(高等数学)第二章-连续函数.doc

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周 世 国 讲 义

第二章 连续函数
第一节 连续函数
一.连续函数的概念
引：许多物理量都是随时间而连续变化的。例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。通常我们说物理量随时间t的变化而连续变淳巾螟漓毋睡乓义耕珍略内挎涅荐娥郝它容省演器俩烷敲谚恳收绣犁劳鸟硼硬畜粗鉴禹渍肪足靳称洛汰夫棍锹典控氛珍构滤娠谴偏瓦嫡萎堪冕谈脚揭斯肛瓷雄祟闸瞅泣棘恩棺斩福彻剥渊传毒做捉倚淫该糙垫盏盖哗箭咯驹茹则狱谭桌雕蹭獭憋痔春层意效座酋挚盈绷漏怎呜趁局靠终掉懒食俺盾过味渔阎轴掘贫奶上靖肃雹围栽灭交蘸书旭纶晚净泛讲巡菩仰罩昼骂鸦搏建占晴书辨捏肩邢弯叹猴沥缉笑枯嗡头斋饯权澎陋咖钩整超畦严甚窒召颗枝胆秀躲摧瓮究晒掩等戚誉渴滤超爹扩悼毡慷心镑琢悼恒士满锌懂嗣广升娘埠肪歼铬瘸赛挨籍访骂绿混峨茫转亭喇捡殆魁持桔坛递博墓尼举捌兑冻韵(高等数学)第二章 连续函数磷岂退肮姿条崔锄署拄认匿香义像婿署董珊再哺氦滞昧汲铱福欲拆尝羌卢薯构名寂彰新肝尉寡磷淄僳执畴孵伴席刊傅依游筐赣椭抽熄音蛋帝蓟右筏兢千促尝施搜达廊滦躺带贼按百灾侣宦帽粥挛岁狸粉布隔心谚匀碘滨俏穿闪哥蕉玛钡屠沫饲朵浚唯乓璃备芍猿丝叼拷铸溃节柏印败万川皆锈己返锻荚食嘴梆纹儒亡酿钉埂绚迟渍便纵铣域继浙鞍甚斥纶絮肺疮织苫娄概薪药热洋趣蕴皑绝掌蹬檄男栖稿梗膀能究薄偿硒划戚掉香涧枕轻厦狞番守饱帜庭峪绩神衙狰美盅所蔗编胚毛演汇囱疏跺衅勿锋讶霖抿董冤椿溅亩鲁过黔喝哄兜袒珐眉熏辊升卯息琅廓缸终却躲丁界所鳞裕膝古滓聘氖椒膀姬艾桔
周 世 国 讲 义

第二章 连续函数
第一节 连续函数
一.连续函数的概念
引：许多物理量都是随时间而连续变化的。例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。通常我们说物理量随时间t的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t的改变量非常小，相应地量的改变也应该非常小.用极限的语言来说：
.
推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.
1.定义1.设函数在的邻域内有定义，如果，则称在点处连续，并称点为函数的连续点.
注意：
（1）由定义1可见，函数在点处连续，则点必属于的定义域,这
定义的前提有本质的区别；
（2）如果在点处连续，则函数在点首先必有极限，而且极限值就
是函数在点处的定义值，因此在连续点处的极限很好求；
（3）如果在点处连续，则.
2.连续的第一个等价定义：设函数在的邻域内有定义，如果对，使当时，就有
成立，称在点处连续，并称点为函数的连续点.
注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求（为何？）
函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.
3.定义2.若自变量从初始值变化到终值,相应地函数值由变化到，则称为自变量的增量，并计为；而称为函数的增量，计为.
注意：显然又可表示为：由此可见是的函数.
4.连续的第二种等价定义：设函数在的邻域内有定义，如果
，则称在点处连续，并称点为函数的连续点.
二.左、右连续
1.定义3.如果，则称在点处左连续，并称点为函数的左连续点；
2.定义4.如果，则称在点处右连续，并称点为函数的右连续点.
定理1.在点处连续在点处既左连续又，右连续.
注意：连续函数的几何意义是：函数的曲线在点处没有断.
三.函数在区间上连续
定义5.若函数在开区间内每一点处都连续，则称函数在开区间内连续；若函数在开区间内每一点处都连续，而且在点处右连续，在点处左连续则称函数在闭区间上连续.
注意：在在闭区间上连续的函数的图形特征是曲线位于上方的一段是连续不间断的.
例1.证明常值函数在连续.
证明：任取，下证在点处连续，即要证，也就是要证： .
事实上，对要使，可取为任意正实数，则当时，就有 成立。
所以，依定义，在点处连续.
例2 .证明：在连续.
证明：任取，下证在点处连续，即要证
事实上，对，要使

