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第一章 函数 极限 连续
一．函数
1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）
2． 函数的性态
1）单调性
定义：单调增：
单调不减：
判定：（1）定义：
(2）导数：设在区间上可导，则
a) 单调不减；
b) 单调增；
2)奇偶性
定义：偶函数 奇函数
判定：(1）定义：
(2）设可导，则：
a)是奇函数 是偶函数；
b)是偶函数 是奇函数；
(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；
连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性
定义：
判定：(1)定义；
(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；
(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；
4)有界性
定义：若则称在上有界。
判定：（1）定义：
（2）在上连续在上有界；
（3）在上连续，且存在在上有界；
（4）在区间（有限）上有界在上有界；
3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)
4．基本的初等函数与初等函数
基本初等函数:
常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.
初等函数:
由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个
解析式表示的函数.
题型一 复合函数
例1设的定义域为，则的定义域为
(A) (B)
(C) (D)
例2已知且求及其定义域。

例3设,
试求.
( )
题型二 函数性态
例1 函数在下列哪个区间内有界。
(A) (B) (0,1)
(C) (D) (2,3)
例2 以下四个命题中正确的是
（A）若在内连续，则在内有界；
（B）若在内连续，则在内有界；
（C）若在内有界，则在内有界；
（D）若在内有界，则在内有界。
例3 设是恒大于零的可导函数，且
时，有
（A） （B）
（C） （D）
例4 设函数则存在，使得
（A）内单调增加； （B）内单调减少；
（C）对任意的；
（D）对任意的。
注：1) 在的某邻域内单调增；
2） 当时，；
当时，。
二．极限
1．极限概念
1）数列极限: ：,当时.
2）函数极限:
（1）自变量趋于无穷大时函数的极限
： ,当时.
和的定义与类似。

（2）自变量趋于有限值时函数的极限
： ,当时。
右极限：.
左极限：.

几个值得注意的极限：，
2。极限性质
1）有界性： 收敛数列必有界；
2）有理运算性质： 若.
那么: ；
；

两个常用的结论：1）存在，
2)
3）保号性： 设
（1） 如果,则存在,当时，.
（2） 如果当时,,那么.
4）函数值与极限值之间的关系：
. 其中
3。极限存在准则
1）夹逼准则： 若存在，当时，，且则
2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。
4。无穷小量
1）无穷小量的概念: 若，称为无穷小量(或).
2) 无穷小的比较: 设.
（1）高阶： 若； 记为
（2）同阶： 若；
（3）等价： 若；记为
（4）无穷小的阶: 若，称是的阶无穷小.
5。无穷大量
1) 无穷大量的概念: 若，称为时的无穷大量。
2）无穷大量与无界变量的关系： 无穷大量无界变量
3）无穷大量与无穷小量的关系：
无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量。
题型一 求极限
方法1. 利用有理运算法则求极限
例1
例2
解1：原式
例3.设 ，求
解：
方法2. 利用基本极限求极限
常用的基本极限
, ,
, ,

例.；
方法3.利用等价无穷小代换求极限
1.常用等价无穷小 当时,

，
2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系，而不能用在加、减关系。
例1.求极限 .
解:原式==
例2. 。
解1.罗必达法则（繁）
解2.原式
注：利用拉格朗日中值定理。
例3. 若 ， 求
例4. ；
方法4. 洛必达法则：
若 1）
2）和在的某去心邻域内可导，且
3）存在（或）；
则
例1.
例2.
例3.
例4．
例5．
方法5 泰勒公式
泰勒公式：（皮亚诺余项） 设在处阶可导,那么
其中 。
例1.若 ，则等于
（A） 0； （B）6； （C）36； （D）
解1

解2

则
例2 ；
解： ；

例3．已知其中二阶可导，求及
解：
，
方法6 利用夹逼准则求极限
例1.求
例2 求极限其中。
例3 设 求
方法7 利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限)
例1. 设证明：数列极限存在并求此极限。
例2.设 ，求极限。
例3. 设数列满足。
1）证明存在，并求该极限；
2）计算
方法8 利用定积分的定义求极限
例1. 求 .
例2．求；
例3. 求
题型二 已知极限确定参数
例1. 若 求 .
解:由于分式极限存在，分母趋于零，则分子趋于零，从而

