全国中考数学分类解析汇编专题13：实践操作、探究类问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编
专题13：实践操作、探究类问题

一、选择题
1. （2012重庆市4分）已知二次函数的图象如图所示对称轴为。下列结论中，正确的是【 】

　A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】A、∵二次函数的图象开口向上，∴＞0。
∵二次函数的图象与轴交于负半轴，∴＜0。
∵二次函数的图象对称轴在轴左侧，∴﹣＜0。∴＞0。∴。故本选项错误。
B、∵二次函数的图象对称轴：，∴，。故本选项错误。
C、从图象可知，当时，。故本选项错误。
D、∵二次函数的图象对称轴为，与轴的一个交点的取值范围为1＞1，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点的取值范围为2＜﹣2。
∴当时，，即。故本选项正确。
故选D。
2. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。
3. （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是【 】

　　A．①②　　B．①④　　C．②③　　D．③④
【答案】D。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，
若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。
③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），
当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。
④ ∵使得M=1时，
若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；
若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。
由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。
∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，
∴M=1时，x=或x=﹣。∴此判断正确。
因此正确的有：③④。故选D。
4. （2012江苏苏州3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点
B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，
B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是【 】

A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】正方形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A3F⊥FQ于点F，
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，
∠E2B2C2=30°。
∴D1E1=D1C1=。
∴D1E1=B2E2=。
∴。
解得：B2C2=。
∴B3E4=。∴，解得：B3C3=。∴WC3=。
根据题意得出：∠WC3 Q=30°，∠C3 WQ=60°，∠A3 WF=30°，
∴WQ=，FW=WA3•cos30°=。
∴点A3到x轴的距离为：FW+WQ=。故选D。
5. （2012江苏徐州3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【 】

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C。
【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。
根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a。
∴。
∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。故选C。
6. （2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】

A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。
∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。
7. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴：。
①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，
∴。∴b+2a=0。故命题①错误。
②∵a＞0，，∴b＜0。
又c＞0，∴abc＜0。故命题②正确。
③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。
∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a。
∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。故命题③正确。
④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。
由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。故命题④正确。
∴正确的命题为：①②③三个。故选A。
8. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60º，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF
相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【 】

①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质 三角形三边关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵在菱形ABCD中，∠A＝60º，∴∠BCD＝60º，∠ADC＝120º，AB=AD。
∴△ABD是等边三角形。
又∵E是AB的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝30º。∴∠CDG＝90º。同理，∠CBG＝90º。
在四边形BCDG中，∠CDG＋∠CBG＋∠BCD＋∠BGD=3600，∴∠BGD＝120º。故结论①正确。
由HL可得△BCG≌△DCG，∴∠BCG＝∠DCG＝30º。∴BG=DG=CG。
∴BG＋DG＝CG。故结论②正确。
在△BDG中，BG＋DG＞BD，即CG＞BD，∴△BDF≌△CGB不成立。故结论③不正确。
∵DE=ADsin∠A=ABsin60º=AB，
∴。故结论④正确。
综上所述，正确的结论有①②④三个。故选C。
9. （2012湖南岳阳3分）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；
②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是【 】

A．①②⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
【答案】A。
【考点】切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质。1052629
【分析】如图，连接OE，
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。
∴CD=DE+EC=AD+BC。结论②正确。
在Rt△ADO和Rt△EDO中，OD=OD，DA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）
∴∠AOD=∠EOD。
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°。结论⑤正确。
∴∠DOC=∠DEO=90°。
又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC。
∴，即OD2=DC•DE。结论①正确。
而，结论④错误。
由OD不一定等于OC，结论③错误。
∴正确的选项有①②⑤。故选A。
10. （2012湖南衡阳3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号：
①∵图象开口向下，∴a＜0。说法错误。
②∵对称轴为x=，∴，即2a+b=0。说法正确。
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0。说法正确。
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0。说法正确。
∴说法正确的有3个。故选C。　
11. （2012四川宜宾3分）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=x2的切线
②直线x=﹣2与抛物线y=x2 相切于点（﹣2，1）
③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）
④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切，则实数k=
其中正确的命题是【 】
　 A． ①②④ B． ①③ C． ②③ D． ①③④
【答案】B。
【考点】新定义，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x2的切线。故命题①正确。
②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=－2与对称轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y=x2 相交。故命题②错误。
③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切，∴由x2=4x＋b得x2﹣4x﹣b=0，
∴△=16+4b=0，解得b=﹣4，把b=﹣4代入x2﹣4x﹣b=0得x=2。
把x=2代入抛物线解析式得y=1，
∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故命题③正确。
④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x2 相切，∴由x2=kx﹣2得x2﹣kx+2=0。
∴△=k2﹣2=0，解得k=±，故命题④错误。
∴正确的命题是①③。故选B。
12. （2012四川达州3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：①EF∥AD； ②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF。其中正确的个数是【 】

