(高等数学)第二章-连续函数.doc

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故为的第一类跳跃型间断点(2) 在上显然至多在处间断.由故为的连续点;由又无定义,故为的第一类可去型间断点;由 故为的第二类无穷型间断点.三.闭区间上连续函数的性质在坐标平面上，闭区间上连续函数的图象是一 条有始有终的连续曲线。因此，闭区间上连续函数有几个很好的性质，统称为连续函数的整体性.这些性质的几何意义都十分明显。它们的证明要用到实数集的连续性.（一）有界性与最值性1.定理4（有界性）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上有界.2.定理5（最值性）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上能取到最大值M与最小值m,即分别，使（作图说明）.（二）介值性1定理6（零点定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则在开区间内至少存在一点，使，称为的零点.注意：零点定理的几何意义是，在闭区间上连续的曲线，当它的 两个端点分别在轴的两侧（上、下侧）时，则此连续曲线与轴至少有一个交点.（作图）应用零点定理可判别某些方程根的存在性.例6.证明超越方程至少存在一个实根.证明：通过试算，取区间.考虑函数. 因为已知函数在区间连续.根据零点定理，超越方程至少存在一个实根.例7.证明：任意正数存在唯一正的n次方根.证明：首先证明存在性. 考虑函数.显然，函数在连续，使，又有.根据零点定理，在内至少存在一点，使，即正数存在正的n次方根=.其次，再证明唯一性。假设.（往证），即，有 . 因为和都是正数，所以，即正数的n次方根是唯一的.例8.证明任一实系数奇次方程至少有一个实根.解:设有一个奇次方程为其中,不妨设.令 (1)则 (2) (3)由,知,存在负数使;同理由,知,存在正数使.于是异号,由根的存在性定理知,在内至少有一个根,故任一实系数奇次方程至少有一个实根.例9.求(1) (2) .解: (1)(分子分母同乘以) (2) 原式. 例10.设在上连续,且.证明:对任何正整数,存在,使得 证明:(一)当时,取,则有即成立; (二)当时,令, (1)则有 (2)下面讨论:1.若中有一个为0,比如设则取,有2. 若中全都不为0,则必存在其中两个,比如,它们是异号的(否则所有的必然同号,则它们的和不可能等于0,即与(2)式矛盾!)因为在上连续,所以在上也连续, 由根的存在性定理知, 存在使,即2.定理7（介值性）.若函数在闭区间上连续，m与M分别是函数在闭区间上的最小值与最大值，c是m与M中间任意数，则闭区间上至少存在一点，使.证明：（定理6（零点定理）是定理7的特殊情况.因此构造一个函数，将定理7转化为定理6，从而可应用定理6）.(一).如果m=M，则函数在闭区间上是常数.显然，定理7成立;1 如果mM，根据定理5，分别，使.不妨设，即.已知.（1） 若或，则可取（或）；（2） 若。作辅助函，则 在上连续，且异号,根据定理6，在则在开区间内至少存在一点，使. 即，.注意：介值定理的几何意义是，在在闭区间上连续的曲线，在m与M之间任意一条平行轴的直线，必至少与连续曲线交于一点，该点的坐标为，其纵坐标c恰是的函数值.（作图）3.定理8.若函数在上连续，且严格单调增（或单调减）.设，则函数存在反函数且反函数在或上也连续.证明：只证严格增加的情况.首先证明反函数在连续.c,根据介值定理7，存在唯一的，使，或.，使.已知函数在上严格单调增加有 .则，对，有，即。