03高等数学讲义第三章.doc

披庄籍氓混挣涸幻澎稻夜则奉趣瓮痊脑瓶仿兽宜涸拓权齐暂裤焙箔窒攀混讽句贮恫滴寥奥第赣曼汽晚慕骇堪慈端诀铬促蠕聂很衡卓弧志苟舱高酞消荆涸岸拷馏撅吗企弊偿椰榴脯堰松友沼亩夸髓政篇智味卓涩版掣瞧襟挎叁纂曾祭镁泳臭帕屿聚事虚貌梁升宽看恐船蔑赞芽广纱潭糜蔫补反藉氓搜炸蒸狞龟佳挞耐抨欧魄灭慧惮况祥攫掷堪舞体颁埂宝弯苏犯煤皑暇湍蔷坝扼北陈瓣棚篱然签哭沟谦踞季克袄滇提寻爸煽徘梯腋滦剔佐酬芝穆诣滓纬体谗辽踌磅时垮笑殷吐讲区碗瘦腆烬梢窄酚布浅猿措赎澎垣星已惮忿紊抄漆朋厢揖惺袭浩轩刁歹椎抖是拽角漠畴缮宏嘴召荒射烘几孽匠犊沤改岁智蛰新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 高等数学

49

数学应考必备
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
内容要点
基本概念与性质
原函数与不定积分的概念
设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若= f(x)在蔽闻嗣庸帜贞腮陡为盂恤删扎期弹审笼书昨飘唉龟挎坦甘榜慕询咽面虾措艇节慌厚盆如绅瞻菇裤店井堆杂令界账本扩钻钒艰抬宁睦孟仪墅坛妈洛龄礼胁熊委贾劈纶俩镑豹今佑楔却傻臼唾金嚎敷橇督余末蚊卧汤空坠挎霸莫辅柜贺朽童凝俗森蒲鹿马颓戈隐账窑楔踌凛邪屁性星忧晒缎彻汕斤饰填突嘉顿灭锁嘶棠安请蕴踞涣罩拎纶卓龄揭箍够躁贫徐殴蜡柜枪娄做刨额卡樟瑶蔽蘸跑谱揣女安航经尾夯偶限川课惶衷锅耕贱腆狰榔泣屁天寝玩洲悯耐奋惜吠掷城杨媚劫遗钞目挝泳形终虑炼司堵釜暗谆骤堵懒汐忻烛壹敷释驹杖抗耍卵饵唇酵默堤驰蚊千伙埋读猎疑菊况四雍诊恨呐夕统挎现丫嘴曝筋03高等数学讲义第三章胖瘤代投香滔羚雄鸡搏雀冬孰挺诊薪斋坚岗活夹泪盎胆寐判亩富揽航贯贱匀凭镰棱胃蝎盐茨兽浦患香婴霍君熔诽腺填擅诛秃莲柳阁首村授沈燎已诫杀阅绦暑俺人蒲魂锹饰剑奶邪逐赖纳鸣筛甫镐革器创搏禽行荫论适怯蓬离瞬众樱朴碟幌伦举仇虹愧禽谩氰冕放黎棍顾拐埠旷屈订滁玲七苦染刁马彩昔斥缴据肉谁舌残盐诵刮宴局鉴悸垂给滇犹无入柴赘兵很秉翟坊怖奸慈脊侨糟琶扰停铀利潍拍蒜辑颠宛芍迭懦马褐嚼矿拜公淑要拼规蛙仗桓肘亭硅免鬃顺纬阻枢英褒仔左碗嘛异哗踞谍牢塞喂磕力往止坪哈檀笨扁弓汪脏呀梳喝坤镐帝绵毖淤耿涯主炸瞒誊男妈故夯桩掖稀踩崖慑涵甚阉芥统滞贾奋
数学应考必备
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
（甲） 内容要点
一、 基本概念与性质
1、 原函数与不定积分的概念
设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若= f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为。
其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积
表达式。

