2023考研高等数学强化讲义.pdf

影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*第一章函数极限连续,重点题型一函数的性态【类型一与方法】有界性的判定例1下列函数无界的是(A)/(x)=sing(0,+oo)X(B)/(x)=xsin,x g(0,+oo)X(C)/(x)=sin(0,+oo)X X(D)/(%)=7/”(0,2022)【详解】【类型二与方法】导函数与原函数的奇偶性与周期性例212002,数二】设函数/(%)连续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)/(*)山(C)tf(t)-f(-t)dt【详解】(B)力(D)口/。)+/(-。力影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*，重点题型二极限的概念例3【2014,数三】设lima”=a,且awO,则当/?充分大时有 8(A)q b)a-(D)an o x-o(A)0(B)6(C)36(D)oo【详解】例512002,数二】设丁 二式)是二阶常系数微分方程_/+处+在=e3满足初始条件式0)=了(0)=0的特解，则当1-0时，函数ln(l+%)的极限 7(%)(A)不存在(C)等于2【详解】(B)等于1(D)等于3影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【类型二与方法】-001-1/2(6-1)-dt例6【2014,数一、数二、数三】求极限lim7K X-+00 r(1 1【详解】【类型三与方法】O.oo例 7 lim ln(l+x)ln(l+ex)=.x-0+【详解】【类型四与方法】oo-oo例 8求极限lim(x3 1n叶1-2x2XT8(X-l)【详解】【类型五与方法】0与00而考研色千老韩龙等撤皆糠也钎*(1 喘例9 2010,数三】求极限lim xx-i.X-+00 7【详解】【类型六与方法】广(n+n h-k n 工例10求极限lim(a 0,八e N).x o I n,【详解】4重点题型四已知极限反求参数【方法】例11【1998,数二】确定常数a,c的值，使limUm一二c(cw0).【详解】由考研it牛光韩龙等撤皆糠也钎*4重点题型五无穷小阶的比较【方法】例12【2002,数二】设函数/(%)在=0的某邻域内具有二阶连续导数，且/(0)。0,7(0)h0,/(0)w0.证明：存在唯一的一组实数4,4，使得当力-0时，4/(/0+22/(2/1)+4/(3)一/(0)是比 h2 高阶的无穷小.【详解】例13【2006,数二】试确定4,B,。的值，使得/(1+而+。%2)=1+4%+0。3),其中。(了3)是当 f 0时比丁高阶的无穷小量.【详解】无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*值.例14【2013,数二、数三】当 0时，1-cos%cos2%cos3%与ax为等价无穷小，求八与a的【详解】工重点题型六数列极限的计算【方法】例15【2011,数一、数二】（I）证明：对任意正整数，都有一lnl+L0,%,用=*一1（=1,2）.证明X 收敛，并求limx”.C0【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例17【2019,数一、数三】设%=，71一炉办5=0,1,2/一).(I)证明数列%单调减少，且。“=二%_25=2,3,)；(II)求lim.”一刃 an-【详解】例18【2017,数一、数二、数三】求lim支与1-1+818普九(n【详解】，重点题型七间断点的判定V例19【2000,数二】设函数/(%)=1在(一8,十8)内连续，且lim/(%)=0,则常数满足 a+e 1(A)a0,b0(C)a0【详解】(B)a0,b0(D)a0,b0且/(a)0(D)/(a)0 且/(a)0【详解】例2【2001,数一】设/(0)=0,则/(%)在=0处可导的充要条件为(A)Jnj/(l-cosh)存在(C)叫好/(一sinh)存在【详解】(B)11111工/(1/)存在h-h(D)盛/(20一/优)存在 0例3【2016,数一】已知函数/1(%)=,1 1 1，则一,-x 一,n=1,2,ji n+n(A)%=0是/(%)的第一类间断点(B)%=0是/(%)的第二类间断点(C)/(%)在=0处连续但不可导(D)/(%)在=0处可导【详解】而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立。重点题型二导数与微分的计算【类型一与方法】分段函数例4【1997,数一、数二】设函数/(%)连续，9(%)=/(X)力，且lim2a=(/为常数)，求夕(%),Jo XfO JQ并讨论(p(x)在=0处的连续性.