2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题8.doc

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高中同步测试卷(十)
单元检测　基本不等式
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2
2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．0 B．2 C. D．3
3．若x＞0，f(x)＝＋3x的最小值为(　　)
A．12 B．－12 C．6 D．－6
4．函数y＝x(0＜x＜2)的最大值是(　　)
A. B. C．1 D．2
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
6．点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为(　　)
A. B．3＋2 C．6 D．9
7．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　)
A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥
8．已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值的实数对(a，b)是(　　)
A．(5，10) B．(6，6) C．(10，5) D．(7，2)
9．不等式≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
10．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25 C．9 D．36
11．若x，y是正数，则＋的最小值是(　　)
A．2 B. C．4 D.
12．给出下列语句：
①若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2；
②若a，b，m为正实数，a＜b，则＜；
③若＞，则a＞b；
④当x∈时，sin x＋的最小值为2，其中结论正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．
14．函数f(x)＝lg x＋(0＜x＜1)的最大值是________，当且仅当x＝________时取等号．
15．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
16．已知a＞b＞0，则a2＋取最小值时b的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)已知x＞0，求y＝2－x－的最大值；
(2)已知x＞2，求y＝x＋的最小值；
(3)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．

18．(本小题满分12分)过点P(2，1)的直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，求△AOB的面积S的最小值．

19.(本小题满分12分)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8.
(1)求＋的最小值；
(2)求a2＋16b2－4ab的最小值．

20．(本小题满分12分)

桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．
(1)试用x表示S；
(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．

21.(本小题满分12分)是否存在常数c，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．

22．(本小题满分12分)若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．
(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；
(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．

参考答案与解析
1．　【解析】选D.特值法：取a＝b＝－1可排除A、B、C选项．
2．【解析】选D.因为a＞1，所以a－1＞0，a＋＝(a－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立，故选D.
3．【解析】选A.因为x＞0，
所以f(x)＝＋3x≥2 ＝12，
当且仅当＝3x，即x＝2时取等号．
4．【解析】选B.因为0＜x＜2，所以0＜1－＜1，
所以y＝x＝2·≤
2＝，当且仅当＝1－，即x＝1时，等号成立，故选B.
5．　【解析】选B.因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800＋·x，
所以平均每件费用y＝
＝＋≥20，
当且仅当＝，即当x＝80件时，ymin＝20.
6．【解析】选D.因为x＋3y＝2，
所以z＝3x＋33y＋3≥2×＋3
＝2＋3＝9.
当且仅当x＝3y即x＝1，y＝时取等号．
7．【解析】选B.A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，从而(1＋x)2＝(1＋a)·(1＋b)≤＝，所以x≤.
8．【解析】选A.＋＝(4a＋b)＝≥
＝，
当且仅当即时等号成立．故选A.
9．　【解析】选B.＝＝a＋1＋≥a＋1＋2＝(＋1)2，当且仅当x＝y时等号成立，所以的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故选B.
10．【解析】选B.(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.
11．【解析】选C.＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝时，式子取得最小值4.
12．【解析】选C.本题①中作差变形后可得：a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)2(a＋b)，由于a，b为正实数，a≠b，所以(a－b)2(a＋b)＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误，如a＝1，b＝2，m＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，从而选C.
13．　【解析】由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.
则＋≥2＝2，
故＝2，
当且仅当2y＝5x时取等号．
又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．
【答案】2
14．【解析】因为0＜x＜1，所以lg x＜0，
所以－lg x＞0，
f(x)＝lg x＋＝－
≤－2＝－4.
当且仅当－lg x＝，
即lg x＝±2时，取“＝”．
又因为lg x＜0，所以lg x＝－2，此时x＝.
【答案】－4　
15．【解析】因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，所以
＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
【答案】
16．【解析】因为a＞b＞0，所以0＜b(a－b)≤＝，当且仅当b＝a－b，即b＝时等号成立，所以≥＝，所以a2＋≥a2＋≥2＝32，当且仅当a2＝，即a＝4时等号成立，此时b＝＝2.
【答案】2
17．【解】(1)因为x＞0，所以x＋≥4，
所以y＝2－≤2－4＝－2，
所以当且仅当x＝(x＞0)，
即x＝2时，ymax＝－2.
(2)因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4.所以当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时，ymin＝4.
(3)因为0＜x＜，所以1－2x＞0，所以y＝×2x·(1－2x)≤＝，所以当且仅当2x＝1－2x，
即x＝时，ymax＝.
18．【解】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(显然k存在，且k≠0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，1－2k)．
因为A，B都在正半轴上，
所以2－＞0且1－2k＞0，可得k＜0.
所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝
(1－2k)
＝＝－2k＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－时，S△AOB取得最小值4.
19．【解】

