人教版初二上册期末模拟数学质量检测试卷(一).doc

人教版初二上册期末模拟数学质量检测试卷（一）
一、选择题
1、下面有4个图案，其中轴对称图形的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2、生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
3、计算（a2＋ab）÷a的结果是（       ）
A．a＋b B．a2＋b C．a＋ab D．a3＋a2b
4、使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≠﹣1
5、下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、下列各式中的变形，错误的是（       ）
A． B． C． D．
7、如图，已知∠ABD＝∠CBD，添加以下条件，不一定能判定△ABD≌△CBD的是(     )

A．∠A＝∠C B．AB＝CB C．∠BDA＝∠BDC D．AD＝CD
8、已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（       ）
A．且 B．且
C． D．
9、如图，，D在边上，，，则的度数为（       ）

A．35° B．40° C．50° D．65°
二、填空题
10、如图，△ABC是等边三角形，D是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接BD，点E，F分别在线段BA，BC的延长线上，且DE=DF=BD，则△AED的周长等于(     )

A． B．BF C． D．
11、若分式的值为0，则x的值为___________．
12、已知点关于轴的对称点的坐标是，则的值为________．
13、已知，则的值是______．
14、若，则__________．
15、如图，在锐角中，，，平分，、分别是、上的动点，则的最小值是______．

16、若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________．
17、已知___________．
18、如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走_____m时△CAP与△PQB全等．

三、解答题
19、因式分解：
（1）；（2）27x2y-36xy2+12y2、
20、解分式方程：
21、如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠A=∠D．

22、阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．

23、如图，在中，，点在边上且点到点的距离与点到点的距离相等.

（1）利用尺柜作图作出点，不写作法但保留作图痕迹.
（2）连接，若的底边长为3，周长为17，求的周长.
24、阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：

根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式进行因式分解；
（3）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
25、如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP.
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

一、选择题
1、B
【解析】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：左起第二、四两个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
第一、三两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2、C
【解析】C
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
3、A
【解析】A
【分析】利用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（a2＋ab）÷a＝a＋b，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，正确的计算是解题的关键．
4、B
【解析】B
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x+1≥0，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，涉及到解一元一次不等式，熟记二次根式的性质是解决问题的关键．
5、C
【解析】C
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意；
B、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
6、B
【解析】B
【分析】根据分式的符号法则，可判断A、D，根据分式的基本性质可判断B、C．
【详解】解：A.        根据分式的符号法则分式的分子，分母，分式本身三处符号，任意改变两处的符号，分式的值不变，故选项A正确，
B. 根据分式的基本性质，分子、分母都乘以或除以不为0的数或整式，而不是加或减数或整式，故选项B错误；       
C. 根据分式的基本性质，分子、分母都乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变，故选项C正确       
D. 根据分式的符号法则分式的分子，分母，分式本身三处符号，任意改变两处的符号，分式的值不变，故选项D正确．
故选择B．
【点睛】本题考查分式的符号法则，和分式的基本性质将分式恒等变形，掌握分式的符号法则，和分式的基本性质是解题关键．
7、D
【解析】D
【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴当添加∠A=∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△CBD；
当添加∠BDA=∠BDC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△CBD；
当添加AB=CB时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CBD；
当添加AD=CD时，不能判断△ABD≌△CBD；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8、A
【解析】A
【分析】先求解分式方程，再利用方程的解为负数得到m的不等式，解不等式即可确定m的取值范围．
【详解】解：去分母，得：2x－m=3x+6，
解得：x=－m－6，
∵方程的解是负数，
∴－m－6＜0，且－m－6≠－2，
∴且，
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程和分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解法，注意x≠－2是解答的关键．
9、D
【解析】D
【分析】由可知，是△ADC的一个外角，已知与它不相邻的两个内角，即可求出的度数．
【详解】∵
∴
∵在△ADC中，，
∴=30°+35°=65°
故选：D
【点睛】本题只要你考查了三角形的全等的性质，掌握全等三角形对应角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
二、填空题
10、D
【解析】D
【分析】利用等边三角形的性质和三角形外角的性质证明∠F=∠ADE，再利用AAS证明△ADE≌△CFD，得AE=CD，从而解决问题．
【详解】解：∵DE=DF=BD，
∴∠DBE=∠BED，∠DBF=∠DFB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠E+∠F=60°，∠EAD=∠DCF，
∵∠E+∠ADE=60°，
∴∠F=∠ADE，
在△ADE和△CFD中，
∵
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+DE，
∵DE=BD，
∴△AED的周长为AC+BD，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADE≌△CFD是解题的关键．
11、1
【分析】根据分式的值为零的条件是：分子为零而分母不为零，然后进行计算即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，属于基础知识的考查，比较简单．
12、－5
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得a、b的值．
【详解】解：∵点关于轴的对称点的坐标是，
∴，解得，
故答案为：－4、
【点睛】本题主要考查点的对称，掌握点关于y轴对称的坐标特点是解题的关键．
13、##-0.25
【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得，再根据等式性质可得，即可得出，再代入，化简即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出，是解题关键．
14、8
【分析】首先将化为，再根据同底数幂的除法，得出，即，再将等式代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7、
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的计算公式．同底数幂的除法计算公式：，幂的乘方计算公式：．
15、4
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=8，∠ABC=30°，由直角三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】解：过点
【解析】4
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=8，∠ABC=30°，由直角三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，