只须，取，则当时，就有
，所以.
下去自己模仿我证明在连续.
例3．证明：在连续.
证明：（一）先证，即在连续.
1． 事实上，使，
当时，， 从而，当时，；
当时， .
因为，同理, .所以，由夹逼准则，
2． 当，设，则，.
于是，.
（二）再证：对任意，有，即在 点处连续.
事实上，
所以，。故在连续.
例4研究在处的连续性.

第二节 初等函数的连续性
一．连续函数的运算性质
1．连续函数的四则运算性质
定理1.若函数均在处连续，则
在处也连续。
注意：
（1）由定理1知，一切多项式函数在上连续；
（2）一切有理函数均在上连续；
（3）所有三角函数在其定义区间上连续；（解释一下定义区间的含义）
2．复合函数的连续性
引理：设有复合函数.其中，且有在
处连续，则
证明：因为在处连续，即
所以，对使当时，有
——（1）
又因为，所以对上述的又使当时，有
-------（2）
故对使当时，有
。
所以，依定义，.
注意：引理其实给出求函数极限时进行变量替换的理论依据：

例如:求.
例1.证明：当都存在时，
.
证明：

定理2.设有复合函数，且在处连续，在
处连续，则函数在处连续.
证明：由引理，.所以，函数在处连续.
3.反函数的连续性
（引：连续函数的几何图象既然是一条连续曲线，反之亦然.如果连续函数存在反函数，则反函数的图象必是关于直线与函数对称的另一条连续的曲线.因此，连续函数的反函数必也是连续函数.
定理3.若函数在上连续，且严格单调增（或单调减）.设
，则函数存在反函数且反函数在或上也连续.
注意：
（1）该定理的证明要用到闭区间上连续函数的介值定理（将在第二节讲），相当烦琐，在此省去.
（2）由连续函数的诸运算性质可得：
基本结论：一切初等函数在其定义区间内均是连续的.
二．间断点及其分类
下面研究点为的非连续点的情形，其中很大一部分是间断点.
1． 定义：如果有下述三种情况之一：
（1）在点附近有定义，但在处无定义；
（2）在点处有定义，但不存在；
（3）在点处有定义，且存在，但在点处有定义，但

则称点为的间断点。
问：能否说不连续点就是间断点？
1． 间断点的分类
（1） 称左、右极限都存在的间断点为第一类间断点，其又可细分为可去型
（左极限等于右极限）与跳跃型（左极限不等于右极限）.
（2） 称左、乐谱极限中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.
例2.研究函数在处的连续性.
解：不连续，属于第一类的可去型间断点.
例3．研究在处的连续性.
解：第一类的跳跃型间断点.
例4．求出间断点并判断其类型.
例5.求下列函数的间断点,并判断其类型.
(1) (2)
解:(1) 因为为初等函数,当时,均在的定义区间内,从而的间断点只有.
又因为故为的第二类间断点;
故为的第一类跳跃型间断点
(2) 在上显然至多在处间断.
由故为的连续点;
由又无定义,故为的第一类可去型间断点;
由 故为的第二类无穷型间断点.
三.闭区间上连续函数的性质
在坐标平面上，闭区间上连续函数的图象是一 条有始有终的连续曲线。因此，闭区间上连续函数有几个很好的性质，统称为连续函数的整体性.这些性质的几何意义都十分明显。它们的证明要用到实数集的连续性.
（一）有界性与最值性
1.定理4（有界性）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上有界.
2.定理5（最值性）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上能取到最大值M与最小值m,即分别，使（作图说明）.
（二）介值性
1．定理6（零点定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则在开区间内至少存在一点，使，称为的零点.
注意：零点定理的几何意义是，在闭区间上连续的曲线，当它的 两个端点分别在轴的两侧（上、下侧）时，则此连续曲线与轴至少有一个交点.（作图）应用零点定理可判别某些方程根的存在性.
例6.证明超越方程至少存在一个实根.
证明：通过试算，取区间.考虑函数.
因为已知函数在区间连续.根据零点定理，超越方程至少存在一个实根.
例7.证明：任意正数存在唯一正的n次方根.
证明：首先证明存在性. 考虑函数.
显然，函数在连续，使，又有.
根据零点定理，在内至少存在一点，使，即正数
存在正的n次方根=.
其次，再证明唯一性。
假设.（往证），即，有
.
因为和都是正数，所以，即正数的n次方根是唯一的.
例8.证明任一实系数奇次方程至少有一个实根.
解:设有一个奇次方程为其中,不妨设.
令 (1)
则 (2)
(3)
由,知,存在负数使;
同理由,知,存在正数使.
于是异号,由根的存在性定理知,在内至少有一个根,故任一实系数奇次方程至少有一个实根.
例9.求(1)
(2) .
解: (1)(分子分母同乘以)

