1、Daniel Lau高等数学高等数学高等数学高等数学积积积积 分分分分 表表表表公公公公 式式式式 推推推推 导导导导高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau目目目目录录录录(一)含有(一)含有(一)含有(一)含有bax+的积分的积分的积分的积分(19)1 1(二)含有(二)含有(二)含有(二)含有bax+的积分的积分的积分的积分(1018)5 5(三)含有(三)含有(三)含有(三)含有22ax的积分的积分的积分的积分(1921)9 9(四)含有(四)含有(四)含有(四)含有)0
2、(2+abax的积分的积分的积分的积分(2228)1111(五)含有(五)含有(五)含有(五)含有)0(2+acbxax的积分的积分的积分的积分(2930)1414(六)含有(六)含有(六)含有(六)含有)0(22+aax的积分的积分的积分的积分(3144)1515(七)含有(七)含有(七)含有(七)含有)0(22aax的积分的积分的积分的积分(4558)2424(八)含有(八)含有(八)含有(八)含有)0(22axa的积分的积分的积分的积分(5972)3737(九)含有(九)含有(九)含有(九)含有)0(2+acbxa的积分的积分的积分的积分(7378)4848(十)含有(十)含有(十)含有
3、(十)含有或或或或)(xbax的积分的积分的积分的积分(7982)5151(十一)含有三角函数的积分(十一)含有三角函数的积分(十一)含有三角函数的积分(十一)含有三角函数的积分(83112)5555(十二)含有反三角函数的积分(其中(十二)含有反三角函数的积分(其中(十二)含有反三角函数的积分(其中(十二)含有反三角函数的积分(其中0a)(113121)6868(十三)含有指数函数的积分(十三)含有指数函数的积分(十三)含有指数函数的积分(十三)含有指数函数的积分(122131)7373(十四)含有对数函数的积分(十四)含有对数函数的积分(十四)含有对数函数的积分(十四)含有对数函数的积分(
4、132136)7878(十五)含有双曲函数的积分(十五)含有双曲函数的积分(十五)含有双曲函数的积分(十五)含有双曲函数的积分(137141)8080(十六)定积分(十六)定积分(十六)定积分(十六)定积分(142147)8181附录:常数和基本初等函数导数公式附录:常数和基本初等函数导数公式附录:常数和基本初等函数导数公式附录:常数和基本初等函数导数公式 8585说明说明说明说明 8686团队人员团队人员团队人员团队人员 8787bxax高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau
5、-1-(一)含有(一)含有(一)含有(一)含有bax+的积分的积分的积分的积分(19)CbaxlnabaxdxbaxtC t lnadttabaxdxdtadx,adxdtttb axabxxbax)x(fCbaxlnabaxdx.+=+=+=+=+=+=+1 1 11 1 )0(|1 1 1代入上式得:将,则令的定义域为被积函数证明:CbaxadxbaxbaxtC tadttadxbaxdtadx,adxdttbaxCbaxadxbax.+=+=+=+=+=+111)()1(1)()1(1 1)(1 ,1)()()1(1)(2代入上式得:将则令证明:()()()()()C bax lnbba
6、xadxbaxxbaxtC t lnbtaC t lnabat dttbadtadttb1adtatbtadxbaxx dtadx ,btax,t tbaxabx|xbaxx)x(fC bax lnbbaxadxbaxx.22222222+=+=+=+=+=+=+=+1 1 11111 11 )0(1 3代入上式得:将则令的定义域为被积函数证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-2-CbaxlnbbaxbbaxadxbaxxCbaxlnabbaxdbaxabdxbaxbaCbaxlnabxabbaxdbaxabdxabaxdbaxbbaxabdxb
7、axabxaCbaxadxbaxadxbaxbadxbaxabxadxbaxadxbaxbabxbaxadxbaxxCbaxlnbbaxbbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)(2)(211 )(11 22 )(122 )(221 )(21)(1 121)(1 )2)(1 )(2)(211 .4223233232222323323321232222222222232由以上各式整理得:证明:CxbaxlnbCbaxxlnbCbaxlnbxlnb)bax(dbaxbdxxbdxbaxbadxxbdx)bax(babxbaxxdxbabAbBAabxaxbaxbaxBxba
8、xxabx|xbaxx)x(fCxbaxlnbbaxxdx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+1 1 1 1 1111 1111)(B1A 10 AB)(AB)A(1 ,A)(1 )(1 1)(5于是有则设的定义域为被积函数证明:blogblogaa=1 提示:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-3-CxbaxlnbabxCbaxlnbabxxlnbabaxdbaxbadxxbdxxbadxbaxbadxxbdxxbabaxxdxbaCbbaBbaBAbCAabaBAbxaxCxbaxbaxxbaxCxBxbaxxabxxbaxxxf
9、Cxbaxlnbabxbaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+1 1 )(1111 1111)(1BA 100 1B)(C)(A )B()(A1 ,A)(1|)(1)(1)(.6222222222222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明:CbaxbbaxlnaCbaxabbaxlnabaxdbaxabbaxdbaxadxbaxabdxbaxadxbaxxabBaBAbAaxBAbaxbaxxbaxBbaxAbaxxabx|xbaxx)x(fCbaxbbaxlnadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+1 )(1 )()(1)(11 )(1 1