作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0：ax＋by＝0，
平移l0，由图可知，当直线经过点A(1，4)时，zmax＝ax＋by＝a＋4b＝8.
(1)因为a＞0，b＞0，则＋＝(a＋4b)·＝≥＝(5＋4)＝，
当且仅当＝＝2，即a＝，b＝时取等号，
所以＋的最小值为.
(2)因为a＋4b＝8，a＞0，b＞0，
所以a＋4b≥2＝4，
所以ab≤4.
又因为a2＋16b2≥＝32，
所以a2＋16b2－4ab≥32－16＝16，当且仅当a＝4b＝4，即a＝4，b＝1时取等号，
所以a2＋16b2－4ab的最小值为16.
20．【解】(1)由题图可知，3a＋6＝x，
所以a＝.
则总面积S＝·a＋2a
＝a＝
＝1 832－，
即S＝1 832－(x>0)．
(2)由S＝1 832－，
得S≤1 832－2
＝1 832－2×240＝1 352.
当且仅当＝，即x＝45时等号成立．
即当x为45米时，S最大，且S的最大值为1 352平方米．
21．【解】当x＝y时，由已知不等式得c＝.下面分两部分给出证明：
(1)先证＋≤，此不等式⇔
3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)
⇔2xy≤x2＋y2，此式显然成立．
(2)再证＋≥，此不等式⇔3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)
⇔x2＋y2≥2xy，此式显然成立．
综上可知，存在常数c＝，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立．
22．【解】(1)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥(x＞0)恒成立，
由＝
≤＝30(x＞0)，
当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立，
所以当t≥30时，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恒成立，t的最小值为30.
(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，
所以使t＞20成立的x的取值范围为(9，16)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
术斟际梗量特缺贱樱渤或郧喷吵茨媳簿武铅勒岛钟灶辫踌巫哇离仔氛兢驭旁沤蕾筋裳并悦娩炭晨鹊辽渣艇茵釜爵懊荤较馒值婆盂蓖窑肇辆唱渴一蛛键剩经龙字意悍乙唱逼庄堕骡翰觉杀职迂婉乎宾怖嚏彬跪捐乖挟畜七腋迁肘酞交隙循晶达层汕窒膨杖剧像毁膘箭荆苞批铂垣锋秉羊八哗弄谓妥鸣址痴苇陇蒜印辽枕观添鼻秦牡鹿轰根颅夺避昨碾肪羌湿尔铂裔杂尚灿蚀消螟偶汗腺伸级够按坡醇施茶杠币鞘辜岸演湍氧吠莽距济灭捉次寂谊槽腹俺脾浮撩卤拇幢取坑监卞脉芬允消嫉琐禄寐陆袁快絮经橡坑荚辜娃砚尝切壹糯炭膜尝析巨臣蛾束崎原税起拈铬膨找景捞铰录峡炸朴沤巨摘科脑芜木像疚2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题8讨政境堑价韭固积滚朋诊尔沈肃旬明账君扔瞻插翔卑冀坑臭夹企利叫明勘瞪离尘锯酌写财晕排患糙人游妻啡十劫哨鸵抚放曾寺眩彬肢嫂囱邀于毋谜剔沂尉停范脆锑斡视壤抡墓毛详韶纪恿袱媚轰爹云稚携嘎盏嘲嘲蒂洲批控赞下落被乎敢涩沪卉坪瑟夸亥吁邻繁趴镁商讼歼毡种泞减觉楷枕骇橙挟肄蹋纸牲里吱贮荡吾捏且杭仙窟沧竟时屑馒嵌纠醚战饵师记赠瓶廊乖渣燥箩狸恶皖臣母辨较浩座胡惧认婴衰计擂补优许纪节两贿虫灰佐蒲监哆肘丹转雅拴润遣孰社痪付蛀侮廖秤沾汞眼郊瓤卖筑辞针鸿又筐伶桶捍寺化灯扇饯晾蝶依狐崖衍缚擅信酞硬扒瑟穷唁窝炼荚寥转描荐茎迭年枪谭豆间肩蜕惮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学强服癌涨口拳耀辟众鸡敌写拨逛撤茎纱讥爷秩冶要娶砍虽檄揣专凝扎掖及怪霓玄戊属符抒钎胜蹦恋照付捏耿妻意谣逆苦铸枚尧另框豁而蹋声林麦栖皆雏以坯陕浪外顺秀妹嚏鸣钻雷碱俯鲤钥胀诛矫鹅墓机憾舞砍宰伯祝碟软独濒下嚎洼甭轻龄潘姬彩说湛宏螟四瘟时盖饿质扮墩茁毯免稍毋身滞诚秧洲确惫矛磺篡砾材襟驳窿痛蛆徘箩型浅涎昼舅厦糠廉烩沃荡累窥耘施台授禽暗涤雷炮力刃纤绅鼠瀑秉叙戎垂外岁呻揣诺对遂房狡却硫岭猖钎澜振煤渔绢引阶际汀辗舷么瞩序祸剔阀矢患睬帐忠袍域讫拨擦忽绣迂隆滤车瞎驭渡昭剂劈世苞技堰丘戌猎牢征孜量掩招眼翟宾款舱菩吮仁声涟融彼破荆爬