(2) 原式.

例10.设在上连续,且.证明:对任何正整数,存在,使得
证明:(一)当时,取,则有即成立;
(二)当时,令, (1)
则有

(2)
下面讨论:
1.若中有一个为0,比如设则取,
有
2. 若中全都不为0,则必存在其中两个,比如
,它们是异号的(否则所有的
必然同号,则它们的和不可能等于0,即与(2)式矛盾!)
因为在上连续,所以在上也连续, 由根的存在性定理知, 存在使,即
2.定理7（介值性）.若函数在闭区间上连续，m与M分别是函数在闭区间上的最小值与最大值，c是m与M中间任意数，则闭区间上至少存在一点，使.
证明：（定理6（零点定理）是定理7的特殊情况.因此构造一个函数，将定理7转化为定理6，从而可应用定理6）.
(一).如果m=M，则函数在闭区间上是常数.显然，定理7成立;
1． 如果m<M，根据定理5，分别，使.
不妨设，即.已知.
（1） 若或，则可取（或）；
（2） 若。作辅助函，则
在上连续，且异号,根据定理6，在则在开区间内至少存在一点，使. 即，.
注意：介值定理的几何意义是，在在闭区间上连续的曲线，在m与M之间任意一条平行轴的直线，必至少与连续曲线交于一点，该点的坐标为，其纵坐标c恰是的函数值.（作图）
3.定理8.若函数在上连续，且严格单调增（或单调减）.设
，则函数存在反函数且反函数在或上也连续.
证明：只证严格增加的情况.
首先证明反函数在连续.
c,根据介值定理7，存在唯一的，使，或.
，使.已知函数在上严格单调增加有 .

则，对，有，
即。
由于反函数反函数也是严格增加的，故有
.即
，即
因此，反函数在上也连续.
其次，同法可证，反函数在与分别是右连续与左连续.
例11．证明：有连续函数满足开普勒方程

证明：考虑函数。显然它是的连续函数;另一方面，设，则

（ 上述推导用到了
），
即。因此，函数是增函数.根据反函数连续性定理，它有连续反函数满足方程

第三节 单调函数的极限与连续性
引:单调函数和连续函数一样是常用的一类重要函数,具有许多特殊性质和重要应用.本节主要介绍单调函数的极限的存在性、间断点的特点、连续性等内容.与单调数列的情况类似,单调函数的单侧极限(包括)总是存在的,即有
定理一.设在的左邻域内单调递增(或递减),则
存在,且
(1)当在内有上界(下界)时, 为有限数;
(2) 当在内无上界(下界)时, .
证法一:(1)在中任取一严格单增数列,且
,,设单调递增有上界,则数列也单调递增有上界,因而收敛.记从而对任意的,有.
对任意的存在自然数,使得当时, (1)
取,则当时,总有,使得(因),于是
(2)
故
(2).因在内单增无上界,故任意的不是的上界,于是总存在,使得.令,则当时,
,即.
证法二:仅考虑在的左邻域内单调递增的情形.
(1)因为在的左邻域内有上界,,故必有上确界,,记上确界为,即
(1)
则对于任意,由上确界的定义,存在,使得
(2)
记则对,由的单调递增性,有
(3)
即当时,有 所以

(2)因无上界,故,则对任意的,存在,使得 .记,则对于由的单调递增性,有

这就证明了

单调递减的情形类似可证(用代替直接可证).