由罗必达法则知：， 则 。
。
例2. 若 求.
解：原式

例3. 若 求.
原式

例4. 设,求及. (
题型三 无穷小量阶的比较
例1.当时,与是等价无穷小,则=
由
例2.若时,是的几阶无穷小
由

即是的9阶无穷小.
例3.已知时,与等价无穷小,求.
解1 对极限用洛比达法则。
解2 ；
三．连续
1。 连续的定义: 若,称在处连续,
左右连续定义: 若称在左连续
若称在右连续
连续左连续且右连续
2。间断点及其类型
1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点
可去间断点:左极限=右极限的间断点
跳跃间断点:左极限右极限的间断点
2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在的间断点
无穷间断点: 时,
振荡间断点: 时,振荡
3。连续函数的性质
1） 连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续性；
2） 初等函数在其定义区间内处处连续；
3） 闭区间上连续函数的性质
（1）有界性：若在上连续,则在上有界。
（2）最值性:若在连续, 则在上必有最大值和最小值。
（3）介值性:若在连续, 则在上可取到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值.
(4）零点定理:若在连续,且,则必，使。

题型一：求间断点并判定类型
例1. 讨论下列函数 的连续性并指出间断点的类型;
例2. 求函数 的间断点并指出其类型。
解： ① 函数在处没定义，这些点都是间断点。
② 为无穷间断点；
时，，故为可去间断点；
时，，为可去间断点；
时, ，， 为跳跃间断点。
例3 求极限，记此极限为，求函数的间断点并指
出类型.
例4. 求函数的间断点并指出其类型。
（可去；跳跃）
题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题
例1设在内非负连续，且，证明存在使.
例2. 在连续,非负,
求证: .其中.
证: 令
使即
例3. 在连续, 求证: 使
证：令

相加得:
反证: 若无根,不妨设,那么4个相加同矛盾，故必有一根，即使 。
例4．设在上连续，且,试证存在 使..
证： 令， 则
由极限的保号性知，存在当时，取
则从而有
第二章 一元函数微分学
一。导数与微分
1。导数定义： =；
左导数：；
右导数：；
可导 左右导数都存在且相等
2。微分定义：
若，则称在处可微。

3。导数与微分的几何意义: (会求曲线的切线和法线方程).
4。连续,可导,可微之间的关系
5。求导法则
1。有理运算法则：
2。复合函数求导法：
3。隐函数求导法：
4。反函数的导数：
5。参数方程求导法：
6。对数求导法：
7。高阶导数：
题型一．可导性的讨论（导数定义）

例1. 设函数在处连续，下列命题错误的是
（A）若. （B）若.
（C）若存在.（D）若存在。
例2 设，则在点可导的充要条件为
A) 存在 B) 存在
C) 存在 D) 存在
例3. 函数不可导的点的个数是
（A）3. （B）2. （C）1. （D）0.
例4设在点处可导，则函数在点处不可导的充分条件是
A) 且 B) 且
C) 且 D) 且
例5.设函数
（A）处处可导 （B）恰有一个不可导点
（C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点
例6. 设在上二阶可导,，

1) 确定使在上连续.
2) 证明对以上确定的,在上有连续一阶导数.
题型二 复合函数导数
定理：设在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且
例1.设则—— 。
例2.已知,则 ( )
例3.设 函数可导，求的导数。
题型三 隐函数的导数
例1 设由所确定.试求.

例2 设函数由所确定,试求 ( )
例3 设可导函数由方程所确定，其中可导函
数，且，求. （）
题型四 参数方程的导数
公式： ；
方法： 一阶导数代公式，二阶导数利用；
例1．设,又，求.
例2．设由所确定,求。 ( )

题型五 对数求导法
对数求导法适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等。
例1.设,求.
例2. 设，求
题型六 高阶导数
常用方法：
1）代公式；
2）求一阶、二阶，归纳阶导数；
3）利用泰勒级数；

常用公式：
1)
2)
3）
例1.设,求
例2. 设,求 (
例3. 设，求.
例4.求函数在处的阶导数。
例5. 设，求.
（法一：莱布尼兹公式。法二：幂级数）
二。微分中值定理
罗尔定理： 设在连续,在内可导，且,那么至少，使.
拉格朗日定理： 设在连续,在可导,那么至少存在一个,使.
柯西定理：设在上连续, 在内可导，且,那么至少存在一个，使 .
泰勒定理：（拉格朗日余项）
设在区间I上阶可导,，那么,至少存在一个使
其中 ， 在与之间.
有关中值定理的证明题：
题型一 证明存在一个点
例1.设在上连续,在内可导,，与同号。
求证:使.
例2. 设在上连续,在内可导且.
求证:使.
例3.设 在上连续,在内可导，且.
求证:使.
例4。设在上连续,在(0,1)内可导,且.
试证 1) 存在,使.
2) 对任意实数，存在,使。
例5．设在上二阶可导,且.
求证: 1) 使.
2) 使.
例6. 设函数在上二阶可导,且,
.试证
1) 在内.
2) 在内至少有一点,使.
例7.设在上连续,且.
求证:，使.
例8. 设在上连续,在内可导,且.
求证:，使.
例9.设在上连续,.
求证:，使.