10、1)(1A 01 )(A B)A(,)()()(1)(72222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-4-()C baxb bax lnbbaxadxbaxxbaxtCtb t lnbtaC t lnabtatabdttabdtadttabdttabttbdxbaxx tabttbtatbbaxxdtadx ,btax,t tbaxabx|xbaxx)x(fC baxb bax lnbbaxadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+23222333323323223222222222
11、222222232221)()2(1 21 12112)(2)()(11 )0()(21)(8代入上式得:将则令的定义域为被积函数证明:C|xbax|lnbbaxb Cbaxbb|axlnb|x|lnb dxbaxbadxbaxbadxxbbaxxdxbaDbaBbA 1Ab0DBbAab20BaAa AbDBbAab2xBaAaxDxBbxBaxAabx2AbxAa DxbaxBxbaxA1 baxDbaxBxAbaxxabx|xbaxx)x(fC|xbax|lnbbaxbbaxxdx.22222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+2222222222221)(1111
12、1)(1111)(1 )()()()()()(1 )(1 1)(1)(9于是有则设:的定义域为证明:被积函数高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-5-(二)含有(二)含有(二)含有(二)含有bax+的积分的积分的积分的积分(1018)CbaxaCbaxabaxdbaxadxbaxCbaxadxbax+=+=+=+=+3121213)(32 )(21111)()(1 )(32 .10证明:CbaxbaxaCbaxbbaxadxbaxxbaxtCbtatCtabtadtabdtadtbttadtattabtdxbaxxtabtbaxxdtatdxabtxt
13、tbaxCbaxbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+32322233252325224222232)()23(152 )(5)(3152 )53(152 32523252 )(22 ,2 ,)0()()23(152 .11代入上式得:将则令证明:CbaxbabxxaabaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtabtabtaCtabtabtadttabdttabdttadtbttbttadxbaxxabttbttabtbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+32223222233
14、22243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(4235301515)(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(2 2)(,2 ,)0()()81215(1052 .12代入上式得:将则令证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-6-CbaxbaxaCbaxabbaxbaxadxbaxxbaxtCtabtaCtabtabdtadttadtatatbtdxbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbaxadxbaxx
15、+=+=+=+=+=+=+=+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2 ,2 ,)0()()2(32 .132222322122222222代入上式得:将则令证明:CbaxbabxxaaCbaxbaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtbtbtadttabdtbadttadtbtbtadtattabtdxbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)()843(152 )()(1015)2(3)(152 )10153(152 )3251(2 422 )2(2 21)(,2 ,)0
16、()()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得:将则令证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-7-+=+=+=+=+=+=+=+)0(2)0(1 2 ,1 2 t 2 )(122 0 .2 1 1 )(122 0b .1 2 21 ,2 ,)0()0(2)0(1 .15222222222bCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdxCbbaxarctanbbaxxdxbaxtCbarctanbdtbtdtbtbCbbaxbbaxlnbbaxxdxbaxtCbtbt
17、lnbdtbtdtbtdtbtdtattabtbaxxdxdtatdxabtxttbaxbCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdx得:综合讨论代入上式得:将,时当代入上式得:将,时当则令证明:Caxaxlnaaxdx+=21 21 22:公式Caxarctanaaxdx+=+1 19 22:公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-8-+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbabxbaxdxbaxxbabxbaxdxbaxxbadxbaxaxbbxbaxdxbaxxbabaxdxbbxbaxdxbaxxbaxdba
