重庆市第一中2025年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

重庆市第一中2025年高一数学第一学期期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，则
A. B.
C. D.，
2．已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）

A. B.
C. D.
3．，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知圆和圆，则两圆的位置关系为
A.内含 B.内切
C.相交 D.外切
5．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h（单位：）与时间t（单位：）满足关系式（取，为上抛物体的初始速度）.一同学在体育课上练习排球垫球，某次垫球，排球离开手臂竖直上抛的瞬时速度，则在不计空气阻力的情况下，排球在垫出点2m以上的位置大约停留（）
A.1 B.1.5
C.1.8 D.2.2
7．已知函数，则的零点所在区间为　　
A. B.
C. D.
8．函数的图像大致是
A. B.
C. D.
9．下列四个函数中，在上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数，则函数（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________
12．总体由编号为，，，，的个个体组成.利用下面的随机数表选取样本，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为__________

13．在△ABC中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，，则的最小值为___________.
14．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.
15．若函数，则______
16．计算_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算
（1）；
（2）计算：；
（3）已知，求.
18．2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x= 4−.已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．已知函数.
(1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明；
(2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数，求a；
(3)对于(2)中的a，若，当x∈[2,3]时恒成立，求m的最大值
20．已知.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并加以说明；
（3）求的值.
21．已知函数是偶函数
（1）求实数的值；
（2）若函数的最小值为，求实数的值；
（3）当为何值时，讨论关于的方程的根的个数
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】∵，，∴，，
∴．故选
2、B
【解析】由函数的图象可得，函数的图象过点 ，分别代入函数式， ，解得 ，函数与都是增函数，只有选项符合题意，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
3、D
【解析】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出、、的大小关系.
【详解】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，，，其中虚线表示的是角的终边，
，则，即.
故选：D.

【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
4、B
【解析】由于圆，即 
表示以 为圆心，半径等于1的圆
圆，即，表示以为圆心，半径等于3的圆
由于两圆的圆心距等于 等于半径之差，故两个圆内切
故选B
5、A
【解析】根据两个命题中的取值范围，分析是否能得到pq和qp
【详解】若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q
但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp
故p是q的充分不必要条件
故选：A.
6、D
【解析】将，代入，得出时间t，再求间隔时间即可.
【详解】解：将，代入，
得，解得，
所以排球在垫出点2m以上的位置大约停留.
故选：D
7、B
【解析】根据函数的零点判定定理可求
【详解】连续函数在上单调递增，
，，
的零点所在的区间为，
故选B
【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题
8、A
【解析】依题意，，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.
点睛：本题主要考查对数函数的图像与性质，考查图像的平移变换.对于对数函数，当时，函数为减函数，图像过，当时，函数为增函数，图像过.函数与函数的图像可以通过平移得到，口诀是“左加右减”.在平移过程中要注意原来图像的边界.
9、C
【解析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断；
【详解】A.由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；
B.由二次函数的性质知：在递减，在上递增，故错误；
C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；
D.由知：函数在上为减函数，故错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.
10、C
【解析】根据分段函数的定义域先求出，再根据，根据定义域，结合，即可求出结果.
【详解】由题意可知，，所以.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设，则，代入解析式得；再由定义在上的奇函数，即可求得答案.
【详解】不妨设，则，
所以，
又因为定义在上的奇函数，
所以，
所以，
即.
故答案为：.
12、
【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论.
【详解】按照随机数表的读法所得样本编号依次为23,21,15，可知第3个个体的编号为15.
故答案为：15.
13、3
【解析】先利用条件找到，然后对减元，化为，利用基本不等式求最小值.
【详解】，
，，三点共线，.
则

当且仅当，即时等号成立.
故答案为：3.
【点睛】（1）在向量运算中:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；
（2）基本不等式求最值要注意应用条件：“一正二定三相等”.
14、
【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.
【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：

由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.
故答案为：.
15、##0.5
【解析】首先计算，从而得到，即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
16、1
【解析】，
故答案为1

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）（2）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；
（3）由，可得，即，将所求平方，代入即可得答案
【详解】（1）

；
（2）

（3）∵＝3，
∴（）2＝x2+x﹣2+2＝9，
∴x2+x﹣2＝7
则（）2＝x2+x﹣2﹣2＝5，
∴
【点睛】此题主要考查指对幂四则运算，熟练掌握指对幂的基本知识点很容易求解，属于简单题目
18、（1）
（2）3万元
【解析】（1）依据题意列出该产品的利润y万元关于年促销费用m万元的解析式即可；
（2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
【小问1详解】
由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4−
则2022年的利润
【小问2详解】
∵当时，，
∴，（当且仅当时等号成立）
∴，当且仅当万元时，（万元）
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
19、（1）单调递增（2）见解析
【解析】（1）根据单调性定义：先设再作差，变形化为因子形式，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性（2）根据定义域为R且奇函数定义得f(0)＝0，解得a＝1，再根据奇函数定义进行验证（3）先根据参变分离将不等式恒成立化为对应函数最值问题：的最小值，再利用对勾函数性质得最小值，即得的范围以及的最大值
试题解析：解：(1)不论a为何实数，f(x)在定义域上单调递增.
证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，
则 由可知，所以,
所以
所以由定义可知，不论为何值，在定义域上单调递增
(2)由f(0)＝a－1＝0得a＝1，
经验证，当a＝1时， f(x)是奇函数.
(3)由条件可得： m2x＝(2x＋1)＋－3恒成立．m(2x＋1)＋－3的最小值，x∈[2,3].
设t＝2x＋1，则t∈[5,9]，函数g(t)＝t＋－3在[5,9]上单调递增，
所以g(t)的最小值是g(5)＝，
所以m，即m的最大值是.
20、 (1) (2) 偶函数 (3)
【解析】（1）根据定义域的要求解出定义域即可；（2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解，得，所以为偶函数；（3）按照对数计算公式求解
试题解析：
（1）由得
所以函数的域为
（2）因为函数的域为
又
所以函数为偶函数
（3）
21、（1）
（2）
（3）当时，方程有一个根；
当时，方程没有根；
当或或时，方程有两个根；
当时，方程有三个根；
当时，方程有四个根
【解析】（1）利用偶函数满足，求出的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求的值；（3）定义法得到的单调性，方程通过换元后得到的根的情况，通过分类讨论最终求出结果.
【小问1详解】
由题意得：，即，所以，其中，
∴，解得：
【小问2详解】
，
∴，
故函数的最小值为，
令，故的最小值为，等价于，解得：
或，无解
综上：
【小问3详解】
由，
令，，
有

由，有，，可得，可知函数为增函数，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，
令，有，
方程（记为方程①）可化为，整理为：（记为方程②），
，
当时，有，此时方程②无解，可得方程①无解；
当时，时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为；
时，方程②的解为，可得方程①有两个解；
当时，可得或，
1°当方程②有零根时，，此时方程②还有一根为，可得此时方程①有三个解；
2°当方程②有两负根时，可得，不可能；
3°当方程②有两正根时，可得：，又由，可得，此时方程①有四个根；
4°当方程②有一正根一负根时，，可得：或，又由，可得或，此时方程①有两个根，
由上知：当时，方程①有一个根；
当时，方程①没有根；
当或或时，方程①有两个根；
当时，方程①有三个根；
当时，方程①有四个根
【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不等式等.