全国中考数学分类解析汇编专题15：综合问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编专题15：综合问题一、选择题1. （2012广东湛江4分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是【 】A. B. C. D.【答案】B。【考点】反比例函数的性质和图象。【分析】根据题意，得xy=20，。故选B。2. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】A B C3 D4 【答案】A。【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM。OD=AD=3，DEOA，OE=EA=OA=2。由勾股定理得：DE=。设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，BFDECM，OBFODE，ACMADE。，即，解得：。BF+CM=。故选A。3. （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有实数根x1,x2，且x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；二次函数y=（xx1）（xx2）m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确结论的个数是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C。【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】一元二次方程实数根分别为x1、x2，x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论错误。一元二次方程（x2）（x3）=m化为一般形式得：x25x6m=0，方程有两个不相等的实数根x1、x2，=b24ac=（5）24（6m）=4m10，解得：。故结论正确。一元二次方程x25x6m=0实数根分别为x1、x2，x1x2=5，x1x2=6m。二次函数y=（xx1）（xx2）+m=x2（x1x2）xx1x2m=x25x（6m）m=x25x6=（x2）（x3）。令y=0，即（x2）（x3）=0，解得：x=2或3。 抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论正确。综上所述，正确的结论有2个：。故选C。4. （2012四川广元3分） 已知关于x的方程有唯一实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。【分析】关于x的方程化成一般形式是：2x2（22b）x（b21）=0，它有唯一实数解， =（22b）28（b21）=4（b3）（b1）=0，解得：b=3或1。反比例函数 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，1+b0。b1。b=3。反比例函数的解析式是，即。故选D。5. （2012四川凉山4分）如图，在平面直角坐标系中，O的半径为1，则直线与O的位置关系是【 】A相离 B相切 C相交 D以上三种情况都有可能【答案】B。【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，在中，令x=0，则y= ；令y=0，则x= ，A（0，），B（，0）。OA=OB= 2 。AOB是等腰直角三角形。AB=2，过点O作ODAB，则OD=BD=AB=2=1。又O的半径为1，圆心到直线的距离等于半径。直线y=x- 2 与O相切。故选B。6. （2012辽宁朝阳3分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A 的坐标为（2，3），则k的值为【 】A.1 B. 5 C. 4 D. 1或5【答案】D。【考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】如图：四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，又BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，。xy=k2+4k+1=6，解得，k=1或k=5。故选D。7. （2012贵州安顺3分）下列说法中正确的是【 】A是一个无理数B函数的自变量的取值范围是x1C若点P（2，a）和点Q（b，3）关于x轴对称，则ab的值为1D8的立方根是2【答案】C。【考点】无理数，函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，关于x轴对称的点的坐标，立方根。【分析】A、=3是有理数，故此选项错误；B、函数的自变量的取值范围是x1，故此选项错误；C、若点P（2，a）和点Q（b，3）关于x轴对称，则b=2，a=3，故ab=32=1，故此选项正确；D、8的立方根式2，故此选项错误。故选C。8. （2012广西柳州3分）小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是【 】Ax=1 Bx=2 Cx=3 Dx=4 【答案】A。【考点】反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，关于x的分式方程的解就是函数中，纵坐标y=2时的横坐标x的值根据图象可以得到：当y=2时，x=1。故选A。9. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：f（x，y）=（y，x）如f（2，3）=（3，2）；g（x，y）=（x，y），如g（2，3）=（2，3）按照以上变换有：f（g（2，3）=f（2，3）=（3，2），那么g（f（6，7）等于【 】A（7，6） B（7，6） C（7，6） D（7，6）【答案】C。【考点】新定义，点的坐标。【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6），g（f（6，7）=g（7，6）=（7，6）。故选C。10. （2012吉林长春3分） 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C若点C的坐标为(m1,2n),则m与n的关系为【 】(A)m2n=1 (B)m2n=1 (C)2nm=1 (D)n2m=1【答案】B。【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。【分析】如图，根据题意作图知，OC为AOB的平分线，点C的坐标为(m1,2n)且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE= m1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m1=2n，即m2n=1 。故选B。11. （2012青海西宁3分）如图，将矩形沿图中虚线(其中xy)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若y2，则x的值等于【 】A3 B21 C1 D1【答案】C。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），图形的剪拼。【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为x，根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。y=2，2（x+2）=x2，整理得，x2-2x-4=0，解得x1=1，x2=1（舍去）。故选C。12. （2012内蒙古呼和浩特3分）下列命题中，真命题的个数有【 】一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行函数图象上的点P（x，y）一定在第二象限正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面使得|x|y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为A3个 B1个 C4个 D2个【答案】D。【考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，二次根式有意义的条件。【分析】平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。故此命题错误。根据二次根式的意义得x0，y0，故函数图象上的点P（x，y）一定在第二象限。故此命题正确。根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面。故此命题正确。使得|x|y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|3，y=x2，故|x|3=x2，x2|x|3=0。当x0，则x2x3=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去）；当x0，则x2+x3=0，解得：x1=（不合题意舍去），x2=。使得|x|y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为：，。故此命题错误。故正确的有2个。故选D。二、填空题1. （2012山西省3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30，OC=2，则点B的坐标是 【答案】（2，2）。【考点】矩形的性质，平行的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过点B作DEOE于E，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30，CAO=30。又OC=2，AC=4。OB=AC=4。