【2021届备考】2021全国名校数学试题分类解析汇编(1月第三期)：D单元-数列.docx

D单元数列名目D单元数列1D1 数列的概念与简洁表示法1D2 等差数列及等差数列前n项和7D3等比数列及等比数列前n项和22D4数列求和37D5 单元综合51D1 数列的概念与简洁表示法【数学（文）卷2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（2021.01）】21.（14分）某地汽车最大保有量为60万辆，为确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x（单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量. 已知汽车的年增长量y（单位：万辆）和实际保有量x与空置率的乘积成正比，比例系数k（k0）.(空置量=最大保有量-实际保有量，空置率=)(1)写出y关于x的函数关系；（2）求汽车年增长量的最大值；（3）当汽车年增长量达到最大值时，求k的取值范围. 【学问点】函数基础学问；不等式基础学问. B1 D1 【答案】【解析】(1)；(2) 15k万辆；（3）. 解析：(1)依据题意得，空置率，从而，即y关于x的函数关系式为：（2），x=30时，当实际保有量为30万辆时，汽车年增长量的最大值为15k万辆. （3）依据实际意义：实际保有量x与年增长量y的和小于最大保有量60， 0x+y60，当汽车的年增长量取得最大值时，030+15k60，解得-2k0，0km【学问点】等差数列数列求和放缩思想D2 D4 【答案】（1），；（2）（3）【解析】解析：（1），（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，则由（常数），知第行的数也依次成等差数列，其公差为综上可得，数表中除最终2行以外每一行都成等差数列；由于得得于是即又数列是以2为首项，1为公差的等差数列，.（3）令令则当n时，都有Snm，适合题设的一个等比数列为【思路点拨】（1）依据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）依据条件建立方程关系即可求出的表达式（3）依据条件查找等比数列，即可得到结论【数学文卷2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】14设x为实数，x为不超过实数x的最大整数，记x=x一x，则x）的取值范围为0，1）现定义无穷数列an如下：a1=a，当an0时，以；当an=0时，an+1=0当时，对任意的自然数n都有an=a，则实数a的值为_【学问点】等差数列与等比数列D2 D3【答案】【解析】解析：当时，当时，对任意的自然数n都有，即（不合2a3，舍去），故答案为：.【思路点拨】依据已知条件：，计算数列的前几项，结合对任意的自然数n都有，从而得出关于的方程即可求出实数的值【数学文卷2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】17（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足,.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.【学问点】等差数列数列求和D2 D4【答案】【解析】(1)；(2)解析：(1)设a的公差为d,则S=.由已知可得4分6分 (2)由(I)知 8分从而数列.12分【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常先确定数列的通项公式，再结合通常公式特征确定求和思路.【数学文卷2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】11已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题： ；数列中的最大项为；。其中正确命题的个数是（ ）A 3 B4 C 5 D1【学问点】等差数列D2【答案】【解析】A解析：由于是等差数列的前n项和，且，则有，所以，正确；故正确；由于，所以，所以错误；数列中最大，故错误；由于，所以，故正确，综上正确，故答案为A.【思路点拨】抓住等差数列的性质，寻求前n项和与项的关系，结合项的符号进行推断即可.【数学文卷2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】20（本小题满分13分）设数列为等差数列，且；数列的前n项和为.（I）求数列，的通项公式；（II）若为数列的前n项和，求.【学问点】数列的求和；等比数列的通项公式D2 D3 D4【答案】【解析】() ;() 解析：() 数列为等差数列,所以又由于 2分由n=1时，时，所以4分为公比的等比数列6分()由（1）知，7分9分+=1-4+11分13分【思路点拨】() 先利用等差数列的性质求出数列的通项公式，再结合已知条件以及数列的递推关系可求的通项公式；()依据()的结论先求出数列的通项，然后利用错位相减法求出其前n项和。【数学文卷2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】9设等差数列的前项和为,则A.3 B.4 C.5 D.6【学问点】等差数列的性质；等差数列的前n项和D2【答案】【解析】C解析：由于，所以公差，得，所以，解得，故选C【思路点拨】由与的关系可求得与，进而得到公差，由前项和公式及可求得，再由通项公式及可得值【数学卷2021届江苏省盐城中学高三1月月考（202101）】20. （本小题16分）已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和（）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；（）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的确定值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合（）求的值；（）求数列的通项公式【学问点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和D3 D2【答案】【解析】（）或；（）解析：（）设无穷等差数列的公差为，则 所以又则=所以则或（）（i）记，明显对于，有 故，所以（ii）由题意可知，集合按上述规章，共产生个正整数而集合按上述规章产生的个正整数中，除这个正整数外，还有，共个数所以，又所以当时，而也满足所以，数列的通项公式是【思路点拨】（）写出等差数列an的前n项和，结合对任意正整数n都有Sn3(Sn)3成立列式求取首项和公差，从而得到两个无穷等差数列的通项公式；（）（1）由题意利用用集合相等求得a1，a2的值；（2）有题意可知，集合按上述规章共产生Sn个正整数，而集合按上述规章共产生Sn+1个正整数中，除1，2，Sn这Sn个正整数外，还有an+1，an+1+i，|an+1-i|（i=1，2，Sn）共2Sn+1个数结合求得Sn，然后由Sn-Sn-1求通项D3等比数列及等比数列前n项和【数学（理）卷2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（2021.01）】20（本小题满分13分）如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q第20题图（）求动点Q的轨迹的方程；（）设直线与()中轨迹相交于两点,直线的斜率分别为(其中)的面积为,以为直径的圆的面积分别为若恰好构成等比数列,求的取值范围【学问点】圆椭圆直线与圆锥曲线等比数列H3 H5 H8 D3【答案】【解析】（）；（）解析：（）连结QF，依据题意，|QP|QF|，则|QE|QF|QE|QP|4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆2分设其方程为，可知，则，3分所以点Q的轨迹的方程为4分()设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且6分构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得：，8分此时，即又由三点不共线得从而故10分则为定值12分当且仅当时等号成立综上：的取值范围是13分【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若毁灭定义条件，留意利用定义推断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【数学（理）卷2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】17（本小题满分12分）已知等比数列满足：，且是的等差中项.