高等数学讲义之积分表公式推导.pdf

Daniel Lau高等数学高等数学高等数学高等数学积积积积 分分分分 表表表表公公公公 式式式式 推推推推 导导导导高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau目目目目录录录录（一）含有（一）含有（一）含有（一）含有bax+的积分的积分的积分的积分（19）1 1（二）含有（二）含有（二）含有（二）含有bax+的积分的积分的积分的积分（1018）5 5（三）含有（三）含有（三）含有（三）含有22ax的积分的积分的积分的积分（1921）9 9（四）含有（四）含有（四）含有（四）含有)0(2+abax的积分的积分的积分的积分（2228）1111（五）含有（五）含有（五）含有（五）含有)0(2+acbxax的积分的积分的积分的积分（2930）1414（六）含有（六）含有（六）含有（六）含有)0(22+aax的积分的积分的积分的积分（3144）1515（七）含有（七）含有（七）含有（七）含有)0(22aax的积分的积分的积分的积分（4558）2424（八）含有（八）含有（八）含有（八）含有)0(22axa的积分的积分的积分的积分（5972）3737（九）含有（九）含有（九）含有（九）含有)0(2+acbxa的积分的积分的积分的积分（7378）4848（十）含有（十）含有（十）含有（十）含有或或或或)(xbax的积分的积分的积分的积分（7982）5151（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（83112）5555（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中0a)（113121）6868（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（122131）7373（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（132136）7878（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（137141）8080（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（142147）8181附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式 8585说明说明说明说明 8686团队人员团队人员团队人员团队人员 8787bxax高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-1-（一）含有（一）含有（一）含有（一）含有bax+的积分的积分的积分的积分（19）CbaxlnabaxdxbaxtC t lnadttabaxdxdtadx,adxdtttb axabxxbax)x(fCbaxlnabaxdx.+=+=+=+=+=+=+1 1 11 1 )0(|1 1 1代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：CbaxadxbaxbaxtC tadttadxbaxdtadx,adxdttbaxCbaxadxbax.+=+=+=+=+=+111)()1(1)()1(1 1)(1 ,1)()()1(1)(2代入上式得：将则令证明：()()()()()C bax lnbbaxadxbaxxbaxtC t lnbtaC t lnabat dttbadtadttb1adtatbtadxbaxx dtadx ,btax,t tbaxabx|xbaxx)x(fC bax lnbbaxadxbaxx.22222222+=+=+=+=+=+=+=[phone](1 3代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-2-CbaxlnbbaxbbaxadxbaxxCbaxlnabbaxdbaxabdxbaxbaCbaxlnabxabbaxdbaxabdxabaxdbaxbbaxabdxbaxabxaCbaxadxbaxadxbaxbadxbaxabxadxbaxadxbaxbabxbaxadxbaxxCbaxlnbbaxbbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)(2)(211 )(11 22 )(122 )(221 )(21)(1 121)(1 )2)(1 )(2)(211 .4223233232222323323321232222222222232由以上各式整理得：证明：CxbaxlnbCbaxxlnbCbaxlnbxlnb)bax(dbaxbdxxbdxbaxbadxxbdx)bax(babxbaxxdxbabAbBAabxaxbaxbaxBxbaxxabx|xbaxx)x(fCxbaxlnbbaxxdx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=[phone])(B1A 10 AB)(AB)A(1 ,A)(1 )(1 1)(5于是有则设的定义域为被积函数证明：blogblogaa=1 提示：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-3-CxbaxlnbabxCbaxlnbabxxlnbabaxdbaxbadxxbdxxbadxbaxbadxxbdxxbabaxxdxbaCbbaBbaBAbCAabaBAbxaxCxbaxbaxxbaxCxBxbaxxabxxbaxxxfCxbaxlnbabxbaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+1 1 )(1111 1111)(1BA 100 1B)(C)(A )B()(A1 ,A)(1|)(1)(1)(.6222222222222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：CbaxbbaxlnaCbaxabbaxlnabaxdbaxabbaxdbaxadxbaxabdxbaxadxbaxxabBaBAbAaxBAbaxbaxxbaxBbaxAbaxxabx|xbaxx)x(fCbaxbbaxlnadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+1 )(1 )()(1)(11 )(1 11)(1A 01 )(A B)A(,)()()(1)(72222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-4-()C baxb bax lnbbaxadxbaxxbaxtCtb t lnbtaC t lnabtatabdttabdtadttabdttabttbdxbaxx tabttbtatbbaxxdtadx ,btax,t tbaxabx|xbaxx)x(fC baxb bax lnbbaxadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+23222333323323223222222222222222232221)()2(1 21 12112)(2)()(11 )0()(21)(8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C|xbax|lnbbaxb Cbaxbb|axlnb|x|lnb dxbaxbadxbaxbadxxbbaxxdxbaDbaBbA 1Ab0DBbAab20BaAa AbDBbAab2xBaAaxDxBbxBaxAabx2AbxAa DxbaxBxbaxA1 baxDbaxBxAbaxxabx|xbaxx)x(fC|xbax|lnbbaxbbaxxdx.22222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=[phone])(11111)(1111)(1 )()()()()()(1 )(1 1)(1)(9于是有则设：的定义域为证明：被积函数高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-5-（二）含有（二）含有（二）含有（二）含有bax+的积分的积分的积分的积分（1018）CbaxaCbaxabaxdbaxadxbaxCbaxadxbax+=+=+=+=+3121213)(32 )(21111)()(1 )(32 .10证明：CbaxbaxaCbaxbbaxadxbaxxbaxtCbtatCtabtadtabdtadtbttadtattabtdxbaxxtabtbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+32322233252325224222232)()23(152 )(5)(3152 )53(152 32523252 )(22 ,2 ,)0()()23(152 .11代入上式得：将则令证明：CbaxbabxxaabaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtabtabtaCtabtabtadttabdttabdttadtbttbttadxbaxxabttbttabtbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+3222322223322243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(4235301515)(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(2 2)(,2 ,)0()()81215(1052 .12代入上式得：将则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-6-CbaxbaxaCbaxabbaxbaxadxbaxxbaxtCtabtaCtabtabdtadttadtatatbtdxbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2 ,2 ,)0()()2(32 .132222322122222222代入上式得：将则令证明：CbaxbabxxaaCbaxbaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtbtbtadttabdtbadttadtbtbtadtattabtdxbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)()843(152 )()(1015)2(3)(152 )10153(152 )3251(2 422 )2(2 21)(,2 ,)0()()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得：将则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-7-+=+=+=+=+=+=+=+)0(2)0(1 2 ,1 2 t 2 )(122 0 .2 1 1 )(122 0b .1 2 21 ,2 ,)0()0(2)0(1 .15222222222bCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdxCbbaxarctanbbaxxdxbaxtCbarctanbdtbtdtbtbCbbaxbbaxlnbbaxxdxbaxtCbtbtlnbdtbtdtbtdtbtdtattabtbaxxdxdtatdxabtxttbaxbCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdx得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：Caxaxlnaaxdx+=21 21 22：公式Caxarctanaaxdx+=+1 19 22：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-8-+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbabxbaxdxbaxxbabxbaxdxbaxxbadxbaxaxbbxbaxdxbaxxbabaxdxbbxbaxdxbaxxbaxdbaxbdxbaxxbadxxbaxbdxbaxxbabaxxdxbbaBbBaAbaxxxbaxBbaxxbaxxbaxxdxbabxbaxbaxxdx 2 121 )(2111 111 1 11 11 1BA 10 )B(A1 ,A1 2 .162122222于是有则设证明：2 212 )(2 2122 122 1 ,122 122 2 2 2 2 ,)0(2 .172222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbbaxdxbaxabbaxbbaxdxxbaxbaxtdxtabtbtdtbtbtdxxbaxdtbtRbdtbtbtdtbtbdtdtbtbbtdtbttdtatbtatdxxbaxdtatdxabtxttbaxbaxxdxbbaxdxxbax代入上式得：将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-9-（三）含有（三）含有（三）含有（三）含有22ax的积分的积分的积分的积分（1921）2 2)(1 1 1 2 .182122+=+=+=+=+=+baxxdxaxbaxdxabaxxxbaxbaxdxxbaxxdbaxdxxbaxbaxxdxaxbaxdxxbax证明：Caxarctanaaxdxaxarctantaxarctan ttanta xCtadtat dtsecatsecaaxdxtsecattanadxaxt dtsecatantaddxttantaxCaxarctanaaxdx2222222+=+=+=+=+=+=+abax的积分的积分的积分的积分（2228）)0(21)0(1 2 ,1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 .2 1 C1 )(11 1)(1111 0b .1 )()0(21)0(1 .222222222222222222+=+=+=+=+=+bCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdxCbxabxalnabCabxabxlnaabdxabxabaxdxaabxaabxbaxbCxbaarctanabxbaarctanbaadxabxabaxdxaabxaabxbax0abCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdx得：综合讨论，时当，时当证明：Cb axlnabaxdbaxadxbaxdxbaxxaCbaxlnadxbaxx22+=+=+=+=+21 )(121 121 )0(21 .23222222证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-12-+=+=+=+=+=+baxdxabaxdxbaxabdxbabdxbaxbabdxbbaxaxabdxbaxxabaxdxabaxdxbaxx2222222222 11 )11(1 )0(.24证明：C21 21 21 )(12112112121)(121)(11 )()(1 )(1 )(121 )()()(C21)(.25222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxlnbCbax ln bxlnbbaxdbaxbdxxb dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0BAaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0abaxxlnbbaxxdx22222222222222于是有则设：证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-13-+=+=+=+=+=+=+=+=+baxdxbabx dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0BAaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxabaxdxbabxbaxxdx2222222222221 111 )(1)(11 )()(1 )(1 0)(1)(.2622222于是有则设：证明：CbxxbaxlnbaCbax ln babxxlnbadxbaxbadxxbdxxbabaxxdxbaCbaAbB BbBaAbCAaBbxBaAbxCAaCxbaxBbaxAxbaxCxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0aCbxxbaxlnbabaxxdx222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+22222222222224222322244244244322223212 221 2 1212112)(1100 )()()()(1 )(1 )(121 )()()(212)(.27于是有则设：证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-14-（五）含有（五）含有（五）含有（五）含有)0(2+acbxax的积分的积分的积分的积分（2930）+=+=+=+=+baxdxbbaxbxdxbaxbbbaxabxbbaxdxbaxbbabxbaxaxdxbaxbbdxxabbaxaxdxbaxbabxbaxaxbBbA AbBaAa Abx)BaAa(BaxbaxAbaxBaxAbaxaxdxaxbaxbaxaxaxdbaxbaxaxbaxdaxbaxdx0abaxdxbbaxbxbaxdx.222222222222222222222222222上式于是有，则设：证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-15-（六）含有（六）含有（六）含有（六）含有)0(22+aax的积分的积分的积分的积分（3144）+=+=+=+=+=+cbxaxdxabcbxaxlnadxcbxaxabcbxaxdcbxaxadxcbxaxbadxcbxaxbaxadxcbxaxbbaxadxcbxaxxacbxaxdxabcbxaxlnadxcbxaxx222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0(2 21 .30证明：C)(,1|AB|,|AC|BRt 1 ,01,22|,)22(1 )0(C)(31222222322222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxdx0 xaxC xax lnClna xax lnC axax lnC tant sect lnaxdxaxtant aaxcostsectaxx,a|BC|,tABCC tant sect lndtsectdtt seca sectaaxdx sectaaxcostsectt sectaaxtdt secatanta(ddx ,ttantaxRx|xax)x(faaxxlnCaxarshaxdx.22则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：Cttantseclntdtsec+=|87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-16-1)(|AB|AC|sint|AB|,|AC|,|,BRt 1cos1 11 1)()(,01,22|)(,)(,)22(|)(1)()0()(.3222223222222222322322322322222322CaxaxCsintaaxdxaxxaxxaBCtABCCsintatdtadtsectadtt secat secaaxdxt secaaxcostsecttt secaaxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxfaCaxaxaxdx23333332+=+=+=+=+=+=+=+=+=+则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：CaxdxaxxaxtCtdtdtatttatdxaxxdtatttdtatdxatxttaxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+22222222222222212222222222 2)(21 ,)0()0(.33代入上式得：将则令证明：CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+=+2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()()0(1)(.34证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-17-C)(22 C)()(22 31)(C)(1 39)(C)(22 1 )0(C)(22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaaxxaxxlnaaxxlnaaxxdxaxxaxxlnxdaxaxxlnaaxxdxaxxdaxadxaxdxaxaaxdxaxxaaxxlnaaxxdxaxx公式公式证明：C)()()(1,|AB|,|AC|,|,BRt cos1 1 )()(,01,22 )()(,)22(|)()()0(C)()(.362222322222222222223222222222322232223222322222223222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxxdxaxx0 xaxClnaaxx xax lnCaxx axax lnCsint tant sectlndxaxxaaxcost sect,axtant axxsintaxxaBCtABCCsint tant sectlndttdtsectdtsectdtsectdtsecttsecdtsectttantdt secat secattandxaxxt secattanaxxcostsectt|t seca|ttanaaxxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxxfaaxxlnaxxdxaxx1111222323233222则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=|sec 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-18-1 )(21 )(21 )(21 21 1 1 2)(21 ,)0()0(1 .3722222222222222222222222222222212222222222CxaaxlnaCxaax lnaCaaxaax lnaaxxdxaxtCatat lnaCatat lnadtatdtattattaxxdxdtatttdtatdxatxttaxaCxaaxlnaaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则令证明：C 21 2122+=axaxlnaaxdx：公式bnlogblogana=提示：1 11 )1(211121 )1(1121 1221 11111 1 ,)0(1 11 )0(.3822222222221122222222222222222222222222222CxaaxaxxdxxtCtaaCtaatadtaadttataadttatdtatxdaxtxtxtxdaxaxxdxaCxaaxaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-19-Caxxln2aax2xdxaxaxxlnaaxxdxaxCaxxlnadxaxadxaxxdxaxaxxdxaxxdxaxdxaxxaxxaxdxaxxdxaxa Caxxln2aax2xdxax.22222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+)()(2 )(1 )0()(391即得，由又：证法 Caxxln2aax2xdxaxlna2aaxxln2aax2x|aaxx|ln2aax2x|tantsect|lnatantsectaaxtant,axacostsect xa|AB|x,tanta|AC|a|BC|,tBABC ,tantaxC|tantsect|lna2tantsecta2dtantsecta C|tantsect|lnsectdtsectdtatantsecta2dtantsectasectdtdtantsectdtcostdttcoscostdttcostcos dttcostsintantdtsecttant tantdsect tantdsectatantsecta dtantsectatantasectdadxaxsectaaxtcostsec,2t2,sectattanaax 2t2tantax0a Caxxln2aax2xdxax.222222222222222222222222222212222323222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)()(2121 1 Rt 11 87 )(1 1111 )(,01 1)(2 )()(39综合得则，中，可设在联立有）（公式又联立有又，则令：证法tsecttan221 =+提示：)0()(131+=+a Caxxlndxax2222：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-20-+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxCxaxln83aax8xa3axaxxCaxaxlna83axaax8a3axaaxaxatantdtsecaaaxt sect,axtant axxaBCtABCCtantsectlna83tantsecta83tanttsecatantdtsecaCtantsectlntantsect dtsecttantsecttantdtseca dttsectantdsect dtsectdttsectantsectsectdttsectantsectsectdtttantantsectsectdtanttantsecttantdsecttantdsectatanttsecatantdtsecatantdsectatantdtsecatanttsecatantdsecttsecatanttsecatantdsectttanatanttsecadttsecttanatanttsecadttantsecttsectantatanttsecatsecdtantatanttsecatantdtsecatantadtsecadxaxtsecaaxcostsecttt secaax ttantaxRxxaxxfaCaxxlnaaxaxxdxax4333333223333232332323333333333)(83)52(8)()(4 4 cos1|AB|,|AC|,|,BRt 41 21 21 21 21 )1()3(41 3 3 )1(3 3 3 3 )()()(,01,22|)(,)22(|)()()0()(83)52(8)(.4022422223222222222221224224223224422221444414444444444444444443223223223222242222322则中，设在联立得联立得：又移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=|sec 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-21-CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+32221122222122221222232222)(31 )(211121 )()(21 )(21 )0()(31 .41证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-22-+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxxaxxlnaxaxlnaxaxCxaxlnaaxaxxCaxxxaxlnaaxxaCaaxaxaaxaxlnaaaxaxatdsectsectantaaaxt sect,axtant axxaBCtABCCsectttanatantsectlnatantsectatdsectsectantaCtantsectlntantsect