全国中考数学分类解析汇编专题5：动点问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编
专题5：动点问题

一、选择题
1. （2012北京市4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B
跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单
位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定
位置可能是图1中的【 】

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】分别在点M、N、P、Q的位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案：
A、在点M位置，则从A至B这段时间内，弧上每一点与点M的距离相等，即y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；
B、在点N位置，则根据矩形的性质和勾股定理，NA=NB=NC，且最大，与函数图象不符，故本选项错误；
C、在点P位置，则PC最短，与函数图象不符，故本选项错误；
D、在点P位置，如图所示，①以Q为圆心，QA为半径画圆交于点E，其中y最大的点是AE的中垂线与弧的交点H；②在弧上，从点E到点C上，y逐渐减小；③QB=QC，即，且BC的中垂线QN与BC的交点F是y的最小值点。经判断点Q符合函数图象，故本选项正确。
故选D。

2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】

　A． B．
C． D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。
当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。
当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。
当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。
当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。
3. （2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】

A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，
∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，
开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；
由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；
结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC。
△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。
4. （2012江苏无锡3分）如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，P是⊙M上异于A．B的一动点，直线PA．PB分别交y轴于C．D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【 】

　 A． 等于4 B． 等于4 C． 等于6 D． 随P点
【答案】C。
【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。
【分析】 连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，
∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，
∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1。
∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°。
∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°。
∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB。
∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA。∴，即，即r2﹣x2=9。
由垂径定理得：OE=OF，
由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6。
故选C。
5. （2012湖北黄冈3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P 从点A 出发，沿AB方向以
每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将
△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为【 】

A. B. 2 C. D. 4
【答案】B。
【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，翻折对称的性质，菱形的性质，矩形。
【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，连接PP′。
由题意知，点P、P′关于BC对称，∴BC垂直平分PP′。
∴QP=QP′，PE=P′E。
∴根据菱形的性质，若四边形QPCP′是菱形则CE=QE。
∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=450。
∵AP=t，∴PD= t。
易得，四边形PDCE是矩形，∴CE=PD= t，即CE=QE= t。
又BQ= t，BC=6，∴3 t=6，即t=2。
∴若四边形QPCP′为菱形，则t的值为2。故选B。
6. （2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【 】

A．B．C．D．
【答案】 C。
【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线和直线的性质。
【分析】如图，过点A作AG⊥OC于点G。
∵D（5，4），AD=2，∴OC=5，CD=4，OG=3。
∴根据勾股定理，得OA=5。
∵点E、F的运动的速度都是每秒1个单位长度，
∴点E运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x。
∴当点E在OA上运动时，点F在OC上运动，当点E在AD和DC上运动时，点F在点C停止。
（1）当点E在OA上运动，点F在OC上运动时，如图，作EH⊥OC于点H。
∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴，即。
∴。∴。
此时，y关于x的函数图象是开口向上的抛物线。
故选项A．B选项错误。
（2）当点E在AD上运动，点F在点C停止时，△EOF的面积不变。
∴。
（3）当点E在DC上运动，点F在点C停止时，如图。
EF=OA＋AD＋DC﹣x =11﹣x，OC=5。
∴。
此时，y关于x的函数图象是直线。
故选项D选项错误，选项C正确。故选C。
7. （2012四川内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】如图，过点C作CD垂直AB于点D，则
∵正△ABC的边长为3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3。
∴AD=，CD=。
①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=x，PD=（0≤x≤3）。
∴（0≤x≤3）。
∴该函数图象在0≤x≤3上是开口向上的抛物线。
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6－x）（3＜x≤6）；
∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6），
∴该函数的图象在3＜x≤6上是开口向上的抛物线。
综上所述，该函数为。符合此条件的图象为C。故选C。
8. （2012辽宁鞍山3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】分别求出点P在DE、AD、AB上运动时，S与t的函数关系式，结合选项即可得出答案：
根据题意得：当点P在ED上运动时，S=BC•PE=2t；
当点P在DA上运动时，此时S=8；
当点P在线段AB上运动时，S=BC（AB+AD+DE－t）=5－t。
结合选项所给的函数图象，可得B选项符合。故选B。　
9. （2012辽宁铁岭3分）如图，□ABCD的AD边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，它们的各边与□ABCD的各边分别平行，且与□ABCD相似.若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似多边形的性质。
【分析】∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积的和等于一个小平行四边形的面积。
∵□ABCD的AD边长为8，面积为32，小平行四边形的一边长为x，阴影部分的面积的和为y，且小平行四边形与□ABCD相似，
∴，即。
又∵0＜x≤8，∴纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象。故选D。
10. （2012辽宁营口3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B=．动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动．设△ABP的面积为(B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为，则与之间函数关系的图像大致为【 】

