高等数学辅导讲义.doc

第一部分 函数 极限 连续
函数、极限、连续
函数
极限
连续
函数概念

函数的四种特征

反函数与复合函数

初等函数

函数的有界性

函数的单调性

函数的奇偶性

函数的周期性

数列极限
函数极限
数列极限的定义

收敛数列的性质

极限存在准则

极限的唯一性

收敛数列的有界性

收敛数列的保号性

数列极限四则运算法则
夹逼准则

单调有界准则

函数极限的定义

函数极限的性质

两个重要极限
无穷小的比较
函数极限的唯一性
函数极限的局部有界性
函数极限的局部保号性
函数极限与数列极限的关系
函数极限四则运算法则

高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
连续概念
间断点分类
初等函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理
零点定理
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点
跳跃间断点

历年试题分类统计及考点分布
考点

年份
复合函数
极限四则运算法则
两个重要极限
单调有界准则
无穷小的阶
合计
1987

1988
5

3
8
1989

1990
3

3

6
1991

5

3
8
1992

3

3
1993

5

3
8
1994

3

3
1995

3

3
1996

3
6
3
12
1997

3

3
1998

1999

2000

5

5
2001

2002

2003

4
4

8
2004

4
4
2005

2006

12
3
15
2007

4
4
2008

4

4
2009

4
4
2010

4

4
2011

10
10

20
合计
8
18
37
32
27

本部分常见的题型
1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数
例1 (1988, 5分) 设且,求及其定义域。
解: 由知,又,则.
例2 (1990, 3分) 设函数,则.
练习题: (1)设 求和, 并作出这两个函数的图形。
(2)设求.
二、 求数列的极限
方法一 利用收敛数列的常用性质
一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列收敛,那么数列一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果,且(或),那么存在,使得当时,都有(或).
性质4(数列极限的四则运算法则) 如果那么
(1);
(2);
(3)当且时,.
例3 若 ,则 .
注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取, 显然, 但数列没有极限。
例4 如果数列收敛, 那么数列一定有界。
注: 例4的逆命题是不对的, 例如我们取, 显然数列有界, 但数列没有极限。
例5 设均为非负数列, 且.下列陈述中哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由;如果是错的, 试给出一个反例。
(1) ; (2) ; (3) 不存在; (4) 不存在.
解: (1)是错的, 我们可以令, 显然, 但, 从而.
(2)是错的, 我们可以令, 显然, 但, 从而.
(3)是错的, 我们可以令, 显然, 但.
(4)是对的, 由于, 则, 即极限不存在。
注1: 极限的保序性是说, “若, 则存在使得当时有.”, 而不是对任意的有.
注2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论:
若, 则.
练习题: 设数列与满足, 则下列断言正确的是( )
(A) 若发散, 则必发散.
(B) 若无界, 则必无界.
(C) 若有界, 则必为无穷小.
(D) 若为无穷小, 则必为无穷小.
方法二 利用一些常用的结论
(1) 设数列有界, 又, 则.
(2) .
(3) .
例6 .
练习题: (1)_______.
(2)__________.
例7 ().
解: 由于,故
.
练习题: 已知, 求极限.
例8 .
解: 当时 ;
当时 ;
当时 .
故 .
练习题: ________.
方法三 利用Heine定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限
Heine定理: 的充分必要条件是: 对于任意满足条件且的数列, 相应的函数值数列成立.
例9 设数列满足且, 计算.
解: 我们考虑函数极限