【详解】【类型二与方法】复合函数例 5【2012,数三】设函数/a)=ln，xl,y=/(/(%),求字=_2x-l,x)由参数方程=/(%)表示的曲线例10【2000,数二】已知/(x)是周期为5的连续函数，它在=0的某个领域内满足关系式/(I+sin x)-3/(1-sin x)=Sx+(x),其中 a(x)是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小，且/(%)在X=1处可导，求曲线y=/(%)在点(6,7(6)处的切线方程.【详解】x=【类型二与方法】参数方程 表示的曲线y=y(t)x=I eu du例11曲线 J。在(0,0)处的切线方程为.y=t2 ln(2-/2)【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【类型三与方法】极坐标厂=e)表示的曲线(三乃、例12【1997,数一】对数螺线厂=e，在点e2,-处切线的直角坐标方程为 2【详解】。重点题型四导数应用求渐近线【方法】例 13 12014,数一、数二、数三】下列曲线中有渐近线的是(A)+sinx(C)y=x+sin-i x【详解】(B)j/=x2+sinx(D)y=x2+sin【详解】例 14 2007,数一、数二、数三】曲线y=L+ln(l+/)渐近线的条数为 X(A)0(B)1(C)2(D)3而考研色千老韩龙等撤皆糠也钎*立重点题型五导数应用求曲率【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例15【2014,数二】曲线，上对应于，=1的点处的曲率半径是y=t+4/+1（A）（B）co ioVio（D）5&U50 100【详解】，重点题型六 导数经济应用【方法】（数三掌握，数一、数二大纲不要求）例16【2015,数三】为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型.设。为该商品的需求 量，P为价格，MC为边际成本，为需求弹性（0）.（I）证明定价模型为夕=与；1-7（II）若该商品的成本函数为。（0）=1600+。2,需求函数为0=40-2，试由（D中的定价模型 确定此商品的价格.【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*，重点题型七导数应用求极值与最值【方法】例17【2000,数二】设函数/(%)满足关系式/(%)+/(%)=%,且/(0)=0,则(A)/(0)是/(%)的极大值(B)/(0)是/(%)的极小值(C)点(0,7(0)是曲线=/(%)的拐点(D)/(0)不是/(%)的极值，点(0,/(0)也不是曲线y=/(x)的拐点【详解】例18 2010,数一、数二】求函数/(%)=(Y力的单调区间与极值.【详解】例19【2014,数二】已知函数y=满足微分方程，+/y，=1一了，且式2)=0,求7(无)的极大值与极小值.【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*4重点题型八导数应用求凹凸性与拐点【方法】例 20【2011,数一】曲线y=Q 1)(%-2)2(%-3)3(%-4)4的拐点是(A)(1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)【详解】工重点题型九导数应用证明不等式【方法】例21【2017,数一、数三】设函数/(%)可导，且/(%)/(%)0,则(A)/(1)/(-1)(B)/(I)|/(-1)|(D)|/(1)|0,fx)0.设ba,曲线y=/(%)在点3,/3)处的切线与x轴的交点是(%o,O)，证明影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【详解】工重点题型十导数应用求方程的根【方法】例 23 2003,【详解】数二】讨论曲线y=41n%+上与y=4%+ln4%的交点个数.例 24 2015,【详解】数二】已知函数/(%)=/J1+14+；Jl+tdt,求/(%)零点的个数.影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*，重点题型十一微分中值定理证明题【类型一与方法】证明含有一个点的等式例25【2013,数一、数二】设奇函数/(%)在1,1上具有二阶导数，且/(1)=1.证明:(I)存在 J(0,1),使得/G)=l;(II)存在 使得/()+/()=L【详解】例26设函数/(%)在0上连续，在(0,1)内可导，/(1)=0,证明：存在Jw(0,l),使得(2 J+1)/0+歹砥)=0.