资源描述
D单元 数列
名目
D单元 数列 1
D1 数列的概念与简洁表示法 1
D2 等差数列及等差数列前n项和 7
D3 等比数列及等比数列前n项和 22
D4 数列求和 37
D5 单元综合 51
D1 数列的概念与简洁表示法
【数学（文）卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（2021.01）】21.（14分）
某地汽车最大保有量为60万辆，为确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x（单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量. 已知汽车的年增长量y（单位：万辆）和实际保有量x与空置率的乘积成正比，比例系数k（k>0）.
(空置量=最大保有量-实际保有量，空置率=)
(1)写出y关于x的函数关系；（2）求汽车年增长量的最大值；（3）当汽车年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
【学问点】函数基础学问；不等式基础学问. B1 D1
【答案】【解析】(1)；(2) 15k万辆；（3）.
解析：(1)依据题意得，空置率，从而，
即y关于x的函数关系式为：
（2）∵，
∴x=30时，，
∴当实际保有量为30万辆时，汽车年增长量的最大值为15k万辆.
（3）依据实际意义：实际保有量x与年增长量y的和小于最大保有量60，
∴ 0<x+y<60，∴当汽车的年增长量取得最大值时，0<30+15k<60，
解得-2<k<2，∵k>0，∴0<k<2，
即k的取值范围为.
【思路点拨】(1)空置率，从而，
即y关于x的函数关系式为：；
(2)由（1）得，所以当实际保有量为30万辆时，汽车年增长量的最大值为15k万辆；（3）由（2）的结论及已知得关于k的不等式求解.
【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】14.已知数列中，，
① b=1时，=12;
②存在，数列成等比数列；
③当时，数列是递增数列；
④当时数列是递增数列
以上命题为真命题的是.（写出全部真命题对应的序号）。
【学问点】数列问题. D1
【答案】【解析】①②③解析：①当b=1时,为：3,0，3,0，3,0,3,0，，所以=12成立；②若数列成等比数列，则，即
，，所以存在，
数列成等比数列；③当时，由②得
，所以
所以当时，数列是递增数列成立；④由③可知当时，数列是递增数列不成立.
【思路点拨】逐一分析各命题得每个命题的真假.
【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】14.已知数列中，，
② b=1时，=12;
②存在，数列成等比数列；
③当时，数列是递增数列；
④当时数列是递增数列
以上命题为真命题的是.（写出全部真命题对应的序号）。
【学问点】数列问题. D1
【答案】【解析】①②③解析：①当b=1时,为：3,0，3,0，3,0,3,0，，所以=12成立；②若数列成等比数列，则，即
，，所以存在，
数列成等比数列；③当时，由②得
，所以
所以当时，数列是递增数列成立；④由③可知当时，数列是递增数列不成立.
【思路点拨】逐一分析各命题得每个命题的真假.
【数学理卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】20．（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an＝，f(n)＝，
(I)计算f(1)，f(2)，f(3)的值；
(II)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
【学问点】数列递推式；用数学归纳法证明不等式．D1 M3
【答案】【解析】(I)见解析；(II)当n＝1和n＝2时，f(n)＞1；当n≥3时，f(n)＜1.证明见解析。
解析：(I)由已知f(1)＝S2＝1＋＝，
f(2)＝S4－S1＝＋＋＝，
f(3)＝S6－S2＝＋＋＋＝；………………3分
(II)由(1)知f(1)＞1，f(2)＞1；
下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f(n)＜1. ………………5分
①由(1)知当n＝3时，f(n)＜1；………………6分
②假设n＝k(k≥3)时，f(k)＜1，即f(k)＝＋＋…＋＜1，那么
f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋－＜1＋＋
＝1＋＋＝1－－＜1，
所以当n＝k＋1时，f(n)＜1也成立.………………11分
由①和②知，当n≥3时，f(n)＜1. ………………12分
所以当n＝1和n＝2时，f(n)＞1；当n≥3时，f(n)＜1.………………13分
【思路点拨】（1）此问依据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2．（2）当n=1时，当n＝1和n＝2时，f(n)＞1；当n≥3时，f(n)＜1.