题型二 证明存在两个点

例1设在上连续, 内可导,且同号，试证存在.
使.
例2设在上连续，在内可导，且，证明存在
,使得.
例3设在上连续,在内可导,且,试证存在使。
例4 设在上连续，在内可导，且.
证明：1) 存在，使得.
2) 存在两个不同的点,使得.
例5设在上连续，在内可导，且，试证对任意给定的正数在内一定存在互不相同的使

题型三 泰勒公式的证明题
例1 设在上二阶可导,.
求证:，使.
例2 设在上三阶可导,.
求证:，使.
例3 设在上有二阶连续导数，且，,
证明：.
三。导数应用
1。极值与最值
1）极值的必要条件：
极值点 驻点
2) 极值的充分条件：
（1）若，在两侧变号，则在处取得极值；
若，在两侧不变号，则在处无极值；
（2）若，则在处取得极值。当时极小，当时极大。
（3）若，则：
当为偶数时在处有极值；时极小，时极大。
当为奇数时在处无极值；
3）最值：（1）求连续函数在上的最值；
（2）应用题。
3。曲线的凹向与拐点
（1）凹向：
若在区间上，则曲线在上是凹（凸）的。
（2）拐点：（一个必要条件，三个充分条件）
4。 渐近线 (水平,垂直,斜渐近线).
1）若或，或）
那么是的水平渐近线.
2) 若,那么是的垂直渐近线.
3) 若 (或)
那么是的斜渐近线.
5。曲率与曲率半径: 曲率.
曲率半径
题型一 极值与最值：
例1.设 在点连续，且，试讨论在点的极值.
解： 由于,由极限的保号性知，在的某去心邻域内 ,
① 当为奇数时：时；时，
不是极值点.
② 当为偶数时：无论,
是的极小值点.
例2 设有二阶连续导数，且.则
A) 是的极大值
B) 是的极小值
C) 是曲线的拐点
D) 不是的极值，也不是曲线的拐点
例3. 设二阶导数连续,且.
试问1) 若是极值点时,是极小值点还时极大值点？
2) 若是极值点时,是极大值点还是极小值点?
解：1） 是极值点,
则 ， 故是极小值点.
2) 由于是极值点，则，且,
是极小值点.
例4. 设二阶可导，且,试讨论 在点的极值.
解：由知，,即为驻点.且
原式
时,为极小值点; 时,为极大值点.
题型二 方程的根
1。存在性：
方法1：零点定理；
方法2：罗尔定理；
2。根的个数：
方法1：单调性；
方法2：罗尔定理推论；
罗尔定理推论：若在区间上，则方程在上最多个实根。
例1. 设为任意实数,求证方程
在内必有实根.
例2. 试讨论方程的实根个数.
例3. 试证方程有且仅有三个实根.
例4. 试确定方程的实根个数.
例5。设当时,方程有且仅有一个解,试求的取值范围.
（或时有唯一解)
解：将原方程变形得
令
例6．设在[0,1]上可微,且当时,.试证在
(0,1)内有且仅有一个,使.
例7 设 求证: 在有且仅有一根.
题型三 不等式证明
证明不等式常用的五种方法：
1）单调性； 2）最大最小值； 3）拉格朗日中值定理；
4）泰勒公式； 5）凹凸性；
例1.求证:
证1: 令，
令，分为及，在上,且；在上，,且.故在上。
证2：令 ，则
在上单调减，
例2.求证:
证：只要证
令

且且
即.
例3.比较的大小.
解： 取对数，等价于比较与的大小，也等价于比较与的大小，只要考察在上的单调性，

则
例4．设，且，证明：.（泰勒，最值，中值）
例5．试证。
题型四 渐近线(水平,垂直,斜)
例1．曲线的斜渐近线方程为 .
例2．曲线的渐近线有
（A）1. （B）2. （C）3. （D）4.
例3．求曲线 的渐近线。
解：由于，则无水平渐近线；
由于，则无垂直渐近线；

是时的斜渐近线.
同理 是时的斜渐近线.