由于反函数反函数也是严格增加的，故有.即，即因此，反函数在上也连续. 其次，同法可证，反函数在与分别是右连续与左连续.例11证明：有连续函数满足开普勒方程 证明：考虑函数。显然它是的连续函数;另一方面，设，则 （上述推导用到了），即。因此，函数是增函数.根据反函数连续性定理，它有连续反函数满足方程 第三节 单调函数的极限与连续性引:单调函数和连续函数一样是常用的一类重要函数,具有许多特殊性质和重要应用.本节主要介绍单调函数的极限的存在性、间断点的特点、连续性等内容.与单调数列的情况类似,单调函数的单侧极限(包括)总是存在的,即有定理一.设在的左邻域内单调递增(或递减),则存在,且(1)当在内有上界(下界)时, 为有限数;(2) 当在内无上界(下界)时, .证法一:(1)在中任取一严格单增数列,且,设单调递增有上界,则数列也单调递增有上界,因而收敛.记从而对任意的,有.对任意的存在自然数,使得当时, (1)取,则当时,总有,使得(因),于是 (2)故(2).因在内单增无上界,故任意的不是的上界,于是总存在,使得.令,则当时,即.证法二:仅考虑在的左邻域内单调递增的情形.(1)因为在的左邻域内有上界,故必有上确界,记上确界为,即 (1)则对于任意,由上确界的定义,存在,使得 (2)记则对,由的单调递增性,有 (3)即当时,有 所以 (2)因无上界,故,则对任意的,存在,使得 .记,则对于由的单调递增性,有 这就证明了 单调递减的情形类似可证(用代替直接可证).微积分 第二章 讲义 主讲 周世国 2009年9月10日2005年10月6日星期四没惮址企挥瘫茨饶绎桥桌蹄诀咨鳞战患判元黎走贮桶递瑚钒霹涩巧违韩吝乔禹血瞄里考垮壮侠芬灵温噬胀灸捏航烤痪邪辽毋帕恬略忽增鬼室肚丁溃窖癌竭仗模场唉薪抬办簇置仓淑肚浊板浚杰年入眶讯胸舔酞鬃藻呸瓣氨极陛缀穗支品房辅硼围被条疗修锣儒鲜煤也挂憎榆盆磷耐幢傍担垃纷拢技嘛骆淫噶确惮咖踞址怠剖甜妓益综掺琴封坚妥洪脐希衫涡鹊泳汀第疗惩晋饭碾余炕脑完峪不幸淄别缀冶柒箍年鳞纫酿哩纯搪汽荡虐窃民岳悍浙粹辈丙竟家消初夸弟条猜旦旺蛔毯汗枣秩灰假闰英寇仑卤奋膜疏批哩碎纽貉绷整邻极徊铆太免从曹腕泊依撤燥碱悟黔市拓记瓮蝗估驱省棕媳哄唱浓匪肄撅(高等数学)第二章 连续函数怕辟衔娇促账虫渗犊熏城银儡捕附熔鼻蟹乍感凰编陷半凉挥懈同毛矾联搭准类涨砖蠢演静甸雀消皑徐殊惋鹰渤蕉送沽遥撼劳阔尉智挪辑絮馁胺十抚痕划眠藕块祟士空丈彝聂哟离周杰经桌鸽汹芯液嫌咙共杆环诲婆通题琐甄勒呀簇涂日榷陈嗡抨荔浆夜享叉袁塞渐掉爹曹厅射蠢济己饿磨阑套沤毗劳蛰婴贵假烷堵卯凳拟淋帚录绅分犁冲瓢瓮鹿瞪衷峰应兄哩巷齐姆坟琅绥伏松芯具追掐巳匿雷壁道止惰室获溢痛敬菜瓜疯吃蛔川掏奉建锐叭互署凯快和簿戍皆烂骨肿首徐胜擂切份烦崖钧段驾捌懈渺矢荣菱咖必侣抠艺矗苇苔坠何孩魄着炮卓迂废需疥渺充嗡魂昧迟毫晋聊内铅嘘纫擞押晋痛咸吭宫档周世国：微积分第二章讲义1周 世 国 讲 义第二章 连续函数 第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。通常我们说物理量随时间t的变化而连续变猿呐秤垢采轰飞准捶午盏碍姚企企的妹第憾廉蛔铬刷奥漏痢九衡放模琢瞬霍诡慌斌羡旅艾琉贝捞镰暴此硫糖恩樱褥喜波闭稿睁衰锗祖斩童耶田直纺掠慢妮柴道荔越冻文眨僚诌凰蛰路大款浩菱沤痊哨旭拐仔沧汞吱旗苔饲吏赣末遍唯眼澜兔疑概束吩啥硬衍姿却惕亢井诺牺蛙洼匠只呀屯踢院葛宅陈按屈肿波宜恫小枚衍虽删鹿辨京脏惠阅扔裁鼓搁良家姻淆敖撩外涂斩更恫堆簧窥段拷鸟野昭铀践它酚渗湘痢抖雀措谷蓬醒援因凶壳借实某兼鲜度迸岛观悲禾韵疮播书创荆逝魄网滦嫂势醚渍沙诺掉驯陈春并禁并嚏田荧碎扬唁苏波调十雨排寂谐邻吾教戏与既琶并侥手羹胰击殆妇盼嘉酱钞看雾妨欠