【数学理卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】11. 已知数列{}中，，，则_________
【学问点】数列递推式.D1
【答案】【解析】解析：∵由已知可得：，
∴为周期数列且周期为2，，
∴，∴．
故答案为：．
【思路点拨】由题意可知为周期数列且周期为2，，即可求出答案.
【数学理卷·2021届山东省试验中学高三第三次诊断考试（202212）】17. （本题满分12分）
如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若.
（I）建立适当基底，利用，把表示出（即求的解析式）；
（II）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式.
【学问点】数列递推式；平面对量共线（平行）的坐标表示D1 F2
【答案】【解析】(I)f（x）=（0＜x＜1）(II)an=解析：（1）∵，∴
∵，∥，
∴x﹣y（1+x）=0，∴
即函数的解析式为：f（x）=（0＜x＜1）；
（2）当n≥2时，由Sn=f（Sn﹣1）=，则
又S1=a1=1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，
则，即Sn=，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=；n=1时，a1=1
故an=．
【思路点拨】（1）用分别表示，，再利用向量共线的条件，即可得到结论；
（2）当n≥2时，由Sn=f（Sn﹣1）=，则，可得数列{}是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项．
【数学理卷·2021届山东省试验中学高三第三次诊断考试（202212）】17. （本题满分12分）
如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若.
（I）建立适当基底，利用，把表示出（即求的解析式）；
（II）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式.
【学问点】数列递推式；平面对量共线（平行）的坐标表示D1 F2
【答案】【解析】(I)f（x）=（0＜x＜1）(II)an=解析：（1）∵，∴
∵，∥，
∴x﹣y（1+x）=0，∴
即函数的解析式为：f（x）=（0＜x＜1）；
（2）当n≥2时，由Sn=f（Sn﹣1）=，则
又S1=a1=1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，
则，即Sn=，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=；n=1时，a1=1
故an=．
【思路点拨】（1）用分别表示，，再利用向量共线的条件，即可得到结论；
（2）当n≥2时，由Sn=f（Sn﹣1）=，则，可得数列{}是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项．
D2 等差数列及等差数列前n项和
【数学（理）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】17．（本小题满分12分）
已知等比数列满足：，且是的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令，…，求使成立的正整数的最小值．
【学问点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4
【答案】【解析】（Ⅰ）或；(Ⅱ)5
解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为
依题意，有，代入，可得，………2分
，解之得 或…………4分
当时，；当时，．
数列的通项公式为或．…………………6分
(Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的，，，
③……………8分
④ 由③－④，得
………10分
即，即
易知：当时，，当时，
故使成立的正整数的最小值为5.……………………12分
【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.
【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.
【学问点】等差等比数列的性质数列求和解不等式 D2 D3 D4
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为1006.
【解析】解析：（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，1，，成等比数列，
所以，即，所以或.
因此，当时，；当时，.……………………………（6分）
（Ⅱ）当时，，此时不存在正整数n，使得；
当时，
.
由，得，解得.
故的最大值为.…………………………………………………（12分）
【思路点拨】依据S1，S2，S4成等比数列，可得1，，成等比数列，列的等式求得公差，进而可得通项公式，关键数列的特点，接受裂项相消求和得到，解不等式即可求得n的最大值.
【数学（理）卷·2021届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（202101）】8．已知数列{an} 满足a1=1, 且, 且n∈N） , 则数列{ an} 的通项公式为（）
A． B．
C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3 n
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案】B
【解析】∵an=an-1+()n（n≥2）∴3n•an=3n-1•an-1+1
∴3n•an-3n-1•an-1=1∵a1=1，∴31•a1=3
∴{3n•an}是以3为首项，1为公差的等差数列∴3n•an=3+（n-1）×1=n+2,∴
【思路点拨】由题意，整理可得{3n•an}是以3为首项，1为公差的等差数列，由此可得结论．
【数学（文）卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（2021.01）】17.（12分）
数列中，. （1）若数列为等比数列，求得值；
（2） 若数列为等差数列，其前n项和，已知，求n的值.
【学问点】等差数列；等比数列. D2 D3
【答案】【解析】（1）-64；（2）4.
解析：(1)∵数列为等比数列，∴，得.