【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*【类型二与方法】证明含有aV两个点的等式例27设/(%)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且0)=0,/(1)=1.证明:(I)存在两个不同的点九点(0,1),使得/&)+/(4)=2；(ID 存在或”(0,1),使得力)=/()/().【详解】【类型三与方法】证明含有高阶导数的等式或不等式例28【2019,数二】已知函数/(%)在0上具有2阶导数，且/(0)=0,/(1)=1,；/(%)办=1.证明：(I)存在J e(0,1),使得广(约=0；(ID 存在 w(0)，使得/()/2 1(C)A 41【详解】,rL T Ct tanx.x.n.设，-4-dx，/?=4 dx，则Jo x tanx(B)1 /,/2(D)1 /2 Zi工重点题型二不定积分的计算【方法】例4计算下列积分:【详解】例 5 2009,数二、【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例6求j-dx.J 1+sin x+cos x【详解】，重点题型三定积分的计算【与方法】例7【2013,数一】计算牛几，其中/（7=产（；+1）山.【详解】乃 sinx 生 1例8求下列积分 p-.dx;(2)f2-dx.Jo es-+ecosx J。l+(tanxr【详解】n例 9 求 Jj ln(l+tan X世.【详解】由考研战干光韩龙等裁考糠也裙*。重点题型四反常积分的计算【方法】例 10 1998,数二】计算积分7 7办一 5 l【详解】(B)a 1 且6 1(D)且。+61影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例12 2010,数一、数二】设加，均为正整数，则反常积分如2(1)dx的收敛性(A)仅与加的取值有关(C)与犯的取值都有关(B)仅与的取值有关(D)与加，的取值都无关【详解】，重点题型六变限积分函数,sin x,0 x -Cx例 13【2013,数二】设函数/(%)=.，F(x)=则2,71 X 271 Jo(A)%是函数/(%)的跳跃间断点(B)1 二;z是函数尸(%)的可去间断点(C)厂(%)在X=处连续但不可导(D)厂(%)在=%处可导【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例14【2016,数二】已知函数/(%)在0,y 上连续，在(0,芳)内是函数2：s：的一个原函数,且0)=037r(I)求/(%)在区间0,上的平均值;2(II)证明了(%)在区间内存在唯一零点.【详解】工重点题型七定积分应用求面积【方法】例1512019,数一、数二、数三】求曲线_y=e-、sin%(%20)与1轴之间图形的面积.【详解】由考研it牛光韩龙等撤皆糠也钎*4重点题型八定积分应用求体积【方法】例16【2003,数一】过原点作曲线歹=lnx的切线，该切线与曲线y=In%及x轴围成平面图形。.(I)求。的面积/；(II)求。绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积厂.【详解】例1712014,数二】已知函数/(x,y)满足或=2旬+1),且/(y)=(y+lp(2 y)lny,求 勿曲线/(%/)=0所围图形绕直线歹=-1旋转所成旋转体的体积.【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*4重点题型九定积分应用求弧长【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例18求心形线r=a（l+cos 0）的全长.【详解】工重点题型十 定积分应用求侧面积【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）例19【2016,数二】设。是由曲线y=与=cs J。工围成的平面区域,y=sin31 k 2）求。绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.【详解】4重点题型十一定积分物理应用【方法】（数一、数二掌握，数三大纲不要求）而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立例2012020,数二】设边长为2。等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重 力加速度为g,水密度为夕，则该平板一侧所受的水压力为.