高等数学讲义(一).doc

高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式自由活体的下落距离在上述讨论的问题中，是常量，是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。二、函数的定义定义1.1 设是一个非空数集。如果有一个对应规则，使得对每一，都能对应于唯一的一个数，则此对应规则称为定义在集合上的一个函数，并把数与对应的数之间的对应关系记为并称为该函数的自变量，为函数值或因变量，为定义域。 实数集合称为函数的值域。看看下面几个例子中哪些是函数：f是函数，且，定义域，值域，一般地。f不是函数。f是函数，且，定义域，值域。f不是函数。由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有轴上的点。例1 求函数的定义域。解 在实数范围内要使等式有意义，有即所以函数的定义域为。例2 求函数的定义域。解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有即在实数范围内要使第二个等式有意义，有 或 即 或 所以函数的定义域为。三、函数表示法函数表示法主要有以下三种解析法用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如表示一天内温度随时间变化的函数关系。列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。四、函数的几种属性单调性请看下面两个图 左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有则称函数在区间内是单调上升的或单调增加的。右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有则称函数在区间内是单调下降的或单调减少的。奇偶性请看下面两个图左边的函数图形关于轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数的定义域以原点为对称，且恒满足等式，则称是偶函数。右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数的定义域以原点为对称，且恒满足等式，则称是奇函数。例3 判断下列函数的奇偶性：； 解 由绝对值的性质，对任意有由此可知是偶函数。由对数函数的性质，对任意有 由此可知是奇函数。判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：偶函数加减偶函数是偶函数奇函数加减奇函数是奇函数偶函数乘偶函数是偶函数奇函数乘奇函数是偶函数奇函数乘偶函数是奇函数例如，是奇函数，也是奇函数。1.3 初等函数要了解初等函数，首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是常数函数 常数函数的图形如下幂函数 幂函数的图形如下指数函数 指数函数的图形如下对数函数 对数函数的图形如下三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正弦、余弦、和正切函数的图形分别是反三角函数 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是二、函数的复合运算在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设，是两个函数，定义域分别为，如果不是空集，那么在上可以得到以下函数 这里要注意，最后一个函数的定义域要在中去掉使的点。除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数可以看作由函数和构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数和构成的对应规则称为和这两个函数的复合函数。三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。函数不是初等函数，这类函数称为分段函数。第2讲 极限与连续微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。2.2 函数的极限一、极限的概念首先让我们看看反正切函数的图形当自变量向变化时，函数值在向靠近。而且向充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为 或 如我们在开始看到的情形就是类似可以得到，仍以反正切函数为例，有 再一次观察反正切函数的图形，当自变量向点变化时，函数值在向靠近。而且向点充分接近时，函数值可以和任意靠近。我们将向点充分接近说成趋于，记为。一般地，当自变量趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，我们就称函数当趋于时以为极限（或称当趋于时，的极限是）。记为 或 这样我们就得到 极限的直观意义可以用下面的图形说明函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数当时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出再看下面这个图形可以看出，这个函数当时没有极限，但当从大于的方向趋于时，函数值与任意接近。一般地，当自变量从大于的方向趋于时，如果函数的函数值和某个常数任意靠近，就称为在点的右极限，记为类似可以给出在点的左极限，记为。如此一来我们就有了以下结论存在的充分必要条件是和都存在，且二、极限的运算法则为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则：若，存在，则有为常数 （假定）例1 求。解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则， 例2 求。解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则， 只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。2.3 两个重要极限我们先给出两个重要的极限公式之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理夹逼定理 设在的某领域内（可不包含点）有且，则存在且下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图图中的圆周是单位圆周，圆心角的弧度是，则有 线段的长度为 弧的长度为 线段的长度为当时，有从而有从而有当时，由夹逼定理得由于都是奇函数，因此当时，有即从而有从而有当时，由夹逼定理得最后得到例3 求。解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到趋于0时，也趋于0，有例4 求。解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到趋于3时，趋于0，有 2.4 无穷小量与无穷大量定义2.5 极限为零的量称为无穷小量。定理2.1 的充分必要条件是其中是无穷小量。利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质有限个无穷小量的代数和是无穷小量。有限个无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。任意常数与无穷小量的乘积是无穷小量。例5 求。解 前面我们已经知道，当时极限不存在，但它是有界变量，而是无穷小量。由无穷小量的性质3知是无穷小量，即如果都是无穷小量，而仍然是无穷小量，这是称是关于的高阶无穷小量，记为。如果是无穷小量，那么称为无穷大量。例如当时就是无穷大量。2.5 函数的连续性先看看下面的图形以上几个函数的图形在点都存在不同形式的“断裂”，但归纳起来，这些情况属于要么在的极限不存在，要么在的极限不等于在该点的函数值。定义2.6 设函数在的一个邻域内有定义，且等式成立，则称在点处连续，称为函数的连续点。若不是的连续点，则称为函数的间断点。例6 判断设函数在点处是否连续。解 因为在点处有可知不存在，由定义2.6可知在点处不连续，即是的间断点。如果函数在区间内的每个点都连续，则称在区间内连续。可以证明基本初等函数在它们的定义域内都是连续的，而函数的四则运算和复合运算仍保持函数的连续性，因此我们可以得出结论：初等函数在其定义域内是连续的。