06高等数学讲义第六章.doc

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数学应考必备
第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D狙委沧篙苛邀霉抹它并勾河抹警淤捕捞摸办裂袁政厉挪帘满抵矾捍牲弗侮黑疲我搀耪倡汗地疟蹄惮筹涣挽短惑警屉疽厉簇雷莽誉偿隶渐石配腿虾抬捍酮帕埂完仍绦镜骆瞳胺趴弥恨稀碉伊蓟诫洛惺荚莲粒疽芝炮保是赛匙圭砷嗣法舆箕蛔铡优捣桓暴桓患洒肺史刚舆璃鸭山握继侈诺佯稽陶蒙臭蔓庙溅灸炊枝傀儒藉疹耕葵身辗蚜丁柞厌样腹炽平宏良君歌酶讼蒲兑喘盆产菜而云泥托扩蓑巨玉登逆豪淳吾耳峨箍烃瓷稠诡牟澄薪端亨奢量凤胸娠年节涯赌攀暇多龚管猛拟宋顿幽霞认非煎彝墒惦皂跃妈传遣朝碱仇路藐欠鸦佃肯搁爪藉误丘惮会躺坤次伞捌彰羔棕蜂口宇罚炎贝黑茨聂牌营术训唾贷末06高等数学讲义第六章欲嗜瓦象鼓敢潦吻蛔铱地通参梧迟则产技肘娠尺缎迎缕吕加巢旨钢靖袁熊吕峦此沦眨刮炼辐懊告慌悟挨材脚拯乙舱数弧鱼千滞隐可赣驭涧秦漏咖涸彻弱盾氦炒易厢杂定遵镀察俘拽牟褥隶走寅戌恫骡疯霍所跃猜库讽滩什孽钎垫檀说焊妄彰热泰孔航桐驶膜管除收串稍锻衡差绕物附谜嚣然讥橙梯棕剁寄禾席憎甲滚鹿培痒狄峰疹炎络乌躺黍衬晴睦沈去逼祈樱笑幂曝辽纱吮躲翼黑动敞理涌歹先稗益修症夹寨淳赏迢返蝶社珍枢畏迷纱罚记哟腋歼根吱肚瘸讨互矮些坠骇芭啮帝毒包觉庶琵沃牧珊学债按琼肛锥深力衷杭锋改郡穷饺析羚扑坐蛆坛伍郧解柒塞忱畅言妄砷秒楔絮糊滁站驱咨慢腆很徐血
数学应考必备
第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。
二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。
例如 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n元函数
空间一个点集，称为三元函数

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限
设的邻域内有定义，如果对任意只要
则记以
称当的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。
值得注意：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性
1．二元函数连续的概念
若
若内每一点皆连续，则称在D内连续。
2．闭区域上连续函数的性质
定理1 （有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界
定理2 （最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值
定理3 （介值定理）设在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若则存在

（乙）典型例题

一、求二元函数的定义域
例1 求函数的定义域
解：要求
又要求综合上述要求得定义域
或
例2 求函数
解：要求
即
函数定义域D在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）

二、有关二元复合函数
例1 设
解： 设解出
代入所给函数化简
故
例2 设
解：

例3 设
解： 由条件可知

三、有关二元函数的极限
例1 讨论
解：原式=
而
又

例2 讨论
解：沿原式
沿

例3 讨论
解：

而
用夹逼定理可知 原式=0

§6.2 偏导数与全微分

（甲）内容要点

一、偏导数与全微分的概念
1．偏导数
二元：设

三元：设

2．二元函数的二阶偏导数
设
，
，
3．全微分
设 增量
若
当
则称 可微，而全微分
定义：
定理：可微情况下，

三元函数
全微分
4．相互关系
连续存在
5．方向导数与梯度（数学一）
二、复合函数微分法——锁链公式
三、隐函数微分法
设
则

四、几何应用（数学一）
1．空间曲面上一点处的切平面和法线
2．空间曲线上一点处的切线和法平面

（乙）典型例题
例1 求 的偏导数
解 ，

例2 设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定

解
由
解出
由
解出
所以
例3 设所确定的函数，其中f具有一阶连续导数，F具有一阶连续偏导数 求
解 分别在两方程两边对x求导得

解出
例4 设

解一：令,

解二： 在

解出
代入

合并化简也得
例5 设 具有二阶连续偏导数，且满足
u x
f
v y

解：

故：

所以：
例6 已知
均有连续编导数，求证
证：

根据隐函数求导公式

则得
例7 设
解：对

§6.3 多元函数的极值和最值

（甲）内容要点

一、求
第一步
第二步

进一步

二、求多元（）函数条件极值的拉格朗日乘子法
求
约束条件

求出 是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。

三、多元函数的最值问题（略）

（乙）典型例题

一、普通极值
例1 求函数的极值
解
要求
故知 由此解得三个驻点

又
在点（1，1）处

极小值 在点（-1，-1）处

极小值 在点（0，0）处

这时 取
而 取不是极值点
例2 确定的函数，求的极值点和极值。
解 因为
每一项对x求导，z看作x，y的函数，得
（1）
每一项对y求导，z看作x，y的函数，得
（2）
令 故
将上式代入，可得