【详解】，重点题型十二证明含有积分的等式或不等式【方法】例21 2000,数二】设函数Sa)=J；|cos4力.(I)当”为正整数，且力4%(%+1)4时，证明2 SQ)-KO JQ【详解】例22【2014,数二、数三】设函数/(%),g(%)在区间上连续，且/(%)单调增加，04ga)l.证明：(I)0 j g(t)dt x-a9x&；M+f g)力 pb(ID a f(x)dx 0,lim/(x)=l,且满足/(%+hx)、/a)lim小0求/(%).【详解】【类型二与方法】一阶齐次例3【1999,数二】求初值问题(y+Jx2+y2)dx-xdy=0(x 0):的解.y影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【详解】【类型三与方法】一阶线性例4【2010,数二、数三】设%,为是一阶线性非齐次微分方程_/+以%)7=夕(%)的两个特解.若常数使力必+%是该方程的解，丸必-当是该方程对应的齐次方程的解，则(B)A-=U=2尸 2(A)A=,U=2尸22 1(c)/=w2 2(D)2=|,A=f【详解】例5【2018,数一】已知微分方程y+y=/(%),其中/(%)是R上的连续函数.(I)若/(%)=x,求方程的通解；(II)若/(%)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以丁为周期的解.影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【类型四与方法】伯努利方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）4 L例6求解微分方程y y=x24 y.X【详解】令Z=。，则z 2z=!12,得 x 2fx2e dx+CU2=x2 1；%+C方程的通解为6=工/+d2,其中。为任意常数.2【类型五与方法】全微分方程（数一掌握，数二、数三大纲不要求）例7求解下列微分方程:(1)(2xey+3x2-V)dx+(x2ey-2y)dy=0；(2)三办+/-产2砂=0 y y【详解】(1)法一：P(x,y)=2xey+3x2-l,Q(x,y)=x2ey-2y,贝 U 丝=2%=丝，方程 dy dx为全微分方程.设存在(%/),使得=dx+dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,得 dx dy u(x,j)=j(2xey+3x2-V)dx=x2ey+x3-x+(p(y)由包=+”(y),得(y)=_2y,/(y)=_y2,方程的通解为办x2ey+x3-x-y2=C.法二：由(2xey+3x2-)dx+(x2ey-2y)dy=(2xeydx+x2eydy)+(3x2 V)dx+(2y)dy=d(x2ey)+d(x3-x)+d(-y2)=d(x2ey+x3-x-y2)=0 x2ey+x3-x-y2=C.影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*(2)设P(%)岩，则磬_”=争 y y oy y ox当ywO时，方程为全微分方程.,、I。，py 3x,2 I 1 1 2-u(x,y)=2xax+-ay=x+l+-x=CJo Ji y y y方程的通解为x2-y2+y3=Cy工重点题型二二阶常系数线性微分方程【方法】例8【2017,数二】微分方程歹一4_/+8y=62(1+(;。5 2%)的特解可设为_/=(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(C)Ae2x+xe2xBcos2x+Csin2x)(D)Axe2x+xe2xBcos2x+Csin2x)【详解】例9【2015,数一】设y=+(%；)/是二阶常系数非齐次线性微分方程yn+ay+by=cex一个特解，则(A)a=3,b=2,c=1(B)a=3,6=2,c=l(C)a=3,b=2,c=1(D)a=3,b=2,c=1【详解】而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立例 102016,数二】已知%(%)=/,%(%)=(%)/是二阶微分方程(2X-l)y-(2x+l)y+2y=0的两个解.若(-l)=e,(0)=-1,求(%),并写出该微分方程的通解.【详解】例11 2016,数一】设函数y(x)满足方程/+2了+如=0,其中0左1.(I)证明反常积分办收敛；f+co(II)若y(0)=l,(0)=1,求 y(%)办的值.【详解】4重点题型三 高阶常系数线性齐次微分方程【方法】例12求解微分方程44)一 3/-4y=0.