18、xbdxbaxxbadxxbaxbdxbaxxbabaxxdxbbaBbBaAbaxxxbaxBbaxxbaxxbaxxdxbabxbaxbaxxdx 2 121 )(2111 111 1 11 11 1BA 10 )B(A1 ,A1 2 .162122222于是有则设证明:2 212 )(2 2122 122 1 ,122 122 2 2 2 2 ,)0(2 .172222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbbaxdxbaxabbaxbbaxdxxbaxbaxtdxtabtbtdtbtbtdxxbaxdtbtRbdtbtbtdtbtbdtdtbtbbtd
19、tbttdtatbtatdxxbaxdtatdxabtxttbaxbaxxdxbbaxdxxbax代入上式得:将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-9-(三)含有(三)含有(三)含有(三)含有22ax的积分的积分的积分的积分(1921)2 2)(1 1 1 2 .182122+=+=+=+=+=+baxxdxaxbaxdxabaxxxbaxbaxdxxbaxxdbaxdxxbaxbaxxdxaxbaxdxxbax证明:Caxarctanaaxdxaxarctantaxarctan ttanta xCtadtat
20、 dtsecatsecaaxdxtsecattanadxaxt dtsecatantaddxttantaxCaxarctanaaxdx2222222+=+=+=+=+=+=+abax的积分的积分的积分的积分(2228))0(21)0(1 2 ,1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 .2 1 C1 )(11 1)(1111 0b .1 )()0(21)0(1 .222222222222222222+=+=+=+=+=+bCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdxCbxabxalnabCabxabxlnaabdxabxabaxdxaabxaabxbaxbCxbaarc
21、tanabxbaarctanbaadxabxabaxdxaabxaabxbax0abCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdx得:综合讨论,时当,时当证明:Cb axlnabaxdbaxadxbaxdxbaxxaCbaxlnadxbaxx22+=+=+=+=+21 )(121 121 )0(21 .23222222证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-12-+=+=+=+=+=+baxdxabaxdxbaxabdxbabdxbaxbabdxbbaxaxabdxbaxxabaxdxabaxdxbaxx2222222222 11 )1
22、1(1 )0(.24证明:C21 21 21 )(12112112121)(121)(11 )()(1 )(1 )(121 )()()(C21)(.25222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxlnbCbax ln bxlnbbaxdbaxbdxxb dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0BAaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0abaxxlnbbaxxdx22222222222222于是有则设:证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La u
23、Daniel Lau-13-+=+=+=+=+=+=+=+=+baxdxbabx dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0BAaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxabaxdxbabxbaxxdx2222222222221 111 )(1)(11 )()(1 )(1 0)(1)(.2622222于是有则设:证明:CbxxbaxlnbaCbax ln babxxlnbadxbaxbadxxbdxxbabaxxdxbaCbaAbB BbBaAbCAaBbxBaAbxCAaCxbaxBbaxAxbaxCxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0
24、aCbxxbaxlnbabaxxdx222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+22222222222224222322244244244322223212 221 2 1212112)(1100 )()()()(1 )(1 )(121 )()()(212)(.27于是有则设:证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-14-(五)含有(五)含有(五)含有(五)含有)0(2+acbxax的积分的积分的积分的积分(2930)+=+=+=+=+baxdxbbaxbxdxbaxbbbaxabxbbaxdxbaxbbabxbaxaxd
25、xbaxbbdxxabbaxaxdxbaxbabxbaxaxbBbA AbBaAa Abx)BaAa(BaxbaxAbaxBaxAbaxaxdxaxbaxbaxaxaxdbaxbaxaxbaxdaxbaxdx0abaxdxbbaxbxbaxdx.222222222222222222222222222上式于是有,则设:证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-15-(六)含有(六)含有(六)含有(六)含有)0(22+aax的积分的积分的积分的积分(3144)+=+=+=+=+=+cbxaxdxabcbxaxlnadxcbxaxabcbxaxdcbxax