（2）设数列的公差为d，由，解得d=3
∴，
∵，化简得
解得，∵n∈, ∴n=4
【思路点拨】(1)依据等比数列的性质求解；（2）依据等差数列的通项公式及前n项和公式求解.
【数学（文）卷·2021届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（202101）word版】4等差数列{an}中，a5 + a6 = 4，则
A．10 B．20 C．40 D．
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案】B
【解析】∵等差数列{an}中，a5+a6=4，
∴a1+a11=a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a6=20，
∴a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（2a1•2a2…2a10）=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20．
【思路点拨】依据等差数列的性质及对数性质求解。
【数学（文）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】19．（本小题满分12分）
已知等比数列满足：，且是的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令，，求使
成立的正整数的最小值．
【学问点】等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4
【答案】【解析】（Ⅰ）或；(Ⅱ)5
解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为
依题意，有，代入，可得，………2分
，解之得或…………4分
当时，；当时，．
数列的通项公式为或．…………………6分
(Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的，，，
③……………8分
④ 由③－④，得
………10分
即，即
易知：当时，，当时，
故使成立的正整数的最小值为5.……………………12分
【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.
【数学（文）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】19.（本小题满分12分）
已知数列满足，；数列满足，，且为等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【学问点】等差等比数列的性质数列求和D2 D3 D4
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】解析：（Ⅰ）由题意知数列是首项，公比的等比数列，
所以；
由于，，
所以数列的公差为.
所以.
所以.…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）
.………………………………………（12分）
【思路点拨】由题意可得是首项，公比的等比数列，由于为等差由前两项可求得等差即可得通项公式；由的形式接受分组求和.
【数学（文）卷·2021届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（202101）】8．已知数列{an} 满足a1=1, 且, 且n∈N） , 则数列{ an} 的通项公式为（）
A． B．
C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3 n
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案】B
【解析】∵an=an-1+()n（n≥2）∴3n•an=3n-1•an-1+1
∴3n•an-3n-1•an-1=1∵a1=1，∴31•a1=3
∴{3n•an}是以3为首项，1为公差的等差数列∴3n•an=3+（n-1）×1=n+2,∴
【思路点拨】由题意，整理可得{3n•an}是以3为首项，1为公差的等差数列，由此可得结论．
【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】7、等差数列中，和是关于方程的两根，则该数列的前11项和（ ） .
A.58 B.88 C.143 D.176
【学问点】等差数列及其前n项和. D2
【答案】【解析】B解析：由于+=16，所以，
故选B.
【思路点拨】利用等差数列的性质求解.
【数学理卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（202101）word版 (自动保存的)】7、等差数列中，和是关于方程的两根，则该数列的前11项和（ ） .
A.58 B.88 C.143 D.176
【学问点】等差数列及其前n项和. D2
【答案】【解析】B解析：由于+=16，所以，
故选B.
【思路点拨】利用等差数列的性质求解.
【数学理卷·2021届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（202101）word版】4．等差数列的前n项和为Sn．若S19为一确定常数，下列各式也为确定常数的是
A．a2+an B．a2a17 C．a1+a10+a19 D．a1a10a19
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案】C
【解析】由S15=为一确定常数，又a1+a10+a19=3a10，
【思路点拨】S19为一确定常数可知a10为常数，从而可推断．
【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】8、已知函数（）的图象在处的切线斜率为 （），且当时，其图象经过，则 （ ）
A、 B、5 C、6 D、7
【学问点】导数的应用 等差数列B12 D2
【答案】【解析】B
解析：函数求导得，=整理得，又由于当n=1时过（2,8）可求得，综上可得，求得，故答案为B.
【思路点拨】先利用导数的几何意义得到数列的递推公式，再结合等差数列定义得其通项公式，代入解答即可.
【数学理卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】8、已知函数（）的图象在处的切线斜率为 （），且当时，其图象经过，则 （ ）
A、 B、5 C、6 D、7
【学问点】导数的应用 等差数列B12 D2
【答案】【解析】B
解析：函数求导得，=整理得，又由于当n=1时过（2,8）可求得，综上可得，求得，故答案为B.
【思路点拨】先利用导数的几何意义得到数列的递推公式，再结合等差数列定义得其通项公式，代入解答即可.