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】D。
【考点】梯形中位线定理，等腰三角形的判定，三角形中位线定理。
【分析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF∥AD∥BC，∴①正确。
∵在梯形ABCD中，△ABC和△DBC是同底等高的三角形，
∴S△ABC=S△DBC。∴S△AB C－S△OBC =S△DBC－S△OBC，即S△ABO=S△DCO。∴②正确。
∵EF∥BC，∴∠OGH=∠OBC，∠OHG=∠OCB。
已知四边形ABCD是梯形，不一定是等腰梯形，即∠OBC和∠OCB不一定相等，
即∠OGH和∠OHG不一定相等，∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等。
∴△OGH是等腰三角形不对，∴③错误。
∵EF∥BC，AE=BE（E为AB中点），∴BG=DG，∴④正确。
∵EF∥BC，AE=BE（E为AB中点），∴AH=CH。
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EH=BC，FG=BC。∴EH=FG。
∴EG=FH，∴⑤正确。
∴正确的个数是4个。故选D。
13. （2012四川巴中3分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件
是【 】

A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=AC D. ∠B=45°
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】添加AB=AC，符合判定定理HL。
而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。故选A。
14. （2012四川泸州2分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF。设，下列结论：

    (1)△ABE∽△ECF，(2)AE平分∠BAF，(3)当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是【 】
A、(1)(2)(3) B、(1)(3) C、(1) (2) D、(2)(3)
【答案】C。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，正方形的判定和性质。
【分析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°。∴∠BAE+∠AEB=90°。
∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°。∴∠BAE=∠FEC。∴△ABE∽△ECF。故（1）正确。
（2）∵△ABE∽△ECF，∴.
∵E是BC的中点，∴BE=EC。∴。
在Rt△ABE中，tan∠BAE= ，
在Rt△AEF中，tan∠EAF= ，
∴tan∠BAE=tan∠EAF。∴∠BAE=∠EAF。∴AE平分∠BAF。故（2）正确。
（3）∵当k=1时，即,∴AB=AD。∴四边形ABCD是正方形。
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD。
∵△ABE∽△ECF，∴。
∴CF=CD。∴DF=CD。∴AB：AD=1，BE：DF=2：3.
∴△ABE与△ADF不相似。故（3）错误。
故选C。
15. （2012辽宁丹东3分）如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.

下列结论：
①∠DOC=90° , ②OC=OE， ③tan∠OCD = ，④ 中，正确的有【 】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，反证法，线段垂直平分线的性质，三角形边角关系，锐角三角函数定义。
【分析】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°。
∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。
在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）。
∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。
∴∠DOC=90°。故①正确。
如图，若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE。
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误。
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。
∴tan∠OCD=tan∠DFC=。故③正确。
∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD。
∴S△EBC－S△FOC=S△FCD－S－，即S△ODC=S四边形BEOF。故④正确。故选C。
16. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】

A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】C。
【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。
【分析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。
∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。故选C。
17. （2012山东东营3分）如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．
其中正确的结论是【 】

A．①② B． ①②③ C．①②③④ D． ②③④
【答案】C。
【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质。
【分析】∵一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B两点，∴A（0，－3），B（3，0）。
联立和可得C（－4，－1），D（1，4），∴E（0，－1），F（1，0）。
∴OA=OB=3，OE=OF=1，即△ABO和△EFO都是等腰直角三角形。∴∠BAO=∠EFO=450。∴AB∥EF。
∴△CEF与△DEF是同底等高的三角形。∴△CEF与△DEF的面积相等。所以结论①正确。
又由AB∥EF，得△AOB∽△FOE。所以结论②正确。
由各点坐标，得CE=4，DF=4，CF=，DE=，∴CE=DF，CF=DE。
又∵CD=DC，∴△DCE≌△CDF（SSS）。所以结论③正确。
由AF=CE=4和AF∥CE得，四边形ACEF是平行四边形。∴AC=FE。
由BE=DF=4和BE∥DF得，四边形DBEF是平行四边形。∴BD=EF。
∴AC=BD。所以结论④正确。因此，正确的结论是①②③④。故选C。
18. （2012山东莱芜3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90º，BC＝2AD，F、E分别是
BA、BC的中点，则下列结论不正确的是【 】