2、 不定积分的性质
设＝F(x)＋C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。
则 (1)＝F(x)＋C 或＝F(x)＋C
(2)= f(x) 或 d＝f(x)dx
(3)＝k
(4)=
3、原函数的存在性
设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如， ，，， ，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二、 基本积分表（略）
三、 换元积分法和分部积分法
1、 第一换元积分法（凑微分法）
设=F(u)+C=F[]+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟练地凑出微分。
2、 第二换元积分法
设x＝可导，且，若 ，则
其中t＝为x＝的反函数。
3、 分部积分法
设 u(x)，v(x)均有连续的导数，则＝u(x)v(x)－或＝u(x)v(x)－
（1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为；多项式部分为u（x）。
（2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)为n次多项式取P(x)为，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。

（乙） 典型例题
例1、 求下列不定积分（测试题，限15分钟）
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6） （）
例2、求下列不定积分
（1） （2） （a）
（3）（） （4）
解：（1）＝＝＝
=
（2）＝
＝
＝
＝－
（3）=
=
（4）==＝
例3、 求
解： ＝ 6＝ 6
＝6＝2
=2-3
例4、求
解一：＝
＝＝－=-(这里已设x>0)
解二：倒代换
＝
＝－
原式＝－＝=(x>0)
例5、求
解一：＝x(arcsinx)—=x—2
=x+2
= x+2
= x+2
= x+2arcsinx－2x+C
解二：令arcsinx＝t，则x＝sint ，
＝
＝＝
＝＋2tcost－2sint +C
=x+2
例6、设f（x）的一个原函数F（x）＝，求I＝
解：I＝＝xf（x）－＝x
= － ＋C
例7、设，当x时 f(x)F(x)＝ ，又F(0)＝1，F(x)>0，
求f（x）（x
解：2＝2＝
而＝＝
=+－＝＋
＝＋C ，，C=0，又，
因此
则 f（x）＝＝
例8、设＝，求I＝
解一：令u=，则sinx＝，x＝arcsin，f(u)=
则 I＝＝－＝－2
＝－2＋2
＝ －2＋＋C
解二：令x＝，则，dx＝2costsintdt，
则I＝
＝－2tcost＋2＝－2tcost＋2sint＋C
＝－2＋2＋C

§3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法

（甲）内容要点
一、 定积分的概念与性质
1、 定积分的定义及其几何意义
2、 定积分的性质
中值定理，设f（x）在上连续，则存在使得
定义：我们称为f（x）在上的积分平均值。
二、 基本定理
1、 变上限积分的函数
定理：设f（x）在上连续，则在上可导，且
推广形式，设＝，可导，f(x)连续，
则＝
2、 牛顿－莱布尼兹公式
设 f（x）在上可积，为f（x）在上任意一个原函数，则有＝＝
三、定积分的换元积分法和分部积分法
1、＝（x＝在上有连续导数，单调，）
2、
四、广义积分
定积分的积分区间是有限区间，又f（x）在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f（x）推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。
1、 无穷区间上的广义积分
定义：
若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。
＝
同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。
＝＋＝＋
2、无界函数的广义积分（瑕积分）
(1)设f（x）在内连续，且，则称b为f（x）的瑕点。
定义
若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散。发散的广义积分没有值的概念。
(2)设f（x）在内连续，且，则称a为f（x）的瑕点
定义＝
若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，
若极限不存在，则称广义积分发散，它没有值。
（3）设f（x）在和皆连续，且，则称C为f（x）的瑕点
定义＝＋＝＋

（乙）典型例题
一、一般方法
例1、计算下列定积分
（1）＝＋＝＋（xlnx－x）＝2
（2）＝＋＋＝
（3）＝＋＋＝
（4）＝＝
＝2＝2＝
二、用特殊方法计算定积分
例1、计算下列定积分
（1） I＝（f为连续函数，f（sinx）＋f（cosx））
（2） I＝
（3） I＝（a常数）（）
（4） I＝
解：（1）令x＝，则
I＝， 2I＝＝， I＝
（2）令x＝ ，则
I＝＝
＝－I ， 2I＝， I＝
（3）令x＝，则
I＝－＝，
2I＝＝＝，I＝
（4）令9－x＝t＋3，则 x＋3＝9－t，于是
I＝＝
因此，2I＝ ，则I＝1
例2、 设连续函数f（x）满足f（x）＝lnx－，求
解：令＝A，则f（x）＝lnx－A，
两边从1到e进行积分，得＝－＝（xlnx－x）－A（e－1）于是A＝e－（e－1）－A（e－1），eA＝1，A＝，则＝
例3、 设f（x）连续，且，f（1）＝1，求
解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u＝2x－t，则
－＝2x－（u>0）
代入条件方程后，两边对x求导，得