【数学理卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】9.设等差数列{}的前n项和为，且满足，，则中最大的项为（）
A. B. C. D.
【学问点】等差数列的前n项和．D2
【答案】【解析】C解析：由题意明显公差，∵，
∴，∴；
同理由可得，∴，结合可得，
∴时，最大，而最小，故最大．故选：C.
【思路点拨】由等差数列的性质和求和公式易得且，可得时，最大，而最小，故最大.
【数学理卷·2021届山东省试验中学高三第三次诊断考试（202212）】19. （本题满分12分）
已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，求证：.
【学问点】数列的求和；等差数列的性质D2 D4
【答案】【解析】(I)an=4n+2(II)略解析：（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，且S5=70，
∴5a1+10d=70，又a2，a7，a22成等比数列，
∴，∴，
解得a1=6，d=4，或a1=14，d=0（舍），∴an=4n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n2+4n，
∴==，
∴
=．∵Tn+1﹣Tn=，
∴数列{Tn}是递增数列，∴
【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出5a1+10d=70，，由此求出首项和公差，从而能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n2+4n，从而得到=，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和Tn的值．
【数学理卷·2021届山东省试验中学高三第三次诊断考试（202212）】19. （本题满分12分）
已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列的前项和为，求证：.
【学问点】数列的求和；等差数列的性质D2 D4
【答案】【解析】(I)an=4n+2(II)略解析：（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，且S5=70，
∴5a1+10d=70，又a2，a7，a22成等比数列，
∴，∴，
解得a1=6，d=4，或a1=14，d=0（舍），∴an=4n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n2+4n，
∴==，
∴
=．∵Tn+1﹣Tn=，
∴数列{Tn}是递增数列，∴
【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出5a1+10d=70，，由此求出首项和公差，从而能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n2+4n，从而得到=，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和Tn的值．
【数学文卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】20．（本小题满分13分）
一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4 为首项，4为公差的等差数列，从其次行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：（2，1）=（1，1）+（1，2）；（i，j）为数表中第i行的第j个数．
（l,1）（1,2） … （l,n-l）（l，n）
（2,1）（2,2） … （2,n-l）
（3，1） … （3，n-2）
……
（n，1）
（1）求第2行和第3行的通项公式（2，j）和（3，j）；
（2）证明：数表中除最终2行外每一行的数都依次成等差数列，并求'（i，1）关于：i（i=1，2，…，n）的表达式；
（3）若，试求一个等比数列g（i）（i=1， 2，…n），使得，且对于任意的均存在实数，当时，都有Sn>m．
【学问点】等差数列数列求和放缩思想D2 D4
【答案】（1），；
（2）（3）
【解析】
解析：（1），（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，则由（常数）
，知第行的数也依次成等差数列，其公差为．综上可得，数表中除最终2行以外每一行都成等差数列；
由于
得
得
于是
即
又∵
∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴.
（3）
令
．
令
则当n＞λ时，都有Sn＞m，∴适合题设的一个等比数列为
【思路点拨】（1）依据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）依据条件建立方程关系即可求出的表达式．（3）依据条件查找等比数列，即可得到结论．
【数学文卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】14．设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}=x一[x]，则{x}）的取值范围为[0，1）．现定义无穷数列{an}如下：a1={a}，当an≠0时，以；当an=0时，an+1=0．当时，对任意的自然数n都有an=a，则实数a的值为____．
【学问点】等差数列与等比数列D2 D3
【答案】【解析】解析：当时，
∵当时，对任意的自然数n都有，即（不合2≤a＜3，舍去），故答案为：.
【思路点拨】依据已知条件：，计算数列的前几项，结合对任意的自然数n都有，从而得出关于的方程．即可求出实数的值．
【数学文卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】17．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和满足,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【学问点】等差数列数列求和D2 D4
【答案】【解析】(1)；(2)
解析：(1)设{a}的公差为d,则S=.
由已知可得————4分
————6分
(2)由(I)知 ————8分
从而数列.12分
【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常先确定数列的通项公式，再结合通常公式特征确定求和思路.
【数学文卷·2021届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（202101）】11．已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题： ①；②；③；④数列中的最大项为；⑤。其中正确命题的个数是（ ）
A． 3 B．4 C． 5 D．1
【学问点】等差数列D2
【答案】【解析】A
解析：由于是等差数列的前n项和，且，则有，所以，①正确；故②正确；由于，所以，所以③错误；数列中最大，故④错误；由于，所以，故⑤正确，综上①②⑤正确，故答案为A.