A．△ABC是等腰三角形 B．四边形EFAM是菱形
C．S△BEF＝S△ACD D．DE平分∠CDF
【答案】D。
【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理。
【分析】如图，连接AE，由AD∥BC，∠BCD＝90º，BC＝2AD，可得四边形AECD是矩形，∴AC=DE。
∵F、E分别是BA、BC的中点，∴ADBE。∴四边形ABED
是平行四边形。∴AB=DE。
∴AB= AC，即△ABC是等腰三角形。故结论A正确。
∵F、E分别是BA、BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC=AB=AF。
∵四边形ABED是平行四边形，∴AF∥ME。
∴四边形EFAM是菱形。故结论B正确。
∵△BEF和△ACD的底BE=AD，△BEF的BE边上高=△ACD的AD边上高的一半，
∴S△BEF＝S△ACD。故结论C正确。
以例说明DE平分∠CDF不正确。如图，若∠B=450，
则易得∠ADE=∠CDE=450。
而∠FDE＜∠ADE=∠CDE。
∴DE平分∠CDF不正确（只有在∠B=600时才成立）。故结论D不正确。故选D。
19. （2012广西贵港3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，
连接BF、DE交于点M，延长DE到H使DE＝BM，连接AM、AH。则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；
②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABMD＝AM2。其中正确结论的个数是【　　】

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C。
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行的性质。
【分析】在菱形ABCD中，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝AD。∴△ABD是等边三角形。
∴根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°。
∵BE＝CF，∴BC－BE＝CD－CF，即CE＝DF。
在△BDF和△DCE中，CE＝DF；∠BDF＝∠C＝60°；BD＝CD，
∴△BDF≌△DCE（SAS）。故结论①正确。
∴∠DBF＝∠EDC。
∵∠DMF＝∠DBF＋∠BDE＝∠EDC＋∠BDE＝∠BDC＝60°，
∴∠BMD＝180°－∠DMF＝180°－60°＝120°，故结论②正确。
∵∠DEB＝∠EDC＋∠C＝∠EDC＋60°，∠ABM＝∠ABD＋∠DBF＝∠DBF＋60°，
∴∠DEB＝∠ABM。
又∵AD∥BC，∴∠ADH＝∠DEB，
∴∠ADH＝∠ABM。
在△ABM和△ADH中，AB＝AD；∠ADH＝∠ABM；DH＝BM，
∴△ABM≌△ADH（SAS）。∴AH＝AM，∠BAM＝∠DAH。
∴∠MAH＝∠MAD＋∠DAH＝∠MAD＋∠BAM＝∠BAD＝60°。
∴△AMH是等边三角形。故结论③正确。
∵△ABM≌△ADH，∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积。
又∵△AMH的面积＝AM·AM＝AM2，
∴S四边形ABMD＝AM2，S四边形ABCD≠S四边形ABMD。故结论④小题错误。
综上所述，正确的是①②③共3个。故选C。
20. （2012河北省3分）如图，抛物线y1=a（x＋2）2－3与y2=（x－3）2＋1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2－y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【 】

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D。
【考点】二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。
【分析】∵（x－3）2≥0，∴y2=（x－3）2＋1＞0，即无论x取何值，y2的值总是正数。故结论①正确。
∵ 两抛物线交于点A（1，3），∴3=a（1＋2）2－3，解得a=≠1。故结论②错误。
【至此即可判断D正确】
当x=0时，y2－y1=[（0－3）2＋1]－[（0＋2）2－3]= 。故结论③错误。
解3=（x＋2）2－3得x=1或x=－5，∴B（1，－5）。∴AB=6，2AB=12。
解3=（x－3）2＋1得x=1或x=5，∴B（1， 5）。∴BC=4，3BC=12。
∴2AB=3AC。故结论④正确。
因此，正确结论是①④。故选D。
21. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【 】