又OBC=CAO=30，DEOE，CBA=90，OBE=30。OE=2，BE=OBcosOBE =2。点B的坐标是（2，2）。2. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为 【答案】。【考点】跨学科问题，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过点B作BDx轴于D，A（0，2），B（4，3），OA=2，BD=3，OD=4。根据入射角等于反射角的原理得：ACO=BCD。AOC=BDC=90，AOCBDC。OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，设OC=x，则DC=4x，解得，即OC=。：BC=2：3，解得BC= 。AC+BC=，即这束光从点A到点B所经过的路径的长为。3. （2012广东佛山3分）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 【答案】2m4。【考点】图形的变换，一元一次方程的应用（几何问题）。【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m4）2m2=（m4m）（m4m）=8m16，解得x=2m4。4. （2012浙江湖州4分）如图，将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则ABC的边长是 【答案】12。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。【分析】设正ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，。所分成的都是正三角形，根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较短的对角线为。黑色菱形的面积=。，整理得，11x2144x144=0。解得（不符合题意，舍去），x2=12。所以，ABC的边长是12。5. （2012江苏连云港3分）如图，直线yk1xb与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1xb的解集是【答案】5x1或x0。【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。【分析】不等式k1xb的解集即k1xb的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线yk1xb在双曲线下方的自变量x的取值范围即可。而直线yk1xb的图象可以由yk1xb向下平移2b个单位得到，如图所示。根据函数图象的对称性可得：直线yk1xb和yk1xb与双曲线的交点坐标关于原点对称。由关于原点对称的坐标点性质，直线yk1xb图象与双曲线图象交点A、B的横坐标为A、B两点横坐标的相反数，即为1，5。由图知，当5x1或x0时，直线yk1xb图象在双曲线图象下方。不等式k1xb的解集是5x1或x0。6. （2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a1，2a3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2mn3)2的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a=0，则P1（1，3）；再令a=1，则P2（0，1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k0）， ，解得 。直线l的解析式为：y=2x1。Q（m，n）是直线l上的点，2m1=n，即2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。7. （2012福建龙岩3分）如图，平面直角坐标系中，O1过原点O，且O1与O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，O1的半径O1P1、O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1、P2在反比例函数（x0）的图象上，则 【答案】。【考点】反比例函数综合题。【分析】O1过原点O，O1的半径O1P1，O1O=O1P1。O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1，y1）在反比例函数（x0）的图象上，x1=y1，x1y1=1。x1=y1=1。O1与O2相外切，O2的半径O2P2与x轴垂直，设两圆相切于点A，AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。P2点的坐标为：（2+y2，y2）。点P2在反比例函数（x0）的图象上，（2+y2）y2=1，解得：y2=1+ 或1（不合题意舍去）。y1+y2=1+（1+）= 。8. （2012湖北武汉3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC2设tanBOCm，则m的取值范围是 【答案】。【考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】如图，设C点坐标为（）。 tanBOCm，即。 A的坐标为(3，0)，DA=。 又AC2由勾股定理，得， 即，整理得 由得。 tanBOCm0，。9. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的N与M相切，则圆心N的坐标为 【答案】（，0）或（，0）。【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】分别从M与N内切或外切去分析：M与N外切，MN=4+1=5，圆心N的坐标为（，0）。M与N内切，MN=41=3，圆心N的坐标为（，0）。综上所述，圆心N的坐标为（，0）或（，0）。10. （2012辽宁阜新3分）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2这个拼成的长方形的长为30，宽为20则图2中部分的面积是 【答案】100。【考点】解二元一次方程组的应用（几何问题）。【分析】由题意，得图2中部分长为b，宽为ab， ，解得。 图2中部分的面积是。11. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .【答案】18。【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。 A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且ABx轴。 A，B关于x=3对称。AB=6。又ABC是等边三角形，以AB为边的等边三角形ABC的周长为63=18。12. （2012甘肃兰州4分）如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm于点D、C两点，若直线yxm与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则ADBC的值为 【答案】2。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，作CEx轴于E，DFy轴于F， 在yxm中，令x0，则ym；令y0，xm0，解得xm。A(0，m)，B(m，0)。OAB等腰直角三角形。ADF和CEB都是等腰直角三角形。设M的坐标为(a，b)，则ab，CEb，DFa。ADDFa，BCCEb，ADBCab2ab2。三、解答题1. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，ADE=90，tanDAE=，EFOD，垂足为F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当ECA=OAC时，求t的值【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），解得。这个二次函数的解析式为：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90，DEF+EDF=90，EDF+ODA=90。DEF=ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（3）抛物线的解析式为：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）。在CAG与OCA中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA）。CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EMx轴于点M，则在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得： 。在RtAEG中，由勾股定理得：。在RtECF中，EF=，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。 （2）先证明EDFDAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：CAGOCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在RtECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。2. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。(1)(2分)求c的值； (2)(6分)若al，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求ADE的面积S的最大值；(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点F。