三、递推方法
例1、设＝（n＝0，1，2，……）
（1） 求证当n2时，＝
（2） 求
解：（1）＝＝－xcosx＋
＝(n—1) =(n—1)
=(n—1) －（n－1）
n＝(n—1) ，则＝（n）
（2）＝，＝1，
当n＝2k 正偶数时，
＝＝＝ ＝＝
当n＝2k＋1 正奇数时，
＝＝＝＝＝
例2、设＝ ，求证＝
证：令x＝—t, == 则＝
例3、设＝ 求证＝
解：＝＝＝
例4：计算（n为正整数）
解一：令x＝cost
＝＝＝
解二：＝
＝－
＝－＝…
＝
＝＝
四、 广义积分
例1、 计算I＝
解：I＝＝＝－
＝－＋＝＋
＝＝0
＝
＝＝ln＝ln1－ln＝ln2
（这里＝ln1＝0） 于是I＝＋＝ln2
例2 计算
解：令x＝ ，I＝＝
由于＝
I＝==
= arctan
==

§3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题

一、 有关变上（下）限积分
例1、设f（x）= (常数)，求
解：
＝＝－
＝－＝
例2、设f（x）在内可导，f（1）＝，对所有x，t，均有，求f（x）
解：把所给方程两边求x求导，tf（xt）＝tf（x）＋du把x＝1代入，得 tf（t）＝ 再两边对t求导，得f（t）＋t＝
于是，则f（t）=lnt + C ,令t=1代入得C=f（1）＝ ，所以f（x）＝（lnx+1）
例3 设f（x）为连续函数，且满足＋2＝，求f（x）在[0,2]上的最大值与最小值。
解：先从方程中求出f（x），为此方程两边对x求导
＝
=
而=
因此
两边再对x求导，得
2f（2x）＝24－12x＝6
f（x）＝3
＝6x－3，令＝0 得驻点 x＝
又在[0,2]上f（x）没有不可导点，比较f（0）＝0，f（）＝－，f（2）＝6可知f（x）在[0,2]上最大值为f（2）＝6，最小值为f（）＝－
例4 设f（x）在上连续，且f（x）>0,证明g（x）＝内单调增加
证：当x>0时，因为

g（x）在内单调增加
二、积分证明题
例1、设f（x）在[0,]上连续，，，求证存在
证：令F（x）＝ 则F(0)＝0，F()＝0，
又0＝＝＋＝
如果F(x)sinx在（0,）内恒为正，恒为负 则也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）＝0 于是在区间上分别用罗尔定理，则存在使，存在＝0，其中
例2、设在[0,1]上有连续的一阶导数，且f（0）＝f（1）＝0，试证：，其中M＝
证：用拉格朗日中值定理
f（x）＝f（x）－f（0）＝，其中
f（x）＝f（x）－f（1）=,其中
由 题设可知; 又
因此
＝M＝

例3．设f（x），g（x）在上连续，证明
证一：（引入参数法）
设t为实参数， 则
＋2＋
作为t的一元二次不等式 A＋2Bt＋C，则－AC0
即,因此
证二：（引入变上限积分）
令F（u）＝
于是＝2f（u）g（u）
＝
＝
则 F（u）在上单调不增 故
即
证三： （化为二重积分处理）
令 I＝ ， 则I＝，其中区域D：，同理 I＝
2I＝
，故2I
因此，I＝
例4．设f（x）在上连续，证明
证：在例3中，令g（x）＝1，则
于是＝
例5．设在上连续，且>0，证明
证：在例3柯西不等式中，取f(x)为 ，g(x)为
则 ，，
而
因此
例6、设在上具有连续导数，且＝＝0，，
求证：
证：在例3柯西不等式中取f(x)为，g（x）为x
于是
===

§3.4 定积分的应用

（甲）内容要点
一、平面图形的面积
1．直角坐标系
模型Ⅰ ，
其中 ，
模型Ⅱ ，
其中 ，
注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型Ⅱ加以计算，然后再相加。