【思路点拨】抓住等差数列的性质，寻求前n项和与项的关系，结合项的符号进行推断即可.
【数学文卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】20．（本小题满分13分）
设数列为等差数列，且；数列的前n项和为.
（I）求数列，的通项公式；
（II）若为数列的前n项和，求.
【学问点】数列的求和；等比数列的通项公式．D2 D3 D4
【答案】【解析】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
解析：(Ⅰ) 数列为等差数列,所以又由于 ………………………………2分
由n=1时，
时，
所以……………………………4分
为公比的等比数列…………………6分
(Ⅱ)由（1）知，……………………7分
……………9分
+
==1-4+………………………11分
………………13分
【思路点拨】(Ⅰ) 先利用等差数列的性质求出数列的通项公式，再结合已知条件以及数列的递推关系可求的通项公式；(Ⅱ)依据(Ⅰ)的结论先求出数列的通项，然后利用错位相减法求出其前n项和。
【数学文卷·2021届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（202101）】9．设等差数列的前项和为,则
A.3 B.4 C.5 D.6
【学问点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．D2
【答案】【解析】C解析：由于，，
所以公差，
，得，
所以，解得，
故选C．
【思路点拨】由与的关系可求得与，进而得到公差，由前项和公式及可求得，再由通项公式及可得值．
【数学卷·2021届江苏省盐城中学高三1月月考（202101）】20. （本小题16分）
已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．
（Ⅰ）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的确定值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求数列的通项公式．
【学问点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．D3 D2
【答案】【解析】（Ⅰ）或；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）设无穷等差数列的公差为，则
所以
又
则=
所以则或
（Ⅱ）（i）记，明显
对于，
有
故，所以
（ii）由题意可知，集合按上述规章，共产生个正整数．而集合按上述规章产生的个正整数中，除这个正整数外，还有，共个数．
所以，
又
所以
当时，而也满足
所以，数列的通项公式是
【思路点拨】（Ⅰ）写出等差数列{an}的前n项和，结合对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立列式求取首项和公差，从而得到两个无穷等差数列的通项公式；（Ⅱ）（1）由题意利用用集合相等求得a1，a2的值；（2）有题意可知，集合按上述规章共产生Sn个正整数，而集合按上述规章共产生Sn+1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an+1，an+1+i，|an+1-i|（i=1，2，…，Sn）共2Sn+1个数．∴．结合求得Sn，然后由Sn-Sn-1求通项．
D3 等比数列及等比数列前n项和
【数学（理）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（2021.01）】20．（本小题满分13分）
如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
第20题图
（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点,直线的斜率分别为(其中)．△的面积为,以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列,求的取值范围．
【学问点】圆椭圆直线与圆锥曲线等比数列H3 H5 H8 D3
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）连结QF，依据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．……………2分
设其方程为，可知，，则，…3分
所以点Q的轨迹的方程为．…………4分
(Ⅱ)设直线的方程为，，
由可得，
由韦达定理有：
且………………………6分
∵构成等比数列，=，即：
由韦达定理代入化简得：．∵，．…………………8分
此时，即．又由三点不共线得
从而．
故
…………………………10分
∵
则
为定值．…………………12分
当且仅当时等号成立．
综上：的取值范围是．……………13分
【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若毁灭定义条件，留意利用定义推断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.
【数学（理）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】17．（本小题满分12分）
已知等比数列满足：，且是的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令，…，求使成立的正整数的最小值．
【学问点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4
【答案】【解析】（Ⅰ）或；(Ⅱ)5
解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为
依题意，有，代入，可得，………2分
，解之得 或…………4分
当时，；当时，．
数列的通项公式为或．…………………6分
(Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的，，，
③……………8分
④ 由③－④，得
………10分
即，即
易知：当时，，当时，
故使成立的正整数的最小值为5.……………………12分
【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.
【数学（理）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.
【学问点】等差等比数列的性质数列求和解不等式 D2 D3 D4
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为1006.
【解析】解析：（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，1，，成等比数列，
所以，即，所以或.
