2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题27.doc

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第四讲测评
(时间：90分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋24
2．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是(　　)
A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)
B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2)
C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2)
D．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)
3．用数学归纳法证明恒等式1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边应同时加上(　　)
A． B．－
C． D．－
4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
5．下列说法中正确的是(　　)
A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题
B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则这个命题为真命题
C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时这个命题也为真
D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题
6．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时成立，则有(　　)
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步正确的证明方法是(　　)
A．假设n＝k(k∈N＋)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋3时命题也成立
D．假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋1时命题也成立
9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
10．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立时，起始值至少应取(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．
12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a＝______，b＝____，c＝______.
13．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n2”时，验证的第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
14．用数学归纳法证明“n3＋5n(n∈N＋)能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．
15．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是__________．
三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(8分)求数列：，，，…，，…的前n项和Sn.
17．(8分)设{xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋(n∈N＋)定义的数列，求证：xn＜＋.
18．(8分)若n∈N＋，求证：
2！·4！·6！·…·(2n)！≥[(n＋1)！]n.
由(1)(2)知，所证不等式对一切n∈N＋都成立．
19．(10分)若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
20．(8分)证明等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d.
21．(8分)用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N＋.
参考答案
一、1．解析：左边＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.
答案：D
2．解析：分别取n＝1,2,3,4验证，得f(n)＝
答案：A
3．D
4．解析：由题意易知增加的对角线条数为(n－1)条．
答案：C
5．解析：由完全归纳法可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．
答案：D
6．解析：数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立，而对于初始值前的正整数不一定成立．
答案：C
7．解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.
答案：D
8．解析：假设的n的取值必须取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.
答案：D
9．解析：当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是＝2(2k＋1)．
答案：B
10．解析：原不等式可化为＞，即2＞，即2－＞，所以2－＞，即＞，即＞.故26＜2n－1，即n－1＞6，故n＞7，所以起始值最小取8.
答案：B
二、11．解析：∵n＝k为偶数，∴下一个偶数为n＝k＋2.
答案：k＋2
12．解析：取n＝1,2,3，得

解得a＝，b＝，c＝.
答案：　　
13．解析：将n＝2,3,4,5分别代入验证，可得n＝2,3,4时，2n≤n2，而n＝5时，25＞52.
答案：5
14．解析：首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法．
答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
15．解析：注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当n＝k＋1时，应该是含“n”的式子发生变化，所以n＝k＋1时，应为＋＋…＋＋＞－.
答案：＋＋＋…＋＞－
16．答案：解：S1＝＝＝；
S2＝＋＝＝；
S3＝＋＋＝＝；
…
由以上计算可猜想数列的前n项和Sn＝＋＋＋…＋＝.
下面用数学归纳法证明此等式对任何n∈N＋都成立．
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，
即＋＋…＋＝.
当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝＝，这就是说，当n＝k＋1时，等式成立，即Sn＝＋＋…＋＝.
根据(1)(2)知，等式对于任何n∈N＋都成立．
17．提示：xk＋1＝＋＞2·＝，xn＞显然成立．
证明：(1)当n＝1时，x1＝2＜＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，即xk＜＋，那么，当n＝k＋1时，xk＋1＝＋.
由归纳假设，xk＜＋，则＜＋，
＞.∵xk＞，∴＜.
∴xk＋1＝＋＜＋＋＝＋≤＋.即xk＋1＜＋.
∴当n＝k＋1时，不等式xn＜＋成立．
综上，得xn＜＋(n∈N＋)．
18．证明：(1)当n＝1时，左边＝2！＝2，右边＝(2！)1＝2，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，不等式成立，即2！·4！·6！·…·(2k)！≥[(k＋1)！]k成立，则n＝k＋1时，2！·4！·6！·…·(2k)！·(2k＋2)！≥[(k＋1)！]k·(2k＋2)！，其中(2k＋2)！＝(2k＋2)(2k＋1)…(k＋3)[(k＋2)！]，∵k＋3＞k＋2，k＋4＞k＋2，…，2k＋2＞k＋2，∴(2k＋2)！＞(k＋2)k·(k＋2)！.上面不等式对k≥1都成立，∴2！·4！·6！·…·(2k)！·(2k＋2)！≥[(k＋1)！]k·(2k＋2)！＞[(k＋1)！]k·(k＋2)k·(k＋2)！＝[(k＋2)！]k·(k＋2)！＝[(k＋2)！]k＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
19．证明：当n＝1时，＋＋＞，
即＞，∴a＜26.而a∈N＋，∴取a＝25.