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C。
【考点】等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方式的非负数性质，矩形的判定和性质，三角形边角关系，三角形中位线定理。
【分析】∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，
∴AD =DC，∠EAD=∠C=450，∠EDA=∠MDN－∠ADN =900－∠AND=∠FDC。
∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF。∴BE+CF= BE+ AE=AB。
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC。∴(BE+CF)= BC。∴结论①正确。
设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b。
∴。
∴。∴结论②正确。
如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O。
∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，
∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，
OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG。
∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD。∴结论④错误。
∵△EDA≌△FDC，
∴。∴结论③错误。
又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分。
∴结论⑤正确。
综上所述，结论①②⑤正确。故选C。
22. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，
点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交
AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN； ②DE∥BN； ③△CDE是等腰三角形； ④；
⑤，正确的个数有【 】

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】B。
【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，相似全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，连接DF，AC，EF，
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC。
在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE， BF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）。∴∠BAF=∠BCE，AF=CE。
在△AME和△CMF中，
∵∠BAF=∠BCE，∠AME=∠CMF ，AE=CF，
∴△AME≌△CMF（AAS）。∴EM=FM。
在△BEM和△BFM中，∵BE=BF，BM=BM， EM=FM，∴△BEM≌△BFM（SSS）。
∴∠ABN=∠CBN。结论①正确。
∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形。∴∠AED=45°。
∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°。∴∠AED=∠ABN=45°。
∴ED∥BN。结论②正确。
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC。
又∵AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形。∴AF=DC。
又AF=CE，∴DC=EC。则△CED为等腰三角形。结论③正确。
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC。
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC。∴△EFM∽△CAM。∴EM：MC=EF：AC=1：2。
设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：，
∴3x=y，即x：y=：3。∴EM：BE=：3。结论④正确。
∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点。
∴。
又∵，∴。
∵四边形ABFD为矩形，∴。
又∵，∴S。
∴。结论⑤错误。
因此正确的个数有4个。故选B。
23. （2012黑龙江牡丹江3分）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，
且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH，④AD 2=OD·DH中，正确的是【 】．

A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。
【分析】∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。∴∠B=∠EAC=600。
又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。结论①正确。
∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。
∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。
结论②正确。
如图，在HD上截取HG=AH。
∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。
∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。
又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC =1200＋600=1800。
∴A，H，C，D四点共圆。∴∠AHD=∠ACD =600。∴△AHG是等边三角形。
∴AH=AG，∠GAH=600。∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。
又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。∴CH=DG。∴AH+CH= HG+ DG =DH。结论③正确。
∵∠AHD =∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。∴。
∴AD 2=OD·DH。结论④正确。
综上所述，正确的是①②③④。故选D。
二、填空题
1. （2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，
其中正确的结论序号是　 ▲ 　．

【答案】①③。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。
又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴。
∵BA=BC，∴。故①正确。
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。
∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB。∴。
又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中，。
∵，∴FG=FB。故②错误。
∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2。∴AF=AC。
∵AC=AB，∴AF=AB。故③正确。
设BD= a，则AB=BC=2 a，△BDF中BD边上的高=。
∴S△ABC=， S△BDF
∴S△ABC=6S△BDF，故④错误。
因此，正确的结论为①③。
2. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．
(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是　 ▲ 　；
(2)若射线EF经过点C，则AE的长是　 ▲ 　．

【答案】6；2或5。
【考点】直角梯形的性质，勾股定理，解直角三角形。
【分析】(1)如图1，过E点作EG⊥DF，∴EG＝AD＝。
∵E是AB的中点，AB＝6，∴DG＝AE＝3。
∴∠DEG＝60°（由三角函数定义可得）。
∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝60°。
∴tan60°＝，解得，GF＝3。
∵EG⊥DF，∠DEG＝∠FEG，∴EG是DF的中垂线。∴DF＝2 GF＝6。1世纪教育网
(2)如图2，过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝。
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，∴∠BCH＝60°。
∴CH＝，BC＝。
设AE＝x，则BE＝6－x，
在Rt△ADE中，DE＝，
在Rt△EFM中，EF＝，
∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BEC。
∵∠DEF＝∠B＝120°，∴△EDF∽△BCE。
∴，即，解得x＝2或5。
3. （2012浙江衢州4分）如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是　 ▲ 　．

【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）。
【考点】反比例函数综合题，平行四边形的性质。
【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标：
如图，∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8。
∴反比例函数为
∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）。
4. （2012浙江义乌4分）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是