【详解】无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*4重点题型四二阶可降阶微分方程【方法】(数一、数二掌握，数三大纲不要求)例13求微分方程y(x+y,2)=_/满足初始条件y=V(l)=1的特解.【详解】本题不含少，令y=p,则_/=/,原方程化简为(+夕2)=夕，转化为反函数.1 _(dp、-x=p,得=e fe p pdp+C=p(p+C).dp P I/)由 p(l)=y(l)=l,得 C=0,从而 X=p2,于是 v=得 y=1 2-1由 y(i)=i，得 0i=，故y=%2+.4重点题型五欧拉方程【方法】(数一掌握，数二、数三大纲不要求)例14求解微分方程/y+聿/+y=2 sin In x.【详解】令=d,原方程转化为Z)(Z)-l)y+Z)y+y=2sin/,即&+y=2sin/.at特征方程为*+1=0,得2=i,齐次方程的通解为y=Gcos/+C2sin/.令y*=/(力cosr+Bsin。，代入方程，得力=一1,8=0,故y*=Tcos/.因此原方程的通解为 y=G cos In%+。2 sin In x-In x-cos In.影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*工重点题型六差分方程【方法】（数三掌握，数一、数二大纲不要求）例15【1997,数三】差分方程N+y=八2的通解为.【详解】齐次方程的通解为乂=C.令y*=（市+8）2,代入方程，得4=1,B=-2,故；=2）2.因此原方程的通解为匕=C+。一 2）2.例16 12018,数三】差分方程号 一”=5的通解为.【详解】2丁，=a（a）=a（7x+i-）=yx+2-x+i-（Vx+i-Zv）=yx+2-2yx+i+yx原方程化简为+2 一2匕+1=5,转化为讨一2八=5.齐次方程的通解为K=C21令二4 代入方程，得/二 一5,故久二一5.因此原方程的通解为=。25.重点题型七变量代换求解二阶变系数线性微分方程例17 2005,数二】用变量代换=8$00)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且上经过点(工,。,求曲线上的方程.12；【详解】【类型二】综合定积分应用例19【2009,数三】设曲线y=/(%),其中/(%)是可导函数，且/(%)0.已知曲线y=/(%)与直线y=0,x=l及X=4 1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 加倍,求该曲线的方程.【详解】【类型三】综合变限积分例20【2016,数三】设函数/(%)连续，且满足/(X。力=1(X)/(。山+6-1,求/(%).【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*【类型四】综合多元复合函数例21【2014,数一、数二、数三】设函数/Q)具有二阶连续导数，z=/(ecosy)满足+-4=(4z+ex cos y)e2x dx dy 若/(0)=0,/(0)=0,求/()的表达式.【详解】【类型五】综合重积分例2212011,数三】设函数/(%)在区间0,1上具有连续导数，/(0)=1,且满足1/(%+y)dxdy=Jj f(t)dxdy D,D,其中，=/)|04丁KE-41),求/(%)的表达式.【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*第五章多元函数微分学重点题型一多元函数的概念【方法】例1求下列重极限:(1)lim 2(。20,1之 0)；XI*x+yy-0)(2)limXf 0 y-0町(%2-y2)x2+y2X2V2(3)limXf o 1,，上 i(x+y)2【详解】例2【2012,数一】如果函数/(%,y)在点(0,0)处连续，那么下列命题正确的是(A)若极限lim(，；”,存在,则/(%)在点(0,0)处可微 m M+IH.(B)若极限lim半2存在，则/(%)在点(0,0)处可微，x+y 一(C)若/(%)在点(0,0)处可微，则极限lim给2存在.m W+3(D)若/(%/)在点(0,0)处可微，则极限lim学2存在.丹 x+y【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例3【2012,数三】设连续函数z=/(%/)满足lim当红二三士竺工=0,则因.广_.二“2+(f2【详解】，重点题型二多元复合函数求偏导数与全微分【方法】例 4【2021,数一、数二、数三】设函数 f(x,y)可微，且/(x+1,/)=%(%+1)2,f(x,x2)=2x2 1nx,则力(1,1)=(A)dx+dy(B)dx-dy(C)dy(D)-dy【详解】例5【2011,数一、数二】设z=/(盯,yg(%),其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导,且在x=l处取得极值g(l)=l,求oxoy y=【详解】。