∵BD平分∠ABC，
∴M′E=M′N′，
∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，
则CE即为CM+MN的最小值，
在Rt中， BC=8，∠ABC=30°，

∴CM+MN的最小值是3、
故答案为：3、
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，含有30°的直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
16、或9##9或-3
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
则，
解得或，
故答案为：或8、
【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式是解题关键．
【解析】或9##9或-3
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
则，
解得或，
故答案为：或8、
【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式是解题关键．
17、20
【分析】利用完全平方公式展开，发现，代入数值计算即可．
【详解】∵，
∴
故答案为：19、
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟悉完全平方公式及其一些常见变形是解题的关键．
【解析】20
【分析】利用完全平方公式展开，发现，代入数值计算即可．
【详解】∵，
∴
故答案为：19、
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟悉完全平方公式及其一些常见变形是解题的关键．
18、1或3
【分析】分两种情况：①若BP＝AC＝4，AP＝BQ＝8，则△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP＝6，AC＝BQ＝4，则△ACP≌△BQP即可得出结果．
【详解】解：设P点每分钟走xm．
①若B
【解析】1或3
【分析】分两种情况：①若BP＝AC＝4，AP＝BQ＝8，则△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP＝6，AC＝BQ＝4，则△ACP≌△BQP即可得出结果．
【详解】解：设P点每分钟走xm．
①若BP＝AC＝4，此时AP＝BQ＝8，△CAP≌△PBQ，
∴t＝＝4，
∴x＝＝1．
②若BP＝AP＝6，AC＝BQ＝4，△ACP≌△BQP，
∴t＝＝2，
∴x＝＝3，
故答案为1或2、
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题
19、（1）；（2）3y(3x-2y)2
【分析】（1）先多项式乘多项式，再合并同类项，最后利用平方差因式分解，即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可因式分解．
【详解】（1）
=
=
=(
【解析】（1）；（2）3y(3x-2y)2
【分析】（1）先多项式乘多项式，再合并同类项，最后利用平方差因式分解，即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可因式分解．
【详解】（1）
=
=
=(a+2)(a-2)；
（2）27x2y-36xy2+12y3
=3y(9x2-12xy+4y2)
=3y(3x-2y)1、
【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法，是解题的关键．
20、分式方程无解
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：y﹣2=2y﹣6+1
移项合并得：y=2、
经检验：y=3是增
【解析】分式方程无解
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：y﹣2=2y﹣6+1
移项合并得：y=2、
经检验：y=3是增根，分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21、见解析
【分析】只需证明△ACB与△DBC全等即可．
【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DB
【解析】见解析
【分析】只需证明△ACB与△DBC全等即可．
【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），
∴∠A=∠D，
【点睛】本题考查全等全角三角形的判定与性质，是基础题．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键．
22、∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线
【解析】∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】解：探索一：如图1，

∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，

∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，

由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，

延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，

延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，

由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点睛】本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可．
23、（1）点就是所求作的点；（2）周长为10.
【分析】（1）根据题意作AC的垂直平分线即可；根据已知条件先求出AB的长，再由AD=CD即可求出的周长.
【详解】解：（1）点就是所求作的点.
（2）∵点
【解析】（1）点就是所求作的点；（2）周长为10.
【分析】（1）根据题意作AC的垂直平分线即可；根据已知条件先求出AB的长，再由AD=CD即可求出的周长.
【详解】解：（1）点就是所求作的点.
（2）∵点到点的距离与点到点的距离相等
又∵等腰的周长为17，底边，
∴等腰的腰，
∴的周长
答：的周长为10.

【点睛】此题主要考查垂直平分线的作图与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质.
24、（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案；
（2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案；
（3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平方的非
【解析】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案；
（2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案；
（3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平方的非负性，即可得到结论成立.
【详解】解：（1）
=
；
（2）

；
（3）证明：

；
∵，，
∴的值总是正数．
即的值总是正数．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键．
25、（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立，见解析.
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；
（2）求
【解析】（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立，见解析.
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；
（2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可；
（3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．
【详解】（1）AB=AP且AB⊥AP，
证明：∵AC⊥BC且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=,
又∵△ABC与△EFP全等，
同理可证∠PEF=45°，
∴∠BAP=45°+45°=90°，
∴AB=AP且AB⊥AP；
（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，
证明：延长BQ交AP于G，
由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，
∴∠PQC=45°=∠QPC，
∴CQ=CP，
∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，
∴在△BCQ和△ACP中

∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠CQB=∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC=90°，
∴∠AGQ=180°-90°=90°，
∴AP⊥BQ；
（3）成立．
证明：如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°．
∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ，
CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）
∴BQ=AP；
延长BQ交AP于点N，
∴∠PBN=∠CBQ．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC．
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
∴∠APC+∠PBN=90°．
∴∠PNB=90°．
∴BQ⊥AP．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．