dtsecttantsectsectdtant sectdtant dtsecttantsectdtsectttan dtsecttantsectsectdtttantantsecttdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtanttsecttanatdsectantatsecttanatdsectantatdsectsectantadsecttanttsecatsecttanatdsectantadtttantsecatsecttanatdsectantatdtantsecatsecttanatdsectantatdsecttanatdsectantatdsecttantantatdsectsectantatdtsecttanatantdsectttanatantadsectttanadxaxxsectttanaaxxcostsectt sectattanaaxx ttantaxRxxaxxxfaCaxxlnaaxaxxdxaxx23222333232333322322222)(8)2(8 )(8 8 0 8)2(8 4 88 4 88 cos1|AB|,|AC|,|,BRt 4 88 21 21 21 21 )1(4 4 )(41 3 3 )1()()()(,01,22|)(,)22(|)()0()(8)2(8 .42224222222222422422224222222232242241223342242244222214444144444244434444444444443222322222222222242222222，则中，设在联立得：移项并整理得：移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=|sec 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-23-)()(2 )(2 21 1 2)(21 ,)0(0|)()0(.4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222CxaaxlnaaxCxaax lnaaxCaaxaax lnaaxdxxaxaxtCatat lnatCatat lnaatdtatadtdtataatdtattdtattattdxxaxdtatttdtatdxatxatttaxxxxaxxfaCxaaxlnaaxdxxax+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C)(2 ,1 C)(,0 2.C)(0 1|AB|,|AC|,|,BRt 1 1 1 )1(,01,20 ,)(,)20(,0 1.0|)()0(C)(.4422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+xaxlnxaxdxxaxxaxlnxaxdxxaxxxaxlnxaxdxxaxxaxClna xax lnxaxCxax axax lndxxaxaaxcost sect,axtant,axxsintaxxaBCtABCCsint tant sectlndsinttsindtsectdttsincostdtsectdttsintcoscostdtsectdtttansectdtsectdtttanttansecttdt secattan asectdxxaxttan asectxaxcostsecttttan a secta xaxtdt secatantaddx ttantaxxxxxaxxfaaxxlnxaxdxxax1112222222222222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=|sec 87 ：公式C 21 2122+=axaxlnaaxdx：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-24-（七）含有（七）含有（七）含有（七）含有)0(22aax的积分的积分的积分的积分（4558）2 1|1|1 .2 1 Rt 20 )20(.1 1 1 )0(453 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,CaxxlnCaaxxlnCaxxln CaxxlnCalnadaxdxx,xax,axC|axx|ln|aaxx|ln|ttantsec|lnaxdxaax|BC|AC|ttan,axtcostsecax|AC|,x|AB|a|BC|,tBABCC|tantsect|ln sectdtdttantatantsectaaxdx tantaaxt tanta1tsecaax tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxf(x)a C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx.22122522422242242242222222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法Cttantseclntdtsec+=|87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-25-2 1|1)(|1 .2|.1 1 2 )0(45 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,CaxxlnCaaxxlnCaxxln CaxxlnCalnadaxdxx,xax,ax CaxxlnC1axaxlnCaxarchCtdtdtshtashtaaxdxshtdtadx,shtaatchaaxaxarcht0)(tchtax,axaxax|xaxf(x)a C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx.221225224222422422422222232222122222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-26-Caxaxaxdx,CaxaxaxdxxCaaadadaxdxx,xax,axCaxaxaxdxxaxtsinax|AC|,x|AB|a|BC|,tBABCCtsinasintdtsinadttsintcosadttsintcostcosa dtttansectadtttanatantsectaaxdx ttanaaxtantt ttanaax tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxf(x)a Caxaxaxdx.222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=23232333232222222232333333333323)(2 1 )()()(1 )()(.2 )(Rt 1 11 111 1)()(,0 20 )()20(.1 )(1 )0()(46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(211121 )()(21 )(21 )0(.47211222221221CaxCaxa