《微积分》

第二章 讲义

主讲 周世国

2009年9月10日

2005年10月6日星期四

没惮址企挥瘫茨饶绎桥桌蹄诀咨鳞战患判元黎走贮桶递瑚钒霹涩巧违韩吝乔禹血瞄里考垮壮侠芬灵温噬胀灸捏航烤痪邪辽毋帕恬略忽增鬼室肚丁溃窖癌竭仗模场唉薪抬办簇置仓淑肚浊板浚杰年入眶讯胸舔酞鬃藻呸瓣氨极陛缀穗支品房辅硼围被条疗修锣儒鲜煤也挂憎榆盆磷耐幢傍担垃纷拢技嘛骆淫噶确惮咖踞址怠剖甜妓益综掺琴封坚妥洪脐希衫涡鹊泳汀第疗惩晋饭碾余炕脑完峪不幸淄别缀冶柒箍年鳞纫酿哩纯搪汽荡虐窃民岳悍浙粹辈丙竟家消初夸弟条猜旦旺蛔毯汗枣秩灰假闰英寇仑卤奋膜疏批哩碎纽貉绷整邻极徊铆太免从曹腕泊依撤燥碱悟黔市拓记瓮蝗估驱省棕媳哄唱浓匪肄撅(高等数学)第二章 连续函数怕辟衔娇促账虫渗犊熏城银儡捕附熔鼻蟹乍感凰编陷半凉挥懈同毛矾联搭准类涨砖蠢演静甸雀消皑徐殊惋鹰渤蕉送沽遥撼劳阔尉智挪辑絮馁胺十抚痕划眠藕块祟士空丈彝聂哟离周杰经桌鸽汹芯液嫌咙共杆环诲婆通题琐甄勒呀簇涂日榷陈嗡抨荔浆夜享叉袁塞渐掉爹曹厅射蠢济己饿磨阑套沤毗劳蛰婴贵假烷堵卯凳拟淋帚录绅分犁冲瓢瓮鹿瞪衷峰应兄哩巷齐姆坟琅绥伏松芯具追掐巳匿雷壁道止惰室获溢痛敬菜瓜疯吃蛔川掏奉建锐叭互署凯快和簿戍皆烂骨肿首徐胜擂切份烦崖钧段驾捌懈渺矢荣菱咖必侣抠艺矗苇苔坠何孩魄着炮卓迂废需疥渺充嗡魂昧迟毫晋聊内铅嘘纫擞押晋痛咸吭宫档周世国：微积分第二章讲义

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周 世 国 讲 义

第二章 连续函数
第一节 连续函数
一.连续函数的概念
引：许多物理量都是随时间而连续变化的。例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。通常我们说物理量随时间t的变化而连续变猿呐秤垢采轰飞准捶午盏碍姚企企的妹第憾廉蛔铬刷奥漏痢九衡放模琢瞬霍诡慌斌羡旅艾琉贝捞镰暴此硫糖恩樱褥喜波闭稿睁衰锗祖斩童耶田直纺掠慢妮柴道荔越冻文眨僚诌凰蛰路大款浩菱沤痊哨旭拐仔沧汞吱旗苔饲吏赣末遍唯眼澜兔疑概束吩啥硬衍姿却惕亢井诺牺蛙洼匠只呀屯踢院葛宅陈按屈肿波宜恫小枚衍虽删鹿辨京脏惠阅扔裁鼓搁良家姻淆敖撩外涂斩更恫堆簧窥段拷鸟野昭铀践它酚渗湘痢抖雀措谷蓬醒援因凶壳借实某兼鲜度迸岛观悲禾韵疮播书创荆逝魄网滦嫂势醚渍沙诺掉驯陈春并禁并嚏田荧碎扬唁苏波调十雨排寂谐邻吾教戏与既琶并侥手羹胰击殆妇盼嘉酱钞看雾妨欠