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河南省试验中学高三班级九月份月考试卷
数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－ C. D.
4、设为定义在R上的奇函数，当时，，
则（ ）
A.-1 B.-4 C.1 D.4
5、下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
6、不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或 B．或 C． D．
7、奇函数满足对任意都有且则
的值为( )
A. B. C. D.
8、已知函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，假如不等式成立，求实数的取值范围.（ ）
A． B． C． D．（）
9、已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（ ）
A、≤＜0 B、≤≤ C、≤ D、＜0
10、函数的图象大致是（ ）
A B C D
11．若定义在R上的函数f(x)的导函数为，且满足，则与的大小关系为（ ）.
A、< B、=
C、> D、不能确定
12．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数的定义域为 .
14、对任意两个实数，定义若，，则的最小值为 ．
15、设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程
在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .
16、定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在[0，2021]上的零点个数是______．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
17、（12分）已知集合，集合，集合．
（Ⅰ）设全集，求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
18、（12分）已知是定义在[—1，1]上的奇函数，且，若、，且 时有
（1）推断在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式:；
（3）若≤对全部x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
19、（12分）对于函数，若存在x0∈R，使方程成立，则称x0为的不动点，已知函数（a≠0）．
（1）当时，求函数的不动点；
(2) 当时，求在上的最小值.
（3）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
20、（12分）已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R).
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·[f '(x)+]在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)若x1,x2∈[1,+∞),比较ln(x1x2)与x1+x2-2的大小.
21、（12分）设函数f(x)=ln x+,m∈R.
(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的微小值;
(Ⅱ)争辩函数g(x)=f '(x)-零点的个数;
(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，假如多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
22、（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，直线过圆心，交⊙于，直线交⊙于 (不与重合)，直线与⊙相切于,交于,且与垂直，垂足为,连结.
求证：(1) ;
(2) .
23、（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.
（I）
（II）
24、（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲
已知函数
（I）
（II）
参考答案
一：选择题
1--6．CDCBDD 7—12DABACA
二：填空题
13、 14． -1 15． 16、604
三：解答题
17．（Ⅰ），
，
，
．
（Ⅱ）∵，∴，
当时，，
当时，或，解得：，
综上：实数的取值范围是或．
18、解：（1）任取—1≤x1<x2≤1，则
f （x1）—f （x2）= f （x1）+f （－x2）=
∵—1≤x1<x2≤1，∴x1+（－x2）≠0，
由已知＞0，又x1－x2＜0，
∴f （x1）—f （x2）＜0，即f （x）在[—1，1]上为增函数．
（2） ∵f （x）在[—1，1]上为增函数，故有
（3）由（1）可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f （1）=1，故对x∈[—l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤，对全部x∈[—1，1]， ∈[—1，1]恒成立，
即要≥1成立，故≥0成立．
记g（）=对 ∈[—1，1]，g（）≥0恒成立，只需g（）在[—1，1]上的最小值大于等于零．
故
解得：t≤—2或t=0或t≥2．
19．解：（1）由题得：，由于为不动点，
因此有，即
所以或，即3和－1为的不动点。
（2） t≤-1/2时g(t)=t*2+t-3
-1/2 <t<1/2时 g(t)=-13/4
t≥1/2时 g(t)=t*2-t-3
（3）由于恒有两个不动点，
∴ ，
即 （※）恒有两个不等实数根，
由题设恒成立， 10分
即对于任意b∈R，有恒成立，
所以有 ，
∴
20. (1)当a=-1时,f '(x)=(x>0),
由f '(x)>0得x>1,由f '(x)<0得0<x<1,
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)∵f '(x)=(x>0),∴f '(2)=-=1,得a=-2,f '(x)=(x>0),
∴g(x)=x3+(+2)x2-2x,∴g '(x)=3x2+(m+4)x-2,
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g'(0)=-2,
∴,
由题意知,对于任意的t∈[1,2],g'(t)<0恒成立,
∴,解得-<m<-9.
故m的取值范围是(-,-9).
(3)由(1)可知,当a=-1,x∈[1,+∞)时,f(x)≥f(1),即-ln x+x-1≥0,
∴0≤ln x≤x-1对一切x∈[1,+∞)恒成立.
若x1,x2∈[1,+∞),则0≤ln x1≤x1-1,0≤ln x2≤x2-1,
∴0≤ln x1+ln x2≤x1+x2-2,即0≤ln(x1x2)≤x1+x2-2.
故当x1=x2=1时,ln(x1x2)=x1+x2-2;当x1,x2∈[1,+∞),且x1,x2不全为1时,ln(x1x2)<x1+x2-2.
21、(Ⅰ)由题设,当m=e时, f(x)=ln x+,则f '(x)=,
∴当x∈(0,e), f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减,
当x∈(e,+∞), f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增,
∴x=e时, f(x)取得微小值f(e)=ln e+=2,
∴f(x)的微小值为2.
(Ⅱ)由题设g(x)=f '(x)-=--(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).
设φ(x)=-x3+x(x≥0),
则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ(1)=.
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知
①当m>时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;
当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0<m<时,函数g(x)有两个零点.
(Ⅲ)对任意的b>a>0,<1恒成立,
等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立. (*)
设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),
∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.
由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,
得m≥-x2+x=-(x-)2+(x>0)恒成立,
∴m≥(对m=,h'(x)=0仅在x=时成立),
∴m的取值范围是[,+∞)
22、(1)连结BC,得∠ACB=∠AGC=90°.依据GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG.
(2)连结CF,证得△ACF∽△AEC. 推出AC2=AE·AF.
【解析】
试题分析：(1)连结BC,∵AB是直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°.
∵GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG. 5分
(2)连结CF,∵EC切⊙O于C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG,
∴△ACF∽△AEC. ∴,∴AC2=AE·AF. 10分
23、（I）（II）
【解析】 （I）圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为
联立得得所以与交点的极坐标为
（II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ的直角坐标方程为
由参数方程可得，所以
第一问首先利用将极坐标方程化为直角坐标方程，求方程组的解，最终在转化为极坐标，留意转化成极坐标后的答案不唯一。其次问主要是求得直线PQ的直角坐标方程，依据所给的参数方程实现二者的联系，求得a,b.
【考点定位】本题考查极坐标方程转化直角坐标方程以及直线的参数方程的简洁应用。
24．（I）（II）
【解析】（I）解法一当a=2时，，利用几何意义可知表示数x到2与4的距离之和大于等于4，又2
和4之间的距离为2，即数x可以2和4为标准分别向左或者向右移1各单位。故，不等式的解集为
。
（I）解法二当a=2时，
故，不等式的解集为。
（II）令
由，又知
所以
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