重点题型三多元隐函数求偏导数与全微分【方法】而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立例6【2005,数一】设有三元方程孙 zlny+exz=1,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个 邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数X=x(y,z)和z=z(x,y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数=z)和z=z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数X=%(y,z)和y=yx,z)【详解】例7 11999,数一】设.=.(%),2=2(%)是由方程2=切(+歹)和/(%/,2)=0所确定的函数，其中/和厂分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求它.dx【详解】4重点题型四变量代换化简偏微分方程【方法】d2u d?例8【2010,数二】设函数=/(%,/)具有二阶连续偏导数，且满足等式4+12悬+5步分2确定的值，使等式在变换J=%+,=X+勿下简化为=0.【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*，重点题型五 求无条件极值【方法】例9【2003,数一】已知函数/(%,歹)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim=1,则?(+/)(A)点(0,0)不是/(%,y)的极值点(B)点(0,0)是/(%,y)的极大值点(C)点(0,0)是/(%)的极小值点(D)根据所给条件无法判别点(0,0)是否为/(%/)的极值点【详解】例 10C2004,数一】设z=N(%,y)是由2-6盯+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=2(%,歹)的极值点和极值.【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*3重点题型六求条件极值（边界最值）【方法】例11【2006,数一、数二、数三】设与（x,y）均为可微函数，且（X,y）w 0.已知（%,%,）是/（%3）在约束条件0a/）=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若/;(%,%)=0,则4(%,%)=0(B)若(%0，歹0)=0，则4(/Jo)。（C）若A%,%）。，则4（%0，/）=0（D）若力（%0,%）。0,则4a，%）。【详解】例12【2013,数二】求曲线d 一盯+/=1（%之0/2 0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.【详解】而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立由重点题型七求闭区域最值【方法】例13【2014,数二】设函数(%,)在有界闭区域。上连续，在。的内部具有二阶连续偏导数，且满d2u p d2u d2u 八.足及玄+玄=则oxoy ox cy(A)(x,y)的最大值和最小值都在Z)的边界上取得(B)(苍、)的最大值和最小值都在。的内部取得(C)(苍、)的最大值在。的内部取得，最小值在。的边界上取得(D)()的最小值在。的内部取得，最大值在。的边界上取得【详解】例14【2005,数二】已知函数z=/(%/)的全微分dz=2%4%-2/(y,且/(1,1)=2,求/(%)在椭圆域O=(x,y)x2+l上的最大值和最小值.4【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*第六章二重积分4重点题型一二重积分的概念例1【2010,数一、数二】limyy-一二=白(+，)(/+7)(A)f dxV-T-dy(B)f dxV-dyJ。Jo(l+x)(l+/)h Jo(l+X)(l+y)(C)dx-dy(D)dx-z-dyJ。Jo(l+x)(l+y)J。Jo(l+x)(l+/)【详解】例 2【2016,数三】设/=Ut行JZx的(i=l,2,3),其中。=a,y)|0K%Kl,0Ky VI,D2=|0 xl,0j VxJ,D3=|(x,)|0 x1,x2,贝!J【详解】(A)JXJ2 J3(B)J3 JJ2(C)J2J3 J(D)J2 JJ3，重点题型二交换积分次序【方法】而考研色千老韩龙等撤皆糠也钎*例3【2001,数一】交换二次积分的积分次序：Qdyyf(x,y)dx=.