【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】当点P在BC上运动时，如图，△ABP的高PE＝BPsiｎ∠B＝，
∴△ABP的面积。
当点P在BC上运动时，如图，△ABP的高PF＝BCsiｎ∠B＝1,
∴△ABP的面积。
因此，观察所给选项，只有C符合。故选C。
11. （2012贵州六盘水3分）如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为【 】

　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
【答案】A。
【考点】反比例函数综合题，矩形的判定和性质，配方法的应用，函数的最值。
【分析】∵反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．
∴四边形OBAC为矩形。
设宽BO=x，则AB=，
则。
∴四边形OBAC周长的最小值为4。故选A。
12. （2012贵州黔南4分）为做好“四帮四促”工作，黔南州某局机关积极倡导“挂帮一日捐”活动。切实帮助贫困村民，在一日捐活动中，全局50名职工积极响应，同时将所捐款情况统计并制成统计图，根据图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是【 】

A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，30
【答案】C。
【考点】众数，中位数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是30，故这组数据的众数为30。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据的中位数是第25和26名职工捐款金额的平均数，（30＋30）÷2=30。
故选C。
13. （2012山东临沂3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为【 】

A．　　B．　C．　　D．
【答案】B。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8，
②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8，
∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合。故选B。
14. （2012山东烟台3分）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是【 】

　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图，连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，
∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN•PB+×PA×MQ。
∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB。
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy。
∴S△PAB=PE×AB=PBy，∴。
∵PE=AD，∴PB，AB，PB都为定值。
∴y的值为定值，符合要求的图形为D。故选D。
15. （2012广西桂林3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位
长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运
动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t
的函数关系的图象是【 】
A． B． C．D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象，正方形的性质。
【分析】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，
∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒。
由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t，
，为开口向上的抛物线的一部分。
当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4，
，为直线（一次函数）的一部分。
观察所给图象，符合条件的为选项D。故选D。
16. （2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【 】

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A。
【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，当点P运动到点P′，即AP′与⊙O相切时，∠OAP最大。
连接O P′，则A P′⊥O P′，即△AO P′是直角三角形。
∵OB=AB，OB= O P′，∴OA=2 O P′。
∴。∴∠OAP′=300，即∠OAP的最大值是=300。故选A。
17. （2012甘肃白银3分）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是【 】
A．B．C．D．
【答案】 A。
【考点】函数的图象。
【分析】如图，根据题意知，当点C在AB上运动时，DE是一组平行线段，线段DE从左向右运动先变长，当线段DE过圆心时为最长，然后变短，有最大值，开口向下。观察四个选项，满足条件的是选项A。故选A。
二、填空题
1. （2012江苏苏州3分）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s
的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）
与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 ▲ 秒
（结果保留根号）.

【答案】4＋。
【考点】动点问题的函数图象，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4－2=2秒。
∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2，BC=2。
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形。∴BE=CF，BC=EF=2。
∵∠A=60°，
∴，。
∵由图②可△ABD的面积为，
∴，即， 解得AD=6。
∴DF=AD－AE－EF=6－1－2=3。
在Rt△CDF中，，
∴动点P运动的总路程为AB＋BC＋CD=2＋2＋=4＋（cm）。
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+）÷1=4+s。
2. （2012湖北黄石3分）如图所示，已知A点从点（１，０）出发，以每秒１个单位长的速度沿着x轴
的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=600，
又以P（０，４）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在直线相切，则t= ▲ .

【答案】。
【考点】切线的性质，坐标与图形性质，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，∴OA=1+t。，
∵四边形OABC是菱形，∴OC=1+t。，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP。
过点P作PE⊥OC，垂足为点E。
∴OE=CE=OC，即OE=（1+t）。
在Rt△OPE中，OP=4，∠OPE=900－∠AOC=30°，
∴OE=OP•cos30°=，即。
∴。
∴当PC为半径的圆恰好与OA所在直线相切时，。
3. （2012湖北荆门3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是　 ▲ 　（填序号）．

【答案】①③④。
【考点】动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据图（2）可知，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5。∴AD=BE=5。故结论①正确。
又∵从M到N的变化是2，∴ED=2。∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3。
在Rt△ABE中，，
∴。故结论②错误。
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=。
∴PF=PBsin∠PBF=t。
∴当0＜t≤5时，。故结论③正确。
当秒时，点P在CD上，
此时，PD=－BE－ED=，PQ=CD－PD=4－。
∵，∴。
又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP。故结论④正确。
综上所述，正确的有①③④。
3. （2012湖北荆州3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是　 ▲ 　（填序号）．

【答案】①③④。
【考点】动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据图（2）可知，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5。∴AD=BE=5。故结论①正确。
又∵从M到N的变化是2，∴ED=2。∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3。
在Rt△ABE中，，
∴。故结论②错误。
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=。
∴PF=PBsin∠PBF=t。
∴当0＜t≤5时，。故结论③正确。
当秒时，点P在CD上，
此时，PD=－BE－ED=，PQ=CD－PD=4－。
∵，∴。
又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP。故结论④正确。
综上所述，正确的有①③④。
4. （2012福建泉州4分）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P(),(为自然数).
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（）、P（）都是过点P的△ABC的相似线（其中⊥BC，∥AC），此外还有 ▲ _条.
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 ▲ 时，P()截得的三角形面积为△ABC面积的.

