，AB=CN，而CP2CN，CP2AB。四边形ABCP2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（2，0）或（6，6）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，线段最短的性质，梯形的判定。【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：若BCAP1，确定梯形ABCP1此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；若ABCP2，确定梯形ABCP2此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。7. （2012四川自贡14分）如图，抛物线l交x轴于点A（3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点AB的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（1，0），C点坐标不变，抛物线l1经过A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得。抛物线l1的解析式为：y=x22x3。（2）抛物线l1的对称轴为：x=，如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。此时，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设P为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：|PAPC|=|PB1PC|B1C（三角形两边之差小于第三边），|PAPC|PA1PC|，即|PA1PC|最大。设直线B1C的解析式为y=kx+b，则，解得k=b=3。直线B1C的解析式为：y=3x3。令x=1，得y=6。P（1，6）。（3）依题意画出图形，如图3，有两种情况：当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，则D（1，r），F（1+r，r）。点F（1+r，r）在抛物线y=x22x3上，r=（1+r）22（1+r）3，化简得：r2r4=0解得r1=，r2=（舍去）。此圆的半径为；当圆位于x轴上方时，同理可求得圆的半径为。综上所述，此圆的半径为或。【考点】二次函数综合题，翻折变换的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的轴对称性质，三角形三边关系，直线和圆的位置关系，解一元二次方程和二元一次方程组。【分析】（1）根据翻折变换的性质，求得A1和B1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式，（2）根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，B1C的延长线与对称轴x=1的交点P，即为所求。求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。（3）设圆心为D，半径为r，根据直线与圆相切的性质知D（1，r），F（1+r，r）。由于点F在抛物线l1上，代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。