从而.
练习题: 设数列满足且,计算.
方法四 利用夹逼准则
例10 计算.
解: 由于, 故
.
练习题: (1) 计算.
(2) 计算.
(3) 计算.
(4) 计算.
方法五 利用单调有界准则
适用题型: (1)由递推关系定义的数列极限问题, 一般先用单调有界准则证明极限存在, 然后等式两边取极限求出极限。
(2)有些题目直接给出了数列的通项公式, 要求我们证明数列的极限存在, 这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存在。
例11 (1996, 6分) 设, 试证数列极限存在, 并求此极限。
证明: 先证明数列是单调减少的。
由于, 所以数列是单调减少的。
注意到, 于是数列有界, 故数列极限存在。设, 等式两边取极限得, 即或, 又, 所以, 亦即.
练习题: (1)证明数列的极限存在, 并求此极限。
(2) 设, 试证数列极限存在, 并求此极限。
(3) 设, 试证数列极限存在, 并求此极限。
(4) 设, 试证数列极限存在, 并求此极限。
例12 (2008, 4分) 设函数在内单调有界, 为数列, 下列命题正确的是( B )
( A ) 若收敛, 则收敛.
( B ) 若单调, 则收敛.
( C ) 若收敛, 则收敛.
( D ) 若单调, 则收敛.
解: 由于在上单调有界, 若单调, 则是单调有界数列, 故收敛。
事实上(A)、(C)、(D)都是错误的。若令, 显然, 即收敛, 再令, 显然在上单调有界, 但不收敛。由于, 所以不存在, 故(A)不正确。
若令, 显然收敛且单调, 但不收敛, 故(C)和(D)不正确。
例13 (2006, 12分) 设数列满足.
( I )证明存在, 并求该极限;
( II )计算.
解: ( I )用数学归纳法证明数列是单调减少的且有界。
由得;
设, 则, 所以数列是单调减少的且有界, 故存在。
记, 于是.由得, 注意到函数在区间上是单调增加的, 所以, 即.
( II )见例9.
注1: 在判别一个函数的单调性时, 我们经常用到下面两个孰知的结论。
(1) 设函数在上连续, 在内可导, 若中除至多有限个点有之外都有, 则在上单调增加。
(2) 设函数在上连续, 在内可导, 若中除至多有限个点有之外都有, 则在上单调减少。
注2: 记住一些基本的不等式可以帮助考研学子在考试时节省大量的时间, 例如等。
练习题: 设数列满足.
( I )证明存在, 并求该极限;
( II )计算.
例14 (2011, 10分) 证明: (1)对任意正整数, 都有;
(2)设, 证明数列收敛。
证明: (1)由于函数在上单调增加, 从而当时, 所以对任意正整数, 都有.
由于函数在上单调增加, 从而当时, 所以对任意正整数, 都有.
故对任意正整数, 都有.
(2)先证明数列是单调减少的。
我们考虑
, 这表明数列是单调减少的。
注意到
从而数列有界, 故数列收敛。
练习题: 设, 证明数列收敛。
方法六 利用定积分的定义
设函数在上连续, 则.
例15 计算极限.
解:
.
例16 (1998, 6分) 求.
解: 注意到

而,
故.
练习题: (1) 计算.
(2) 计算.
(3) 计算.
三、 求函数的极限
方法一 利用函数极限的常用性质
一般而言,函数极限有以下四种常用的性质。
性质1(函数极限的唯一性) 如果存在,那么这极限唯一。
性质2(函数极限的局部有界性) 如果,那么存在常数和,使得当时,有.
性质3(函数极限的局部保号性) 如果,且(或), 那么存在常数,使得当时,有(或).
性质4(函数极限的四则运算法则)如果那么
(1);
(2);
(3)若又有,则.
例17下列陈述中哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由;如果是错的, 试给出一个反例。
(1)如果存在, 但不存在, 那么不存在;
(2)如果和都不存在, 那么不存在;
(3)如果存在, 但不存在, 那么不存在.
解: (1)对, 因为, 假若存在, 则也存在, 这与已知条件矛盾。
(2)错, 例如当时的极限都不存在, 但当时的极限存在。
(3)错, 例如不存在, 但.
例18(函数极限的局部保号性) (1)如果,且(或), 那么存在常数,使得当时,有(或);
(2)如果且(或), 那么存在常数使得当时有(或).
注: 例18是一些非常适用的结论, 它们经常可以帮助我们确定方程在给定区间上实根的个数。
方法二 利用一些常用的结论
(1) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
(2) 当和为非负整数时, 有

例19 .
注: , 但, 我们强烈建议考研学子在计算函数极限时务必要仔细地观察自变量的变化过程, 稍有不慎就会出现重大差错。
练习题: (1)________.
(2)________.
例20 .
练习题: (1) ________.
(2) ________.
(3) ________.
方法三 利用左、右极限
由于, 鉴于此, 如果我们要考查函数当时极限是否存在, 我们可以去考查函数在处的左、右极限是否存在并相等。
适用题型:多用于判别一个分段函数在分段点处的极限是否存在。
例21 (1992, 3分) 当时, 函数的极限 ( D )
(A)等于2. (B)等于0. (C)为. (D)不存在但不为.
解: 由于