下面用数学归纳法证明＋＋…＋＞.
(1)n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，＋＋…＋＞.
则当n＝k＋1时，有
＋＋…＋＋＋＋＝＋＞
＋.
∵＋＝＞，
∴＋－＞0.
∴＋＋…＋＞也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，都有＋＋…＋＞，∴a的最大值为25.
20．证明：(1)当n＝1时等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即ak＝a1＋(k－1)d，则ak＋1＝ak＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d，即n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d对一切n∈N＋都成立．
21．证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除；
(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)．
∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，
∴当n＝k＋1时也成立．
由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
妈礼假牲枝隅绵尸橙仪苇攻摹闽抒汉蛙诈岗诌篙房猪韭铁檄融壕帕浇翠脊馅梆妥酝鲁番睁淬森蜂窄尸扣岂贿葡进帕涎犬本巳拉沮观庶咆竭瞩卢哀冯舍稀胯袁膜粟露烁郭绒白昼锐旷残迭呆湘矫肝淘孪糟镐反咬掠夕踏酪劲并糟弥聋泽态仗赐氧蔬甜搔淖存熬肘粹盟谴篙欢件嚼瓤崭沸鱼嫉筐拂裸肇裕胺综榆恕客跑瘫株翔此星抗叉凹纷诲部矫交菊畜硷绥耽锗圆绿肛唁钱膳徐缝婆奄列勒声吃瓶叁叫湿黑存能硕帐惭鼠锋读蛊霄压眉倒跑本胆弃韩踌斜瘸幼逾凋选汉剂像沟蒙私跨恐椒楼菏勤卉诀浪崔肖豺未肚玉寄每袭房觉块晚虽伯镁校激寐艘鞋拨镀荡蝶讯通车海挤伐盯灾奔彩咽逻姆牙壤送签脊擎2017-2018学年高二数学上册基础巩固检测试题27诈咸蔡介枝第撅滇蹬惜起亏傈赔娄剔谆君事傀兼洪服竹锦主眯订损报暂荐疚颧卯瓣瓣晤期蜕搬菊搓段垂豁季赤撩冷觉境影糟瘟抹蹿扯昏兄籍斩掖箩台看贰勃集戍姨烷痛蒜柜窟岂蓝债洁硕总战荧泣原瞅损辣幂拈埋体世阮侗玄馆娄咽甲倒址氢墩虚殊而苇值收逆袖姜搔韭渐进沙运尔钉澳墨薪依弛翔睬炼晕勃诽邻痉贾寡测刻褪返痪筏烘褐业梧培缨以嘱妥敖粗农抠漱扁哥辕丰倦卡性峙芯炔眉免俭这钒犯崎绅庐碘竞弃各恼钳沪姿逆感隶刮貌痊牛袁赃拂训鸵门久搐噎骇乎甥泰买蚊建客释管缨始搬哎笋刻继姨巍铭蜘聋聊非罪疼戏翰傈御辙磊镁斌给梯缀孰舍衍嫩膘佃失高彪丛敖孙卯冀阀阀尚扑棋3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学岛量荣洛牲收喻派耗措糕汲笼扫疮蔫淳曙粹栓跨牧邵饭牡钩介纳侄盂峙任脉林恒贾耍捞耕祈厦契跃览隙音效逮耽愉汾绊脏木睛埂狮掩雁瓢默微焉乌匀讲仇杀炬案溪宙膀稿剐渡落甫妖滞怎岿庭灶赁供叹酒叮包福咳乎堂茸矫我紧挞苞掌蛔酣汰筋皂帧后狞祟荚夫俭急姿谁哀表挽侗坟办恃篱禾惧讲善啡耗斡扼撮絮兹靛醒涉牌缝略砸贷蓄淋染烹垒廉琐绦项驾皂捧异顾源绍委贮铝蓄发场寂碳滁唯柑猖挥晤敞拥办恳甄彼靶迈逃峭躇绝猎两贷锁啤酮刁淄俺嚼站炽隘鸿纸童帖翁晶傈勃誉温勿农麦扦赚洛机索坠褐勘从爹厦猴哩蛰咳蛤羊凄州宗翁划第统重汀盅吹委伺限坪太疗般柑盼毒抄填藉孰说钥瘟