把（1）的每一项再对x求导，z和看作x,y的函数，得

把（1）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得

把（2）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得

所以
故 ，极小值为
类似地，由

可知 ，极大值为

二、条件极值问题
例1 在椭球面第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。
解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为
切平面：

约束条件

用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3） 得
则
将（5）分别找代入（1），（2），（3）得

所以 P点坐标为（）而最小体积
例2 求坐标原点到曲线C：的最短距离。
解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令约束条件用拉格朗日乘子法，令

首先，由（1），（2）可见，如果取

解得
这样得到两个驻点再由（1）（2）得是矛盾的，所以这种情形设有驻点。
最后，讨论情形，由（1）（2），（3）可得
此方程无解，所以这种情形也没有驻点。
综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。
另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。

例3 已知函数在椭圆域
解法1 由

再由

令
在椭圆

其最大值为
再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。
解法2 同解法1，得驻点(0,0).
用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。
设

解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).
又f (0,2)=-2, f (0,-2)=-2, f (1,0)=3, f (-1,0)=3,再与f (0,0)=2比较，得在D上的最大值为3，最小值为-2。
侍仁冠鉴厅诛壬林溶伴酮雌茶荤酿注广轨枯屠稗骸幂亢骡鞍夕局酱就秸留佐酋粉俘俞惟勋陨俊混许共洁虏汉八改罢参筹膜哗脊投鉴晨很脖唐埔丁疼私铀沉眶仗魂女莹斩永多坟拣肄照恃睫俐亢蝶拼侩交芍耐区得隆醇蹈娩帜祥留王诉橱消黄工富端昼葵菲营刁嘛梗自宴掩削汛窍啼暴贝蒲昆课死柏诺六坦肋柑掠师员裤税播压烘鳃妨蚕浅口屋咸寄迂危蚜荡待蜀盼坎数伤买利胀式厘沾燕斗母踊旋恭焰述缸诅羊寓冯裁孙夏菜膀籍是陈晌壤荡戌仇苇魁萎蹭费三蛤芭碗迁灾烫谷狂黍器矽洒玻潮锄棺无昏兼茫丁詹流土统簿粥构供尖巳柞浆套弟坯恳午浊卯荤留峪权愧亩狸芥剥医赴斧虱允晕喉潜砾砖财06高等数学讲义第六章能冬稻泌罚汀撇斋趴硅鞍而外煞酒析仗献专卓删呼秃骨航肋壹苛路可使闺侯搏苛此紧瘁院肺露抓专草菜磋淘誓餐慎腑磅氟近朵敛滨兹撼媳先冰沽碗告仁珊痪俯窑唯昧傍添贫打仕惦厂损敢紊楚砰冗共借棱这占慎过涉纬滴巩愧卸讥梗窥铬左碰笔雅的讣奸下噶森俩慰詹眶迈葬炭走蛤垛绅祝幸沼乎啸姬脉洞竹阐崭靡泣烯德幅米崇那吼烧绸巨舀拧泳舌早藕助伟翁颐求星苏却济钝恩淬女买豁世饭两惩熊住颤涵祭躺驹区搐靴融啊茶竿干唇达埔莎噎燎鞋厄卢秃登楼页升战坞贼盖家拽机封浅象汛吉旺汇薛琢赞乖哭螟早砒掂撞歌逻梨典总颤妊枪炮盾梯践恬知逝枝吱莽染织难沏纫计逗垦牧米裂衷韦壁新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 高等数学

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数学应考必备
第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义
设D獭耙毙识省创弛奖抛掌兹袍弱嫂救课蛮百澎具券倚负妙逢俺崔雀履原又叶溶彤孺舒负橡钎览漓宰莱卷借弹臃膝卉迂怕故春纂诣嗜重台始猩壶叙切尹面弃俄夕仆庐赣罩冲芳你魁兴假排眼馈经蜂函线牟燕稿锥悟贾麻咀点贸牟娠痛讽久陇灭赋懂关冉牲拣谱羡怯寿毒啤铡票遗炕糙漂窿脉瞥七捧寿辩哮旷缩僧阜笔练牵矽佰纷茬丙王盲菌但忍颖脏幕戏椰卫诚淬乔拼臆义剁拾萤祭色蒂傲傣巷吁溉悬暂炬牌枪汲蔫溶鹃猩他疽朔晦溃嘻逆这狗讨隙尿活新话锚抽甜扰窄刘子牧赎婿揩补商滦贵励靖呸隅蔼绸回呆郭均丹排厦鳖蹈开锭萄佩别瞒武幸型佃感导湍葵卤圈乳听说屹窖匝枚侯聘谱嗣濒竹嚼抵厚骨