第三章 一元函数积分学
一。不定积分
1．两个概念: 1）原函数：
2）不定积分：
2．基本积分公式：
1) 2)
3) 4)
5) 6)
3．三种主要积分法
1）第一类换元法（凑微分法）
若
2）第二类换元法：

3）分部积分法 “适用两类不同函数相乘”
，

4．三类常见可积函数积分

1）有理函数积分
（1）部分分式法（一般方法）；
（2）简单方法（凑微分绛幂）；
2) 三角有理式积分
（1）万能代换（一般方法） 令
（2）简单方法 （三角变形，换元，分部）
3) 简单无理函数积分
令
例一 基本题
例1.
解1：
解2：
例2.
解：

例3.
解1：令

解2：
例4.
解：
（令）
=
则
例5．
例6.
例7.
解1：
解2：
解3：
例8.
例9.
解1：
解2：
解3：令

例10．
例11.
解1：
解2：

例12.
解：1）若
2) 若
3）若
例13。。
解：令
原式=
例二 变花样
例1.若 求

例2.若为的一个原函数， 求
解：

例3.设为的原函数，
且
求,.
解:由

由

例4．设求。 ( )
例5. 求不定积分
解。
连续,原函数必连续, 在连续.

令 则
故
二.定积分
1。定义：
2。可积性：
1）必要条件：有界；
2）充分条件:连续或仅有有限个第一类间断点；
3。计算： 1）
2）换元法
3）分部积分法
4）利用奇偶性，周期性
5）利用公式

4变上限积分：
1) 连续性：设上可积，则在上连续。
2）可导性：设上连续，则在上可导且

变上限求导的三个类型：

3）奇偶性：i）若为奇函数，则为偶函数。
ii）若为偶函数，则为奇函数。
例1（06年数二）：设是奇函数，除外处处连续，是第一类间断点，则是： .
(A)连续的奇函数; (B)在间断的奇函数;
(C)连续的偶函数; (D)在间断的偶函数.
例2(01年,数3，4)设其中则在区间（0,2）内
（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续
例3（99年数一至四，05年数一二）．
设是连续函数，是的原函数，则
（A） 是奇函数 必是偶函数；
（B） 是偶函数 必是奇函数；
（C） 是周期函数 必是周期函数；
（D） 是单调增函数 必是单调增函数.
5。性质：
1)不等式：i) 若 则
ii) 若在上连续，则
iii)
2)中值定理： i） 若在上连续，则
ii） 若在上连续，不变号，则
例（96年数四）设在上连续，在内可导，且。求证：在内至少存在一点，使
例 题
例一 基本题
例1.
例2.
例3.
例4.
例5.
例6. ；
例7.
例8. ；
例9.
例10。已知连续，的值. （1）
例11．设,,求.
例二 综合题
例1.求
例2．设连续,且,则 .
例3.求极限 （0）
例4.设, 则___ （A）
A) 为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数
例5.试证:在上最大值不超过.
例6。设是区间上的单调、可导函数，且满足
.
其中是的反函数，求.
例7。设函数在内连续，，且对所有满足条件
，求
例8.若,求.
例9．设连续,.
令
1) 试证曲线在上是凹的.
2) 当为何值时,取得最小值.
3) 若的最小值可表示为,试求. ( )
例三 积分不等式
证明积分不等式常用的方法：
1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分；
4）柯希积分不等式； ；
例1. 求证:.
例2. 设在上连续,非负，单调减。
求证:
例3. 设在上连续，单调增。求证:
例4. 设上可导,且.
求证:.
例5。设在上有连续导数,,
求证:
证明：

故
例6. 设在上有连续导数,且,
求证:
证明：

;.
三、广义积分
1)无限区间；（1） .
（2）
（3） 若和都收敛，则称收敛。
常用结论： ，
2)无界函数：设为的无界点， =
常用结论：
例1. ( )
例2. ( )
例3. ( )
例4.求证: ,并求其值.
解： 令得
左端==右端，
原式

例5．下列广义积分发散的是
A) B)
C) D)
例6. (05，4)下列结论中正确的是
（A）都收敛 （B）都发散.
（C）发散，收敛 ；
（D）收敛，发散。
四、定积分应用
一。几何应用;
1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）
2．体积：
1）已知横截面面积的体积
2）旋转体的体积 ； 。
3.曲线弧长（数三，数四不要求）
1）
2）
3）
4.旋转体侧面积（数三，数四不要求）

二．物理应用（数三，数四不要求）
1.压力； 2.变力做功； 3.引力。
例1．设求曲线与轴所围图形的面积.

例2.设平面图形由与所确定,求图形,绕旋转一周所得旋转体的体积
解1。
解2。

=
例3． 设星形线求1）它所用的面积； 2）它的周长；
3）它绕轴旋转而成旋转体的体积和表面积.
解：1）面积

2）弧长：
3）体积：
旋转体表面积

例4．一容器由绕轴旋转而成,其容积为,其中盛满水,水的比重为,现将水从容器中抽出,问需作多少功?
解：