【详解】例4 2014,数三】二次积分，为J；-一 一edx=.y jc/【详解】f pacosO例5交换=；de。/(r,Q)dr的积分次序.4【详解】3重点题型三二重积分的计算【方法】例6【2011,数一、数二】已知函数具有二阶连续偏导数，且/(l,y)=0,/(%,1)=0,jj f y)dxdy=a,其中。=(%,y)|。K%K1,。y K1,计算二重积分/=1初图力.D D【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例 7 计算 JJy-xdy,其中 Z)=(x,)|-1 x 1,0 2.D【详解】例8【2018,数二】设平面区域。由曲线x=/-sin Z(04/2万)与轴围成，计算二重积分 y=1 cos/|(%+2y)dxdy.D【详解】例9【2007,数二、数三】设二元函数f V|x|+|l小 2计算二重积分 1|f(x,y)dxdy,其中 Z)=(%,y)|x|+y 2.D【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例10【2014,数二、数三】设平面区域)=(%/)|1%2+/4,10,2 0,计算度%+歹【详解】例11【2019,数二】已知平面区域。=(1/)|国二(X2+72)3/,计算二重积“7a公【详解】例12【2010,数二】计算二重积分/二 J卜2sin6/=&瓦加/夕，其中。=&,6)O/secaOe3D 4【详解】例13【2009,数二、数三】计算二重积分JJ(%-y)比My,其中 DD=(x,y)(x-I)2+(y-l)2x.【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*第七章无穷级数。重点题型一数项级数敛散性的判定【类型一与方法】正项级数例1 2015,数三】下列级数中发散的是8 力(A)V-n D(C)ytiril”=2 ln【详解】例2【2017,数三】若级数之sin-A:ln 1一,收敛，则上二”=2|_ n I nJ(A)1(B)2(C)-1(D)-2【详解】【类型二与方法】交错级数影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*例3判定下列级数的剑散性oo/1 n-(1)T)(2)M 一 In y(ir n=2 4 n+(-1)【详解】【类型三与方法】任意项级数H 8 1 1例4【2002,数一】设孙。0(=1,2,3,)，且lim2=l,则级数(一1)用+%=i W J(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛【详解】(D)敛散性根据所给条件不能判定8 0 V例5【2019,数三】若绝对收敛，条件收敛，则W=1=1篦8(A)匕条件收敛n=co(B)Z/匕绝对收敛 n=l00(C)2X+匕)收敛 n=00(D)Z(+匕)发散=1【详解】由考研it牛光韩龙等裁皆糠也裙*。重点题型二寨级数求收敛半径与收敛域【方法】00 00例6【2015,数一】若级数%条件收敛，则x=与1=3依次为幕级数ZM=1 M=1(1)”的(A)收敛点，收敛点(C)发散点，收敛点【详解】(B)收敛点，发散点(D)发散点，发散点例7求幕级数Z(-I)髭-的收敛域.n=3(2+1)【详解】工重点题型三嘉级数求和【方法】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*8 1例8【2005,数一】求基级数(一1)1 1+-的收敛区间与和函数/(%).7?(2m-1)【详解】例9 2012,数一】【详解】例10 2004,数三】设级数-1-1-2-4 2-4-6 2-4-6-8+(-CO X +8)的和函数为S(x).求：(I)5(%)所满足的一阶微分方程;(II)5(%)的表达式.【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*，重点题型四寨级数展开【方法】例11 2007,数三】将函数=展开成1-1的幕级数，并指出其收敛区间.x 3x 4【详解】例12将函数/(%)=111上在1=1处展开成幕级数.x+1【详解】4重点题型五无穷级数证明题例13【2016,数一】已知函数/(%)可导，且/(0)=1,0 设数列%满足%向=/(%)(=1,2,).证明：00(I)级数(演+1-Z)绝对收敛；n=(II)limx存在,且0clim2.W-CO【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*rr rr例14【2014,数一】设数列%,满足0%5，0女”收敛.W=1(I)证明 lim%=0；8g a(id证明级数之收敛.