则当时, 函数的极限不存在但不为.
注: 这里特别应注意的是.
练习题: (1) (2000, 5分) 求.
(2)设, 求.
(3) 设, 求.
方法四 利用两个重要极限：(或者) ,
在处理型极限时, 经常将所求极限“凑”成基本极限的形式, 然后求出极限。
注: 洛必达法则也是一种常用的处理型极限的方法, 但鉴于它的重要性, 我们将在第二部分(一元函数微分学)做专门的总结。
例22 (1991, 5分) 求.
解: .
例23 (2011, 10分) 求极限.
解:

而
故.
练习题: (1) (1990, 3分) 设是非零常数, 则________.
(2) (1993, 5分) 求极限.
(3) (1995, 3分) ________.
(4) (1996, 3分) 设, 则________.
(5) (2003, 4分) ________.
(6) 求极限.
(7) 求极限.
(8) 求极限.
(9) 求极限.
(10) 求极限.
(11) 求极限.
(12) 求极限.
(13) 求极限.
方法五 利用等价无穷小代换
在处理函数极限的过程中, 如果我们能恰当地利用等价无穷小代换, 可以使计算简化。为了便于考研学子复习, 我们把常用的等价无穷小代换列举如下:
当时,
例24 (1994, 3分) 设, 其中, 则必有( D )
(A) (B) (C) (D)
解: , 从而.
例25 (2008, 9分) 求极限.
解:
.
练习题: (1) (1991, 3分) 已知当时, 与是等价无穷小, 则常数_______.
(2) (1992, 5分) 求.
(3) (1993, 3分) 设, 则当时, 是的( )
(A)等价无穷小 (B)同阶但非等价的无穷小
(C)高价无穷小 (D)低价无穷小
(4) (1994, 3分) _________.
(5) (1997, 3分) __________.
(6) (1999, 3分) ________.
(7) (2004, 4分) 把时的无穷小量排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是( )
(A) (B) (C) (D)
(8) (2006, 3分) _________.
(9) (2007, 4分) 当时, 与等价的无穷小量是( )
(A) (B) (C) (D)
(10) (2009, 4分) 当时, 与 是等价无穷小, 则( )
(A) (B) (C) (D)
(11) 求极限.
(12) ________.
(13) 求极限.
(14) 求极限.
(15) 求极限.
方法六 利用Heine定理
Heine定理被经常用于证明某个函数极限的不存在性。为了证明函数当时极限不存在, 我们计划构造两个点列满足如下条件:
(1) 且;
(2) 且;
(3) .
从而我们可以说明函数当时极限不存在。
例26 证明不存在。
证明: 我们特殊地取, 则显然有与.但由于而
, 故不存在。
练习题: 证明不存在。
四、 讨论函数连续性，并判断间断点类型
例27 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型。
解: 由例8知, 从而和均为的第一类间断点。
例28 设函数, 应当怎样选择数, 使得成为在内的连续函数。
解: 要使成为在内的连续函数, 我们只需, 故.
练习题: (1)求函数的连续区间。
(2)设函数与在点连续, 证明函数
在点也连续。
(3)设函数, 要使在内连续, 应当怎样选择数?
(4)设函数, 求的间断点, 并说明间断点所属类型。
(5)设函数, 则是的( )
(A)可去间断点 (B)跳跃间断点
(C)第二类间断点 (D)连续点
五、 确定方程在给定区间上有无实根
零点定理被经常用于确定方程在给定区间上有无实根。
例29 假设函数在闭区间上连续, 并且对上任一点有。试证明中必存在一点使得.
证明: 如果或, 命题得证。以下假设.
我们构造辅助函数, 显然在闭区间上也连续且, 由零点定理知存在一点使得, 亦即.
例30 证明方程, 其中, 至少有一个正根, 并且它不超过.
证明: 我们构造辅助函数,显然在闭区间上连续且.如果, 命题得证。以下假设.由零点定理知存在一点使得, 亦即.
练习题: (1)证明方程至少有一个根介于和之间。
(2)证明方程在开区间内至少有一个根。
(3)证明方程有且仅有一个实根。
(4)设函数在上连续, 且, 证明:存在, 使得.