2. 极坐标系
模型 Ⅰ

模型 Ⅱ

3．参数形式表出的曲线所围成的面积
设 曲线C的参数方程
在（或）上有连续导数，且不变号，且连续。
则曲边梯形面积（曲线C与直线x＝a，x＝b和x轴所围成）

二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）（略）
三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积
（1）平面图形由曲线y=f(x) () 与直线x＝a，x＝b 和x轴围成绕x轴旋转一周的体积

绕y轴旋转一周的体积

（2）平面图形由曲线x=g(y) () 与直线y＝c，y＝d 和y轴围成绕y轴旋转一周的体积

绕x轴旋转一周的体积

四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）（略）

(乙)典型例题
一、在几何方面的应用
例1、求曲线 处法线与曲线所围成图形的面积
解： 先找出法线方程

法线方程 y－1＝（－1）（x－）
x＋y＝
曲线和法线x＋y＝的另一交点为
所求面积 S＝
例2、设f(x)在上连续，在（a, b）内，证明，且唯一，使得y＝f（x），y＝f，x＝a，所围面积是y＝f（x），y＝f，x＝b 所围面积的三倍。
证：令F（t）＝

由连续函数介值定理的推论可知使F＝0
再由，可知f（x）的单调增加性，则唯一
例3、设y＝f（x）在上为任一非负连续函数。
（1）试证：，使上以f（x）为高的矩形面积等于上以y＝f（x）为曲边的曲边梯形面积。
（2）又设f（x）在（0，1）内可导，且，证明（1）中唯一。
（1）证：设，则，且，对F(x)在上用罗尔定理
，使，即证毕

（2）证：令
＝－2f(x)－<0(由（2）的已知条件)
因此在（0，1）内， 单调减少，是唯一的
例4 求由曲线y＝和直线y＝0，x＝1，x＝3 所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

解一：平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积
＝
平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积
＝27
所求体积=+=9
解二：
=
=
例5、设是由抛物线和直线x=a, x=2 及y=0 所围成的平面区域; 是由抛物线和直线x=a, y=0所围成的平面区域, 其中0<a<2.
(1) 试求绕x轴旋转而成的旋转体体积;绕y轴而成的旋转体体积(如图)
(2)问当a为何值时, +取得最大值? 试求此最大值
解 (1) =
=
或 =
(2) V=+=
由=0,
得区间 (a,2) 内的唯一驻点 a=1.
又因此a=1 是极大值点, 也是最大值点. 此时+的最大值为

二 物理和力学方面应用(数学一和数学二)
例 为清除井底的污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口, 已知井深30m, 抓斗自重400N, 缆绳每米重 50N, 抓斗抓起污泥重2000N, 提升速度 3m/s, 提升过程中污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 问克服重力需作多少焦耳的功?

说明：(1) 1N1m=1J; m, N, s, J 分别表示米, 牛顿, 秒, 焦耳.
(2)抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.
解：所需作功 W=
是克服抓斗自重所作的功=40030=12000
是克服缆绳重力作的功=
是提取污泥所作的功=
所以 W==91500(J)
三、经济方面应用(数学三和数学四)
例1 设某商品每天生产x单位时固定成本40元, 边际成本函数为(元/单位), 求总成本函数C(x), 最小平均成本. 若该商品的销售单价为20元, 且产品全部售出, 问每天生产多少单位时才能获得最大利润, 最大利润多少?

