合肥168中14-15高一上学期期末数学试卷含解析doc资料.doc

合肥168中14-15高一上学期期末数学试卷含解析

合肥168中学2014-2015学年高一（上）
期末数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）cos（﹣1560°）的值为（）
A． ﹣ B． C． ﹣ D．

2．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）
A． B． C． 1 D． 2

3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）
A． f（x）=|x| B． f （x）=x﹣|x| C． f（x）=x+1 D． f（x）=﹣x

4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）
A． B． y=x2 C． D．

5．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）
A． ﹣7 B． ﹣ C． 7 D．

6．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）
A． B． C． D．

7．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）

A． B． C． D．

8．（5分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）
A． f（x）=sinx B． f（x）=cosx C． f（x）=sin4x D． f（x）=cos4x

9．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z
以0为聚点的集合有（）
A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ①②④

10．（5分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣logax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． （2，4） D． （3，5）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=．

12．（5分）函数f（x）=的定义域为
．

13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．

14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．
（1）若∥，求tan2x的值；
（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．

17．（12分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．
（1）若，求x，y的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．

18．（12分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．
（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；
（2）求的值．

19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．
（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．

20．（13分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．
（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；
（2）若f（α）=，，求cos2α的值．

21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．
（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；
（2）若[1，16]为闭函数f（x）=mx的“好区间”，求m、n的值；
（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．

安徽省合肥168中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）cos（﹣1560°）的值为（）
A． ﹣ B． C． ﹣ D．

考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答： 解：cos（﹣1560°）=cos（1560°）=cos（360°×4+120°）=cos120°=cos（180°﹣60°）=﹣cos60°=﹣．
故选：A．
点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

2．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）
A． B． C． 1 D． 2

考点： 分段函数的应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据条件代入计算即可．
解答： 解：∵f[f（﹣1）]=1，
∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1
∴．
故选：A．
点评： 本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．

3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）
A． f（x）=|x| B． f （x）=x﹣|x| C． f（x）=x+1 D． f（x）=﹣x

考点： 进行简单的演绎推理．
专题： 计算题．
分析： 分别根据函数解析式求出f（2x）与2f（x），看其是否相等，从而可得到所求．
解答： 解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；
f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；
f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；
f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；
故选C
点评： 本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

4．（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）
A． B． y=x2 C． D．

考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件，得到本题结论．
解答： 解：选项A，
∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），
∴y=是奇函数，不合条件；
选项B，
y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；
选项C，
∵，f（﹣x）=，
∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；
选项D，
∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，
∴不是偶函数，不符合条件．
故答案为：C．
点评： 本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．

5．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）
A． ﹣7 B． ﹣ C． 7 D．

考点： 同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： 根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．
解答： 解：∵a∈（，π），sina=，
∴cosa=﹣，则tana===﹣
∴tan（a﹣）===﹣7
故选A．
点评： 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

6．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）
A． B． C． D．

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据向量的数乘和加法运算求出的坐标，然后根据运用数量积等于0求解λ的值．
解答： 解：因为向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），所以，
所以，因为，
所以11+3λ=0，所以．
故选D．
点评： 本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了计算能力，是基础题．

7．（5分）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）

A． B． C． D．

考点： 指数函数的图像变换．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由f（x）的图象确定a，b的取值范围，结合指数函数的图象进行判断即可．
解答： 解：由f（x）的图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，
则函数g（x）为减函数，且g（0）=1+b＜0，
故选：A
点评： 本题主要考查指数函数的图象的识别和判断，根据一元二次函数的图象确定a，b的取值范围是解决本题的关键．

8．（5分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）
A． f（x）=sinx B． f（x）=cosx C． f（x）=sin4x D． f（x）=cos4x

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 常规题型；计算题．
分析： 函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的表达式，然后平移求出函数解析式．
解答： 解：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到
y=sin，再向右平移个单位，得到 y=sin=sinx
故选A
点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减．

9．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：
①； ②{x|x∈R，x≠0}；③； ④整数集Z
以0为聚点的集合有（）
A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ①②④

考点： 空集的定义、性质及运算．
专题： 压轴题；新定义．
分析： 由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．
解答： 解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a
∴0是集合的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A
点评： 本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．

10．（5分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣logax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． （2，4） D． （3，5）

考点： 根的存在性及根的个数判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象
和函数y=logax有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得，由此求得a的范围．
解答： 解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），
故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，
故函数f（x）是周期为2．
由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，
可得函数f（x）的图象，
如图所示：
由题意可得，函数y=f（x）的图象
和函数y=logax有的图象有且仅有3个交点，
故有，求得＜a＜，
故选：A．

点评： 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N={0，1，3，9}．

考点： 并集及其运算．
专题： 集合．
分析： 由题意求出集合N，然后直接利用并集运算得答案．
解答： 解：∵M={0，1，3}，
∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，
则M∪N={0，1，3，9，}．
故答案为：{0，1，3，9}．
点评： 本题考查了并集及其运算，是基础的计算题．