当BF1时，求抛物线的解析式【答案】解：(1)抛物线过点A(0，3)，c3。(2) al， 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x6的交点应落在C点或C点下方。 当x6时，y0。，即。 又对称轴在y轴右侧，b0。0。 由抛物线的对称性可知： 。 又ADE的高BC3，Sb3。0，S随b的增大而增大。当b时，S的最大值。 如图，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线x6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即03。当x6，则，06b333，b6。BE3(6b33)366b。SADBEb(366b)3b2+18b。对称轴b3，随b的增大而减小。当b时，S的最大值。综上所述：S的最大值为。 (3)当a0时，符合题意要求的抛物线不存在。 当a0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：当点M、N分别在AB、OC边上时如图过M点作MGOC于点G，连接OM MGOA32MNO90。 OF垂直平分MNOMON，1MNO=90，12。 FB1，FC312。 tan1，tan2tan1。GNGM1。设N(n，0)，则G(n1，0)，M(n1，3)。 AMn1，ONnOM。 在RtAOM中， ，解得n5。M(4，3)，N(5，0)。把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得，解得。抛物线的解析式为。当点M、N分别在AB、BC边上时如图，连接MF OF垂直平分MN，1NFO90，MFFN。 又0CB90，2CFO=90。 12。 BF1， FC2。tan1tan2。 在RtMBN，tan1，BN3MB。设N(6，n)则FN2n，BN3一n。MF2n，MB。在RtMBF中，。解得： (不合题意舍去)，。AM6，M(，3)，N(6，) 。把M(，3)，N(6，)分别代人，得，解得。抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得c的值。 （2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。 （3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。3. （2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1x2，x1x2把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB|x1x2|。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形(1)当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；(2)当ABC为等边三角形时，求b24ac的值【答案】解：（1）当ABC为直角三角形时，过C作CEAB于E，则AB2CE。抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，则|b24ac|b24ac。a0，AB。又CE，。，即。b24ac0，b24ac4。（2）当ABC为等边三角形时，由(1)可知CEAB，。b24ac0，b24ac12。【考点】抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析】（1）当ABC为直角三角形时，由于ACBC，所以ABC为等腰直角三角形，过C作CEAB于E，则AB2CE根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b24ac的值。（2）当ABC为等边三角形时，解直角ACE，得CEAB，据此列出方程，解方程即可求出b24ac的值。4. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线C1的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设， 是C2上的两个不同点，且满足： ，.请你用含有的表达式表示出AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则P，Q两点间的距离）【答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a 。x2bx x2bx=的两根为x1，x2且，且b。b。抛物线的顶点坐标为（，）。（2）x，。当时，即当x时，有。 （3）由平移的性质，得C2的解析式为：yx2 。(m，m2)，B（n，n2）。AOB为直角三角形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（mn）2（m2n2）2，化简得：m n。AOB=，m n，AOB。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。（2）将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则由 得 ，即。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。5. （2012江苏无锡8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1x2|+|y1y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离【答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。所有符合条件的点P组成的图形如图所示：（2）d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，又x可取一切实数，|x2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为3。点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。【分析】（1）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形。（2）根据新定义知d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为3。6. （2012山东济南9分）如图1，抛物线y=ax2bx3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标【答案】解：（1）抛物线y=ax2bx3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），解得。抛物线的解析式为：y=x24x3。（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x24x3，令x=0，得y=3，C（0，3）。OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形。CAB=45，cosCAB=。在RtBOC中，由勾股定理得：BC=。如图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90。BO1C为等腰直角三角形，O1的半径O1B=。（3）点N的坐标为（，）或（，）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，圆及抛物线的对称性质，相似三角形的性质，勾股定理。【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由AOC为等腰直角三角形，确定CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度。（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，从而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用BMNBPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用勾股定理，列出方程组，求出点N的坐标。抛物线y=x24x3=（x2）21，顶点P坐标为（2，1），对称轴为x= 2。又A（3，0），B（1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称。如图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称。D（4，3）。又点M为BD中点，B（1，0），M（）。BM=。在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由勾股定理得：BP=，BC=，PC=。BMNBPC，即。解得：BN=，MN。设N（x，y），由勾股定理可得：，解得，。点N的坐标为（，）或（，）。7. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x2）， 将x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。抛物线的解析式为y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）CHMAOC，MCH=CAO。（i）如图1，当H在点C下方时，MCH=CAO，CMx轴，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如图2，当H在点C上方时，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx2，把P（，0）的坐标代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1