【答案】（1）1；（2）或或。
【考点】相似三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）如图， “相似线”还有一条，即与BC平行的直线。
（2）如图， “相似线”有三条：，，。
∵P()截得的三角形面积为△ABC面积的，
∴△PBD，△APE，△FBP和△ABC的相似比是。
对于△PBD，有。
对于△APE，有，∴。
对于△FBP，若点F在BC上，有，即BA=2BF。
又在Rt△BPF中，∠B=30°，则。∴。
若点F在AC上，有，即BA=2FA。
又在Rt△APF中，∠A=60°，则。
∴。∴。
综上所述，当或或时，P()截得的三角形面积为△ABC面积的。
5. （2012湖南张家界3分）已知线段AB=6，C．D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为 ▲ ．

【答案】2。
【考点】动点问题。等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理。
【分析】如图，分别延长AE、BF交于点H，连接HD，过点G作MN∥AB分别交HA、HD于点M、N。
∵△APE和△PBF是等边三角形，
∴∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°。
∴AH∥PF，BH∥PE。∴四边形EPFH为平行四边形。
∴EF与HP互相平分。
∵点G为EF的中点，
∴点G也正好为PH中点，即在点P的运动过程中，点G始终为PH的中点。
∴点G的运行轨迹为△HCD的中位线MN，
∵AB=6， AC=DB=1，∴CD=6﹣1﹣1=4。∴MN=2，即G的移动路径长为2。
6. （2012辽宁丹东3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正
方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有 ▲ 个.

【答案】5。
【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。
【分析】如图，符合条件的Q点有5个。

当BP=BQ时，在AB，BC边上各有1点；
当BP=QP时，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2，到CD的距离为4，到BC的距离为，到AD的距离为，故在BC，CD，DA边上各有1点；
当BQ=PQ时，BP的中垂线与AB，BC各交于1点，故在AB，BC边上各有1点。
又当Q在BC边上时，由于△BPQ是等边三角形，故3点重合。
因此，符合条件的Q点有5个。
7. （2012广西北海3分）如图，点A的坐标为（－1，0），点B在直线y＝2x－4上运动，当线段A最
短时，点B的坐标是 ▲ 。

【答案】（）。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系，垂直线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】如图，由题意，根据垂直线段最短的性质，当线段AB最短时点B的位置B1，有AB1⊥BD。
过点B1作B1E垂直x轴于点E。
由点C、D在直线y＝2x－4可得，C（2，0），D（0，－4）
设点B1（x ，2x－4），则E（x ，0）。
由A（－1，0），得AE= x＋1，EB1=∣2x－4∣=4－2x，CO=2，DO=4。
易得△AB1E∽△DCO，∴，即。
解得。∴B1（）。
∴当线段AB最短时，点B的坐标是（）。
三、解答题
1.（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。
又∵OB=2，∴。
（2）存在，DE是不变的。
如图，连接AB，则。
∵D和E是中点，∴DE=。
（3）∵BD=x，∴。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。
过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。
由△BOD∽△EDF，得，即
，解得EF=x。
∴OE=。
∴。
【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=BC= ，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。
（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 。
（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式。
∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），
∴。
2. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。
∴AD：AC=AE：AD，∴ 。
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1。
∴AE的最小值为 。∴CE的最大值= 。
②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。
∴点D与B重合，不合题意舍去。
当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。
∴DC=CA=。∴BD=BC－DC=2－。
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。
【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即，当AD⊥BC，AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。
②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。
3. （2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。
∵顶点在直线x＝上，∴，解得。
∴所求函数关系式为。
（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
当x＝5时，；
当x＝2时，。
∴点C和点D都在所求抛物线上。
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，
则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。
当x＝时，。∴P()。
（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。
∴，即，得。
设对称轴交x于点F，则。
∵，
，

(0＜t＜4)。
∵，，0＜＜4，
∴当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。
4. （2012广东省9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

【答案】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。
∴s=m2（0＜m＜9）。
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
5. （2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，)，抛物线经过A、B、C三点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;
(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。

【答案】解：（1）∵抛物线经过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点，
∴ ，解得。
∴抛物线的解析式为：．
（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（－1，0），C（0，）