12．（5分）函数f（x）=的定义域为
（﹣2，1]．

考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的定义可知1﹣x≥0且根据对数函数定义得x+2＞0，联立求出解集即可．
解答： 解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②
联立①②解得：﹣2＜x≤1
故答案为（﹣2，1]
点评： 考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围．会求不等式的解集．

13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．

考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 由题意，先求出，再计算即可．
解答： 解：∵向量夹角为45°，
且，
∴=4﹣4•+
=4×12﹣4×1×cos45°+=2，
∴=；
故答案为：．
点评： 本题考查了求平面向量的模长运算问题，是基础题．

14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．
解答： 解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，
故答案为：．
点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1）．

考点： 平面向量的坐标运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 设滚动后的圆的圆心为C并设∠BCP=θ，求出⊙C的方程和参数方程，由题意求出角θ，再由三角函数的诱导公式，化简可得P为（2﹣sin2，1﹣cos2），即可求出的坐标．
解答： 解：设滚动后的圆的圆心为C，切点为A（2，0），连接CP
过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ
∵⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），
∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（1，1）
∴∠ACP=1，可得θ=+1，
可得cosθ=cos（﹣1）=﹣sin1，sinθ=sin（﹣1）=﹣cos2，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为（1﹣sin2，1﹣cos2），
所以的坐标是（1﹣sin1，1﹣cos1），
故答案为：（1﹣sin1，1﹣cos1）．

点评： 本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．
（1）若∥，求tan2x的值；
（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．

考点： 平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题： 平面向量及应用．
分析： （1）利用向量共线定理、倍角公式即可得出；
（2）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=（﹣）•=﹣=﹣，再利用正弦函数的单调性即可得出．
解答： 解：（1），
∴；
∴．
（2）f（x）=（﹣）•=﹣==﹣2
=
=﹣，
令．
所以f（x）的单调递增区间是．
点评： 本题考查了向量共线定理、倍角公式、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．（12分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，．
（1）若，求x，y的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求的值．

考点： 平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角．
专题： 计算题．
分析： （1），据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值
（2）利用向量的运算法则将用表示，利用向量数量积的运算律将用的模及它们的数量积表示求出值．
解答： 解：（1）∵，
∴，即，
∴，即，
（2）∵，
∴，即
∴
∴，

=
=
点评： 本题考查向量的加法、减法的运算法则；向量的数量积及其运算律；
利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，从而将未知向量的数量积，用已知向量的数量积表示．

18．（12分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．
（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；
（2）求的值．

考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据函数周期性的性质即可求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；
（2）利用函数的周期性和奇偶性的性质将变量进行转化即可求的值．
解答： 解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数
则，x∈[﹣1，0]．
（2），
∵1﹣log32∈[0，1]，
∴，
即．
点评： 本题主要考查函数值的计算以及函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的性质，是解决本题的关键．

19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．
（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．

考点： 二次函数的性质；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由f（1）=0可得b=1，由f（x）在区间（2，3）上有零点，结合二次函数的图象和性质，可得，解得实数a的取值范围；
（2）根据二次函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a，分类讨论[0，3]与对称轴位置关系，进而结合f（x）在[0，3]上的最大值是2，可求实数a的值
解答： 解：（1）∵函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，
由f（1）=0，得﹣1+2a﹣2a+b=0，
解得：b=1．…（2分）
又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；
所以，．…（6分）
（2）∵f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a．
①当a≤0时，fmax=f（0）=﹣2a+1=2，则；
②当0＜a＜3时，，则，或（舍去）；
③当a≥3时，fmax=f（3）=4a﹣8=2，则（舍去）；
综上：或． …（12分）
点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

20．（13分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．
（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；
（2）若f（α）=，，求cos2α的值．

考点： 正弦函数的图象．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）根据函数的对称轴即可求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；
（2）根据f（α）=，，利用两角和差的余弦公式即可求cos2α的值．
解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是．
故，k∈Z
又0＜φ＜π，故． …（3分）
所以，．
即f（x）在区间上的最大值是1，最小值是． …（7分）
（2）由已知得，，
所以，

=…（13分）
点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数值的计算，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．

21．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．
（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；
（2）若[1，16]为闭函数f（x）=mx的“好区间”，求m、n的值；
（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．

考点： 函数单调性的性质；函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据“好区间”的定义即可求闭函数y=﹣x3的“好区间”；
（2）根据若[1，16]为闭函数f（x）=mx的“好区间”，建立方程组关系即可求m、n的值；
（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．
解答： 解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴
故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]． …（3分）
（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴
此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．
②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴
此时．
因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，
故不符合题意．
综上：…（8分）
（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；
故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．
由得
令则x=t2﹣1，
方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；
令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，
则…（14分）
点评： 本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．