资源描述
2021年高考综合练习数学(理科)试卷
（时间：120分钟；满分：150分）
留意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限
第2题图
C．第三象限 D．第四象限
3．若一个几何体的三视图，其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B． C． D．
第3题图
4．下列命题正确的个数有( )
（1）命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件
（2）命题“,使得”的否定是:“对, 均有”
（3）经过两个不同的点、的直线都可以用方程
来表示
（4）在数列中, ,是其前项和,且满足,则是等比数列
（5）若函数在处有极值10，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，执行程序框图后，输出的结果为（ ）
第5题图
A．8 B．10 C．12 D．32
6.在锐角三角形ABC中，已知A>B>C,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，，，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D.
8．若从区间内随机取两个数，则这两个数之积不小于的概率为（ ）
A． B. C. D.
9．如图，在正方体中，若平面上
一动点到和的距离相等，则点的轨迹为（ ）
第9题图
A．椭圆的一部分 B．圆的一部分
C．一条线段 D．抛物线的一部分
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.. B． C． D．
11.已知定义在上的函数满足:⑴，⑵，
(3)在上表达式为，则函数与函数 的图像在区间上的交点个数为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
12．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中：
①； ②； ③；
④若，则。其中恒成立的有（ ）
A．①④ B.①③ C.②③ D.②④
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22-第24题为选考题，考生依据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知多项式 则_______
14．已知三次函数的图象如图所示，
则 ．
第14题图
15.已知函数，（），则函数的单调增区间为
16. 定义函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，已知，则函数在上的“均值”为______．
三、解答题：本大题共共70分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列,.
（Ⅰ）分别求数列，的通项公式;
（Ⅱ）求证：数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
西安市某中学在每年的11月份都会进行“文化艺术节”，开幕式当天组织进行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社进步行才艺呈现.其中有的社长是高中同学，的社长是学校同学，高中社长中有是高一同学，学校社长中有是初二同学.
（Ⅰ）若校内电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一同学且至少有1人是学校同学的概率；
（Ⅱ）若校内电视台记者随机采访3位学校同学社长，设初二同学人数为，求的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，平面，，, 点在线段上，且，．
第19题图
（Ⅰ）求证：直线与平面不平行；
（Ⅱ）设平面与平面所成的锐二面角为，若，求的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面平面，求直线与所成的角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的左侧），且．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点
，连接，求证：．
21．（本小题满分12分）
已知函数
第20题图
（Ⅰ）当对任意的实数x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）若.
请考生从22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分.
22．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点、的极坐标分别为、，曲线的参数方程为为参数）．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线和曲线C只有一个交点，求的值．
23.（本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式对于任意的恒成立
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数的最小值．
24.（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上的一点，且AB=10,CD=8,3DE=4OM，过F点作⊙O的切线EF，BF交CD于G
（Ⅰ）求EG的长；
（Ⅱ）连接FD,推断FD与AB是否平行，为什么？
第24题图
2021年高考综合练习数学(理科)
理数学试题参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.B 2.A 3. D 4. B 5.B； 6.A 7. C 8. B 9.D. 10. C ；11. B. 12.A
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13. -10 14. 15. 16.1007
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）设d为等差数列的公差，且
由分别加上1，1，3成等比数列，
得
，所以，所以，
又由于，
所以即 .…………… .............................6分
（Ⅱ）①
② ①—②，得
……………. ..................10分
……….. ..............12分
18．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由题意得，高中同学社长有27人，其中高一同学9人；学校同学社长有9人，其中初二同学社长6人。
大事为“采访3人中，恰有1人是高一同学且至少有1人是学校同学”。 ……………………........ 6分
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3
, sj.fjjy.org
， ，sj.fjjy.org
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
……………………12分
19．（本小题满分12分）
【解析】依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
．.......................2分
（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．
∴ ． 3分
∴ 直线与平面不平行． 4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，则
第19题图
， 5分
取，则，故． 6分
∴， 7分
解得．
∴ ． 8分
（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线． 9分
∵ ，，
∴ ．
∴ ，
∴ ． 10分
由（Ⅱ）知，，故，
∴ ． 11分
∴ 直线与所成的角的余弦值为． 12分
20．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．… 1分
∵
∴ ，解得． 3分
∴ 圆的方程为． 5分
（Ⅱ）把代入方程，解得，或，
即点，． 6分
（1）当轴时，由椭圆对称性可知． 7分
（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．
联立方程，消去得，． 8分
设直线交椭圆于两点，则
，． 9分
∵ ，
∴
． 10分
∵，
11分
∴ ，．
综上所述，． 12分
21．（本小题满分12分）
【解析】解：（Ⅰ）设g(x)=f(x)-ex-a，则
……………………………………………………4分
（Ⅱ）设
也就是证明：………………………….6分
构造函数 ， ………………………….8分
可以证明h(x)在上为增函数，h(x)>h(1)=0,令x=,得 ……………………11分
所以 …………………12分
22．（本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程
【解析】（Ⅰ）∵点、的极坐标分别为、，
∴点、的直角坐标分别为、， 3分
∴直线的直角坐标方程为． 5分
（Ⅱ）由曲线的参数方程化为一般方程为 ………………………………………………………8分
∵直线和曲线C只有一个交点，
∴半径． 10分
23.（本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
【解析】（Ⅰ）∵关于的不等式对于任意的恒成立
3分
依据柯西不等式，有
所以，当且仅当时等号成立，故．5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则
∴ 6分
当且仅当，即时取等号， 8分
所以函数的最小值为． 10分
24. （本小题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲
【解析】（Ⅰ）连接AF,OF,，则A，F，G，M共园，由于EF⏊OF, ∵∠FGE=∠BAF
又∠EFG=∠BAF , ∴∠EFG=∠FGE ,有EF=EG…………………….3分
由AB=10,CD=8知OM=3 ∴ED=OM=4
∴EF=EG= ………………………………….5分
（Ⅱ）连接AD, ∠BAD=∠BFD及（Ⅰ）知GM=EM-EG=8-
∴tan∠MBG=, tan∠BAD= tan∠MBG
∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD
∴ FD与AB不平行 ………………………………………….10分
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