【详解】重点题型六傅里叶级数【方法】(数一掌握，数三大纲不要求)(1)设/(%)在-/,/可积，则傅里叶系数为=-fZ/(x)cos-xdx(n=0,1,2,),Z)n=-f f(x)sin xdx(n=1,2,)I I I I/(x)的傅里叶级数为为 e 万.n7l+an cos x+bn sm x2 I n I)(2)狄利克雷收敛定理设/(%)在上满足条件：除有限个第一类间断点外都连续；只有有限个极值点则/(%)的傅里叶级数的收敛域为(-8,+00),其和函数S(x)是以2/为周期的周期函数，在-/,/的 表达式为影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*S(x)=/(%),/(x-0)+/(x+0)%是/1(%)的连续点2/(-/+0)+/(Z-0),%是/(%)的第一类间断点,x=l2例15设%)=px rr X V 0,则其以2%为周期的傅里叶级数在1=%收敛于1,。二 x 九,在%=2不收敛于【详解】由狄利克雷收敛定理知/(%)以2兀为周期的傅里叶级数在X=7l收敛于SM=/(万 一()+/(九+0)_1+/加22在=2%收敛于S(2)=5(0)=一)+)=3=122co例16将/(%)=1-，,0%万，展开成余弦级数，并求级数Z=1(1尸的和.【详解】对=进行偶延拓，由/(x)=1一%2为偶函数，知，=0.02 M-)(=J。(l-x2)t/x=22、1上21 7a=(1-x)cosnxdx 冗Jo3 J4.(1 严5=1,2,)/(%)=1-%2=子+。COSX=1-m+2=i 3=i4.(7 严COSA2X00令1=0,代入上式，得Z=1(-1)1 _/n 12影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*第八章多元函数积分学。重点题型一三重积分的计算【方法】例112013,数一】设直线过4(1,0,0),3(0,1,1)两点，将上绕z轴旋转一周得到曲面2,与平面z=0,z=2所围成的立体为。.(I)求曲面的方程；(II)求Q的形心坐标.【详解】例2【2019,数一】设C是由锥面在，+3-2)2=(1一2)2(021)与平面2=0围成的锥体，求C的形心坐标.【详解】而考研色千老韩龙等撤皆糠也钎*。重点题型二 第一类曲线积分的计算【方法】例3【2018,数一】设上为球面/+j?+z2=1与平面%+2=。的交线，则心中/=.【详解】例4设连续函数/(%,历满足/(x,y)=(%+3y)2+L/(X,y)ds,其中为曲线y=Jl-J,求曲线 积分【详解】，重点题型三第二类曲线积分的计算【类型一与方法】平面第二类曲线积分例5【2021,数一】设Qu斤是有界单连通闭区域，/(Q)=JJ(4 f-y2 g方取得最大值的积分D域记为(I)求/(。1)的值;(ID 计算 f(龙+4工+yMx+(4jC+2 一%)力 k*+4/其中阴是4的正向边界.【详解】无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取更多考研押题资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆学长】，回复【数学】免费获取无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供而思研*干犬怖龙等裁母旗也锦立【类型二与方法】空间第二类曲线积分例6【2011,数一】设上是柱面/+j?=i与平面2=%+歹的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆 时针方向，则曲线积分xzdx+xdy+与dz=.【详解】，重点题型四第一类曲面积分的计算【方法】例712010,数一】设。为椭球面S.x2+y2+z2-yz=上的动点.若S在点P的切平面与xOy面垂直，求尸点的轨迹C,并计算曲面积分/二）产+例 dS,其中Z是椭球面S位于曲线C上?j4+/+z24产方的部分.【详解】影空考研战干光螂龙等裁皆糠也钎*，重点题型五第二类曲面积分的计算【方法】例8【2009,数一】计算曲面积分/=抄四竺吆尤上竽玄，其中Z是曲面2，+2必+z2=4 工(x2+y2+z2)2的外侧.【详解】例9计算J竺包心也竺其中，为下半球面z=-72-x2-/的上侧，a为大于零的常数.z(x1+y2+z2)2【详解】例10【2020,数一】设Z为曲面2=曲帝(12+必44)的下侧，/(%)为连续函数，计算|V（盯）+2 _ y dydz+yf（盯）+2y+%dzdx+zf（xy）+z dxdyz【详解】