26、adxcbxaxbadxcbxaxbaxadxcbxaxbbaxadxcbxaxxacbxaxdxabcbxaxlnadxcbxaxx222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0(2 21 .30证明:C)(,1|AB|,|AC|BRt 1 ,01,22|,)22(1 )0(C)(31222222322222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxdx0 xaxC xax lnClna xax lnC axax lnC tant sect lnaxdxaxtant aaxcostse
27、ctaxx,a|BC|,tABCC tant sect lndtsectdtt seca sectaaxdx sectaaxcostsectt sectaaxtdt secatanta(ddx ,ttantaxRx|xax)x(faaxxlnCaxarshaxdx.22则中,设在则可令的定义域为被积函数证明:Cttantseclntdtsec+=|87 :公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-16-1)(|AB|AC|sint|AB|,|AC|,|,BRt 1cos1 11 1)()(,01,22|)(,)(,)22(|)(1)()0()(.322
28、2223222222222322322322322222322CaxaxCsintaaxdxaxxaxxaBCtABCCsintatdtadtsectadtt secat secaaxdxt secaaxcostsecttt secaaxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxfaCaxaxaxdx23333332+=+=+=+=+=+=+=+=+=+则中,设在则可令的定义域为被积函数证明:CaxdxaxxaxtCtdtdtatttatdxaxxdtatttdtatdxatxttaxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+22222222222222212222222222
29、 2)(21 ,)0()0(.33代入上式得:将则令证明:CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+=+2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()()0(1)(.34证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-17-C)(22 C)()(22 31)(C)(1 39)(C)(22 1 )0(C)(22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+axx
30、lnaaxxaxxlnaaxxlnaaxxdxaxxaxxlnxdaxaxxlnaaxxdxaxxdaxadxaxdxaxaaxdxaxxaaxxlnaaxxdxaxx公式公式证明:C)()()(1,|AB|,|AC|,|,BRt cos1 1 )()(,01,22 )()(,)22(|)()()0(C)()(.362222322222222222223222222222322232223222322222223222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxxdxaxx0 xaxClnaaxx xax lnCaxx axax lnCsint tant sectlndxa
31、xxaaxcost sect,axtant axxsintaxxaBCtABCCsint tant sectlndttdtsectdtsectdtsectdtsecttsecdtsectttantdt secat secattandxaxxt secattanaxxcostsectt|t seca|ttanaaxxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxxfaaxxlnaxxdxaxx1111222323233222则中,设在,则可令的定义域为被积函数证明:Ctantsectlndtt+=|sec 87 :公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDan
32、iel Lau-18-1 )(21 )(21 )(21 21 1 1 2)(21 ,)0()0(1 .3722222222222222222222222222222212222222222CxaaxlnaCxaax lnaCaaxaax lnaaxxdxaxtCatat lnaCatat lnadtatdtattattaxxdxdtatttdtatdxatxttaxaCxaaxlnaaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得:将则令证明:C 21 2122+=axaxlnaaxdx:公式bnlogblogana=提示:1 11 )1(211121 )1(1121 1221 1111
33、1 1 ,)0(1 11 )0(.3822222222221122222222222222222222222222222CxaaxaxxdxxtCtaaCtaatadtaadttataadttatdtatxdaxtxtxtxdaxaxxdxaCxaaxaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得:将则令证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-19-Caxxln2aax2xdxaxaxxlnaaxxdxaxCaxxlnadxaxadxaxxdxaxaxxdxaxxdxaxdxaxxaxxaxdxaxxdxaxa Caxxln2a