（）求数列的通项公式；（）若数列an是单调递增的，令，求使成立的正整数的最小值【学问点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4【答案】【解析】（）或；()5解析：（）设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，可得，2分，解之得 或4分当时，；当时，数列的通项公式为或6分()等比数列an是单调递增的，8分 由，得10分即，即易知：当时，当时，故使成立的正整数的最小值为5.12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.【数学（理）卷2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】18（本小题满分12分）已知等差数列an的首项为1，前n项和为，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列的通项公式；（）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由. 【学问点】等差等比数列的性质数列求和解不等式 D2 D3 D4 【答案】（）；（）的最大值为1006.【解析】解析：（）设数列的公差为，依题意，1，成等比数列，所以，即，所以或.因此，当时，；当时，.（6分）（）当时，此时不存在正整数n，使得；当时，.由，得，解得.故的最大值为.（12分）【思路点拨】依据S1，S2，S4成等比数列，可得1，成等比数列，列的等式求得公差，进而可得通项公式，关键数列的特点，接受裂项相消求和得到，解不等式即可求得n的最大值.【数学（文）卷2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（2021.01）】17.（12分）数列中，. （1）若数列为等比数列，求得值；（3） 若数列为等差数列，其前n项和，已知，求n的值. 【学问点】等差数列；等比数列. D2 D3 【答案】【解析】（1）-64；（2）4.解析：(1)数列为等比数列，得.（2）设数列的公差为d，由，解得d=3，化简得解得，n, n=4【思路点拨】(1)依据等比数列的性质求解；（2）依据等差数列的通项公式及前n项和公式求解. 【数学（文）卷2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】22（本小题满分14分）如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（）求动点Q的轨迹的方程；（）设直线与()中轨迹相交于两点，直线的斜率分别为的面积为，以为直径的圆的面积分别为若恰好构成等比数列，求的取值范围第22题图【学问点】圆椭圆直线与圆锥曲线位置关系等比数列H3 H5 H8 D3【答案】【解析】（）；（）解析：（）连结QF，依据题意，|QP|QF|，则|QE|QF|QE|QP|4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆2分设其方程为，可知，则，3分所以点Q的轨迹的方程为为4分()设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且6分构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得：，8分此时，即又由三点不共线得从而故10分又则为定值12分当且仅当时等号成立综上： 14分【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若毁灭定义条件，留意利用定义推断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【数学（文）卷2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】19（本小题满分12分）已知等比数列满足：，且是的等差中项（）求数列的通项公式；（）若数列an是单调递增的，令，求使成立的正整数的最小值【学问点】等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4【答案】【解析】（）或；()5解析：（）设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，可得，2分，解之得或4分当时，；当时，数列的通项公式为或6分()等比数列an是单调递增的，8分 由，得10分即，即易知：当时，当时，故使成立的正整数的最小值为5.12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.【数学（文）卷2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】19.（本小题满分12分）已知数列满足，；数列满足，且为等差数列.（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和.【学问点】等差等比数列的性质数列求和D2 D3 D4 【答案】（）；（）.【解析】解析：（）由题意知数列是首项，公比的等比数列，所以；由于，所以数列的公差为.所以.所以.（6分）（）.（12分）【思路点拨】由题意可得是首项，公比的等比数列，由于为等差由前两项可求得等差即可得通项公式；由的形式接受分组求和.【数学理卷2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】20（本小题满分13分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an（n1）（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列 2nan的前n项和为Tn，An= +试比较An与的大小【学问点】等比数列数列求和 D3 D4【答案】（1）略；（2）.【解析】解析：解析：（1）由，由于是整理得，所以数列是首项及公比均为的等比数列.（2）由（1）得于是又，问题转化为比较与的大小，即与的大小设当时，当时f（n）单调递增，当时，而，当时，经检验n=1，2，3时，仍有因此，对任意正整数n，都有即【思路点拨】(1)由整理可得即证得是首项及公比均为的等比数列；（2）由（1）可得，进而得到，转化为比较与的大小，令比较两个数列的最值得大小.【数学理卷2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】20（本小题满分13分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an（n1）（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列 2nan的前n项和为Tn，An= +试比较An与的大小【学问点】等比数列数列求和 D3 D4【答案】（1）略；（2）.【解析】解析：解析：（1）由，由于是整理得，所以数列是首项及公比均为的等比数列.（2）由（1）得于是又，问题转