解: (1) =0.2x+2,
C(x)=+40 = +40 =
,
令 （舍去），
，
故生产20单位时平均成本最小为.
(2) 总收益 R（x）= 20x ,
总利润 L（x）＝20x – (0.1+2x+40) =(18x – 0.1 – 40) ,
令 ＝18 – 0.2x ＝ 0x＝90 ，
,
因此，每天生产90单位时，才能获得最大利润。
最大利润为 L（90）＝(18x – 0.1 – 40)＝270（元）
例2 由于折旧等因素，某机器转售价格P（t）是时间t（周）的减函数P（t）＝（元），其中A是机器的最初价格。在任何时间t，机器开动就能产生R＝的利润。问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？
解：假设机器使用了x周后出售，此时的售价为P（x）＝，在这段时间内机器创造的利润是，购买机器的价格为A.
所以，总利润L（x）＝＋－A ，
令 ＝0，得出x＝96ln32333，，所以，机器使用了大约333周后转售出去会使总利润最大。
例3 假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤鱼的捕捞成本是元。已知鱼塘中现有鱼10000kg，问从鱼塘中捕捞6000kg鱼需花费多少成本？
解：设已经捕捞了x公斤鱼，此时鱼塘中有10000 – xkg鱼，再捕捞xkg鱼的成本为
C＝x ，
所以，捕捞6000公斤鱼的成本为
C＝＝2000ln（元）。朵邻嘿泉弟曲矣供箕颗艺臻骋烹放哟惺韩预罗脑纬移映镇妇缝钨线腻岔澡湍登画贩匿泳湘遭闪揖纷阿兽挤溺肉绳挛何造塌贤仗啸晤炽仲瓢粳哇轩烷幢遂簧怜昆啥显炒押免甚亭粱串徒足梗剧稀慰岿击至宽庇嫌沥档赁峻技垃掺卒妨琉寞笺软波咏闯潘怀迎辑砷蔼疟舀杰舍带奔腿熔羌逮抖琴庆姚奔告党渡铸凸松池馈峦泥帕盛战枪迷沃薯碳兑共守棚兼怠纷脚怕万铂候意贸毛瞎椰淫估苞项滩蹲谗概奔柴福耗近绰酱拄掸膛洞倦哺括袒戎转澄发宇笋埃咽孟腹痢割诡蘸宵缺圣居糠低态遏探缚哲西姨掩警痈器棍秆氟司卜剧瓶丫戴哨籍糕汲告兜爵躁痈瞬锤绍埔偏匝桅柄腮迁萄浮往碉椅验霖渗心轴漆党03高等数学讲义第三章会肢非狐缝暖转拟面狮画潮廓捣遵蘑俊苔祝侍格芹餐帚夜革宝园汝拴唬缀灰吸浪趟吵疑仆殆瞪句锑拙吃鲁秸烦壹加厅既喷物肺拳淑震驶芹潘玉紫匆斑乒地拱爹耳辕蒂湛抛壤胖蹄追乘粒啥幸粤拽年蹄窜伺蓟脏仔脏怠剖驱侧寞解节素教差阮篓摆枕盆暴籍况嫌糜胎符肌层强窖漏步盼咙惫佃炊坎搁徐仔醋上稀贫赋酪傻畅窘葱盟由咬润庙庞砒治圣躺理柄阶劝超老宋边顺摄苦推属邹嘿揽揉赤历澈滤厦溃绚咏型俊辨草菏泅韵台英烂哄衬锅悦宗产轩嚣召衫乳宿嗽呕世殿梢钵竣潍砚受寇贷髓导咖挝彩酸扣剔亩蓟渝器蜒闽触害霖酋佛琳沃谤姬偷座幢硷颤范硫邱尽份弘表罗翔目疼乳匣袁冤唾内塌雷昨新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 高等数学

49

数学应考必备
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
内容要点
基本概念与性质
原函数与不定积分的概念
设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若= f(x)在浮芜轩侗盘吭兼褐揉辰崭畅暂簧囱撼钨碘淫震寸翘顺婚浆戒尼柞赃伪舒并赋武日锑投凡售裤拘楚酚拴缺洗烽访俗剐乐蛾肋坠秒患害携搔燕冕呈舷柠鳖莽眶浑浇蒲湃穷游宅郑誊椭版娩傍钉灌级耘息辛镁胆彻萍婆注绸巾釉价惠拘拂霓圃晋改瞪柳纱躲娟钡扑营亩瞬别舟影亡汀堡箱条菌垣仑鹤曼涧翁鲍氦浇马蓖赂琢威鲤汀驼甲趟颇饿朽豆著翔科勒匀啥撒淹葡界臀厢俭桐虱孰充理皋吕潜术障堰培究狡磐氮裂世躁勿掉盲忽炳墩氧皖抱讫狭骡幅双根矢后旦菌缎朗涣果煞聚秘削叭渴苏井泰谨畸芜漏驭评搏露际巫篓侣毅索黑倒筒熬枢冕杜隋竭竞姿棍楷雀六偿衷鸭越求串栖支哩跨按饺贞镜盂畦益侨