34、ax2xdxax.22222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+)()(2 )(1 )0()(391即得,由又:证法 Caxxln2aax2xdxaxlna2aaxxln2aax2x|aaxx|ln2aax2x|tantsect|lnatantsectaaxtant,axacostsect xa|AB|x,tanta|AC|a|BC|,tBABC ,tantaxC|tantsect|lna2tantsecta2dtantsecta C|tantsect|lnsectdtsectdtatantsecta2dt
35、antsectasectdtdtantsectdtcostdttcoscostdttcostcos dttcostsintantdtsecttant tantdsect tantdsectatantsecta dtantsectatantasectdadxaxsectaaxtcostsec,2t2,sectattanaax 2t2tantax0a Caxxln2aax2xdxax.222222222222222222222222222212222323222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)()(2121 1 Rt 11 87 )(1 111
36、1 )(,01 1)(2 )()(39综合得则,中,可设在联立有)(公式又联立有又,则令:证法tsecttan221 =+提示:)0()(131+=+a Caxxlndxax2222:公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-20-+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxCxaxln83aax8xa3axaxxCaxaxlna83axaax8a3axaaxaxatantdtsecaaaxt sect,axtant axxaBCtABCCtantsectlna83tantsecta83tanttsecat
37、antdtsecaCtantsectlntantsect dtsecttantsecttantdtseca dttsectantdsect dtsectdttsectantsectsectdttsectantsectsectdtttantantsectsectdtanttantsecttantdsecttantdsectatanttsecatantdtsecatantdsectatantdtsecatanttsecatantdsecttsecatanttsecatantdsectttanatanttsecadttsecttanatanttsecadttantsecttsectantatantt
38、secatsecdtantatanttsecatantdtsecatantadtsecadxaxtsecaaxcostsecttt secaax ttantaxRxxaxxfaCaxxlnaaxaxxdxax4333333223333232332323333333333)(83)52(8)()(4 4 cos1|AB|,|AC|,|,BRt 41 21 21 21 21 )1()3(41 3 3 )1(3 3 3 3 )()()(,01,22|)(,)22(|)()()0()(83)52(8)(.4022422223222222222221224224223224422221444414444
39、444444444444443223223223222242222322则中,设在联立得联立得:又移项并整理的:则可令的定义域为被积函数证明:Ctantsectlndtt+=|sec 87 :公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-21-CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+32221122222122221222232222)(31 )(211121 )()(21 )(21 )0()(31 .41证明:高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-22-+=+=+=+=+=
40、+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxxaxxlnaxaxlnaxaxCxaxlnaaxaxxCaxxxaxlnaaxxaCaaxaxaaxaxlnaaaxaxatdsectsectantaaaxt sect,axtant axxaBCtABCCsectttanatantsectlnatantsectatdsectsectantaCtantsectlntantsect dtsecttantsectsectdtant sectdtant dtsecttantsectdtsectttan dtsecttantsectsectdtttantan
41、tsecttdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtanttsecttanatdsectantatsecttanatdsectantatdsectsectantadsecttanttsecatsecttanatdsectantadtttantsecatsecttanatdsectantatdtantsecatsecttanatdsectantatdsecttanatdsectantatdsecttantantatdsectsectantatdtsecttanatantdsectttanatantadsectttanadxaxxsectttanaaxxcostse
42、ctt sectattanaaxx ttantaxRxxaxxxfaCaxxlnaaxaxxdxaxx23222333232333322322222)(8)2(8 )(8 8 0 8)2(8 4 88 4 88 cos1|AB|,|AC|,|,BRt 4 88 21 21 21 21 )1(4 4 )(41 3 3 )1()()()(,01,22|)(,)22(|)()0()(8)2(8 .4222422222222242242222422222223224224122334224224422221444414444424443444444444444322232222222222224222