因此，当时，；当时，.……………………………（6分）
（Ⅱ）当时，，此时不存在正整数n，使得；
当时，
.
由，得，解得.
故的最大值为.…………………………………………………（12分）
【思路点拨】依据S1，S2，S4成等比数列，可得1，，成等比数列，列的等式求得公差，进而可得通项公式，关键数列的特点，接受裂项相消求和得到，解不等式即可求得n的最大值.
【数学（文）卷·2021届福建省厦门市高三上学期质检检测（2021.01）】17.（12分）
数列中，. （1）若数列为等比数列，求得值；
（3） 若数列为等差数列，其前n项和，已知，求n的值.
【学问点】等差数列；等比数列. D2 D3
【答案】【解析】（1）-64；（2）4.
解析：(1)∵数列为等比数列，∴，得.
（2）设数列的公差为d，由，解得d=3
∴，
∵，化简得
解得，∵n∈, ∴n=4
【思路点拨】(1)依据等比数列的性质求解；（2）依据等差数列的通项公式及前n项和公式求解.
【数学（文）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】22．（本小题满分14分）
如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点，直线的斜率分别为
．△的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取值范围．
第22题图
【学问点】圆椭圆直线与圆锥曲线位置关系等比数列H3 H5 H8 D3
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）连结QF，依据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．…………………2分
设其方程为，可知，，则，……3分
所以点Q的轨迹的方程为为．…………………4分
(Ⅱ)设直线的方程为，，
由可得，
由韦达定理有：
且…………………6分
∵构成等比数列，=，即：
由韦达定理代入化简得：．∵，………………………8分
此时，即．又由三点不共线得
从而．
故
…………………10分
又
则
为定值．……………………12分
当且仅当时等号成立．
综上： ……………………14分
【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若毁灭定义条件，留意利用定义推断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.
【数学（文）卷·2021届湖北省荆门市高三元月调研考试（202101）】19．（本小题满分12分）
已知等比数列满足：，且是的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令，，求使
成立的正整数的最小值．
【学问点】等差数列等比数列数列求和D2 D3 D4
【答案】【解析】（Ⅰ）或；(Ⅱ)5
解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为
依题意，有，代入，可得，………2分
，解之得或…………4分
当时，；当时，．
数列的通项公式为或．…………………6分
(Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的，，，
③……………8分
④ 由③－④，得
………10分
即，即
易知：当时，，当时，
故使成立的正整数的最小值为5.……………………12分
【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.
【数学（文）卷·2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（202101）】19.（本小题满分12分）
已知数列满足，；数列满足，，且为等差数列.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【学问点】等差等比数列的性质数列求和D2 D3 D4
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】解析：（Ⅰ）由题意知数列是首项，公比的等比数列，
所以；
由于，，
所以数列的公差为.
所以.
所以.…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）
.………………………………………（12分）
【思路点拨】由题意可得是首项，公比的等比数列，由于为等差由前两项可求得等差即可得通项公式；由的形式接受分组求和.
【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】20．（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an（n≥1）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列{ 2nan}的前n项和为Tn，An= +++…+．试比较An与的大小．
【学问点】等比数列数列求和 D3 D4
【答案】（1）略；（2）.
【解析】解析：
解析：（1）由，
由
于是
整理得，所以数列是首项及公比均为的等比数列.
（2）由（1）得
于是
又，问题转化为比较与的大小，即与的大小
设
当时，，
∴当时f（n）单调递增，
∴当时，，而，
∴当时，
经检验n=1，2，3时，仍有
因此，对任意正整数n，都有即
【思路点拨】(1)由整理可得即证得是首项及公比均为的等比数列；（2）由（1）可得
，进而得到，
，转化为比较与的大小，令比较两个数列的最值得大小.
【数学理卷·2021届湖南省长郡中学高三第五次月考（202101）word版】20．（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an（n≥1）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列{ 2nan}的前n项和为Tn，An= +++…+．试比较An与的大小．
【学问点】等比数列数列求和 D3 D4
【答案】（1）略；（2）.
【解析】解析：
解析：（1）由，
由
于是
整理得，所以数列是首项及公比均为的等比数列.
（2）由（1）得
于是
又，问题转
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