43、2222,则中,设在联立得:移项并整理得:移项并整理的:则可令的定义域为被积函数证明:Ctantsectlndtt+=|sec 87 :公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-23-)()(2 )(2 21 1 2)(21 ,)0(0|)()0(.4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222CxaaxlnaaxCxaax lnaaxCaaxaax lnaaxdxxaxaxtCatat lnatCatat lnaatdtatadtdtataatdtattdtattattdxx
44、axdtatttdtatdxatxatttaxxxxaxxfaCxaaxlnaaxdxxax+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得:将则且令的定义域为被积函数证明:C)(2 ,1 C)(,0 2.C)(0 1|AB|,|AC|,|,BRt 1 1 1 )1(,01,20 ,)(,)20(,0 1.0|)()0(C)(.4422222222222222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+xaxlnxaxdxxaxxaxlnxaxdxxaxxxaxlnx
45、axdxxaxxaxClna xax lnxaxCxax axax lndxxaxaaxcost sect,axtant,axxsintaxxaBCtABCCsint tant sectlndsinttsindtsectdttsincostdtsectdttsintcoscostdtsectdtttansectdtsectdtttanttansecttdt secattan asectdxxaxttan asectxaxcostsecttttan a secta xaxtdt secatantaddx ttantaxxxxxaxxfaaxxlnxaxdxxax1112222222222222得
46、:综合讨论同理可证得:时当则中,设在,则可令时当的定义域为被积函数证明:Ctantsectlndtt+=|sec 87 :公式C 21 2122+=axaxlnaaxdx:公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-24-(七)含有(七)含有(七)含有(七)含有)0(22aax的积分的积分的积分的积分(4558)2 1|1|1 .2 1 Rt 20 )20(.1 1 1 )0(453 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,CaxxlnCaaxxlnCaxxln CaxxlnCalnadaxdxx,xax,axC|axx|ln|aaxx|ln
47、|ttantsec|lnaxdxaax|BC|AC|ttan,axtcostsecax|AC|,x|AB|a|BC|,tBABCC|tantsect|ln sectdtdttantatantsectaaxdx tantaaxt tanta1tsecaax tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxf(x)a C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx.22122522422242242242222222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=,可写成综合讨论可知由讨论即时,令即当则,中,可设在,则,可设时当
48、或的定义域为被积函数:证法Cttantseclntdtsec+=|87 :公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-25-2 1|1)(|1 .2|.1 1 2 )0(45 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,CaxxlnCaaxxlnCaxxln CaxxlnCalnadaxdxx,xax,ax CaxxlnC1axaxlnCaxarchCtdtdtshtashtaaxdxshtdtadx,shtaatchaaxaxarcht0)(tchtax,axaxax|xaxf(x)a C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx.221
49、225224222422422422222232222122222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=,可写成综合讨论可知由讨论即时,令即当则,可设时当或的定义域为被积函数:证法高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau-26-Caxaxaxdx,CaxaxaxdxxCaaadadaxdxx,xax,axCaxaxaxdxxaxtsinax|AC|,x|AB|a|BC|,tBABCCtsinasintdtsinadttsintcosadttsintcostcosa dtttansectadtttanatantsectaaxdx ttanaa
50、xtantt ttanaax tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxf(x)a Caxaxaxdx.222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=23232333232222222232333333333323)(2 1 )()()(1 )()(.2 )(Rt 1 11 111 1)()(,0 20 )()20(.1 )(1 )0()(46得:综合讨论代入得:将可知由讨论即时,令即当则,中,可设在,则,可设时当或的定义域为被积函数:证明 )(211121 )()(21 )(21 )0(.47211222221221CaxCaxa
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