云南省楚雄州永仁一中2025年高一数学第一学期期末统考试题含解析.doc

云南省楚雄州永仁一中2025年高一数学第一学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若且则的值是.
A. B.
C. D.
2．命题“任意实数”的否定是（）
A.任意实数 B.存在实数
C.任意实数 D.存实数
3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.9
C.10 D.12
4．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
5．已知集合，，则
A. B.
C. D.
6．设函数与的图象的交点为，，则所在的区间是　　
A. B.
C. D.
7．已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减，则的值为(　　)
A.－3 B.2
C.－3或2 D.3
8．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（）

A.P→A→Q B.P→B→Q
C.P→C→Q D.P→D→Q
9．在空间直角坐标系中，一个三棱锥的顶点坐标分别是，，，.则该三棱锥的体积为（）
A. B.
C. D.2
10．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线,直线若，则______________
12．已知函数则________
13．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是______
14．若且，则取值范围是___________
15．若函数的图象关于直线对称，则的最小值是________.
16．函数的递增区间是__________________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设直线l的方程为.
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程
（2）若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.
18．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数，的最值及相应的值.
19．已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若关于x的方程在R上有四个不同的根，求实数t的取值范围.
20．已知函数.
（1）若函数的图象关于直线x＝对称，且，求函数的单调递增区间.
（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
21．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

(1)求圆C的标准方程；
(2)求圆C在点B处的切线方程．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由题设，又，则，所以，，应选答案C
点睛：角变换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．
2、B
【解析】根据含全称量词的命题的否定求解.
【详解】根据含量词命题的否定，
命题“任意实数”的否定是存在实数，
故选：B
3、B
【解析】将展开利用基本不等式即可求解.
【详解】由，，且得
，
当且仅当即，时等号成立，的最小值为，
故选：B.
4、D
【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，
所以，所以，故选D
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围
5、C
【解析】先写出A的补集，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于容易题.
6、A
【解析】设，则，有零点的判断定理可得函数的零点在区间内，即所在的区间是．选A
7、A
【解析】根据幂函数的定义判断即可
【详解】由是幂函数，
知，解得或.
∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴.
故.
故选：A.
【点睛】本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题
8、B
【解析】定性分析即可得到答案
【详解】B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路.
故选：B
9、A
【解析】由题,在空间直角坐标系中找到对应的点,进而求解即可
【详解】由题,如图所示,

则,
故选:A
【点睛】本题考查三棱锥的体积,考查空间直角坐标系的应用
10、B
【解析】由两点求斜率公式可得AB所在直线当斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解
【详解】解：∵直线过点，，
∴，
设AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
则tanα＝1，即α＝45°
故选B
【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由两条直线垂直，可得，解方程即可求解.
详解】若，则，解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了由两条直线互相垂直，求参数的范围，熟练掌握直线垂直的充要条件是解题的关键，考查了运算能力，属于基础题.
12、##
【解析】利用分段函数的解析式，代入求解.
【详解】因为函数
所以
故答案为：
13、
【解析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式
【详解】设f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴4α=2
∴α=
这个函数解析式为
故答案为
【点睛】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程解法等知识，属于基础题
14、或
【解析】分类讨论解对数不等式即可.
【详解】因为，所以，
当时，可得，
当时，可得.
所以或
故答案为：或
15、
【解析】
根据正弦函数图象的对称性求解．
【详解】依题意可知，
得，
所以，
故当时，取得最小值.
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的对称性．正弦函数的对称轴方程是，对称中心是
16、
【解析】由已知有，解得，即函数的定义域为，又是开口向下的二次函数，对称轴，所以的单调递增区间为，又因为函数以2为底的对数型函数，是增函数，所以函数的递增区间为
点睛：本题主要考查复合函数的单调区间，属于易错题．在求对数型函数的单调区间时，一定要注意定义域

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.（2）a＝2或a＝－2
【解析】（1）直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况：截距为0和截距不为0，分别求出两种情况下的a的值，即得直线l的方程；（2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，由（1）可知有，解方程可得a。
【详解】（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上截距为零，∴a＝2，方程即为，
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
（2）由，得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2.
【点睛】第一个问中，直线在两坐标轴上的截距相等，注意不要忽略截距为0的情况。
18、 (1)，对称中心坐标为；(2)，此时；，此时.
【解析】⑴由图象求得振幅，周期，利用周期公式可求，将点代入解得，求得函数解析式，又，解得的值，可得函数的对称中心的坐标；
⑵由题意求出及函数的解析式，又因为，同时结合三角函数的图象进行分析，即可求得最值及相应的值
解析：(1)根据图象知，
，
∴，∴，
将点代入，解得，
∴，
又∵，解得，
∴的对称中心坐标为.
(2)，
∵为偶函数，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴

.
∵，
∴，
∴，
∴，此时；，此时.
点睛：本题考查了依据三角函数图像求得三角函数解析式，计算其对称中心，在计算三角函数值域或者最值时的方法是由内到外，分布求得其范围，最终算得结果，注意这部分的计算，是经常考的内容
19、（1）是偶函数
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】（1）利用函数奇偶性的定义，判断的关系即可得出结论；
（2）任取，利用作差法整理即可得出结论；
（3）由整理得，易得的最小值为，令，设，则原方程有4个不同的根等价于在上有2个不同的零点，从而可得出答案.
【小问1详解】
解：的定义域为R，
∵，∴，
∴是偶函数；
【小问2详解】
解：在上单调递增，
证明如下：任取，
则，
∵，∴，
另一方面，∴，
∴，即，
∴在上单调递增；
【小问3详解】
由整理得，
由（1）（2）可知在上单调递减，在上单调递增，最小值为，
令，则当时，每个a的值对应两个不同的x值，
设，
原方程有4个不同的根等价于在上有2个不同的零点，
∴解得，即t的取值范围是.
20、（1）
（2）或
【解析】（1）先求得函数的解析式，再整体代入法去求函数单调递增区间即可；
（2）依据函数的单调性及零点个数列不等式组即可求得实数b的取值范围.
【小问1详解】

由，可得
又函数的图象关于直线x＝对称，则，则
故
由，可得
则函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1）可知
当时，，
由得，由得
则函数在上单调递增，在上单调递减，

由函数有且只有一个零点，
可得或，解得或
21、 (1)(2)
【解析】（1）做辅助线，利用勾股定理，计算BC的长度，然后得出C的坐标，结合圆的方程，即可得出答案．（2）利用直线垂直，斜率之积为-1，计算切线的斜率，结合点斜式，得到方程．
【详解】（1）
过C点做CDBA，联接BC，因为，所以，因为
所以，所以圆的半径
故点C的坐标为，所以圆的方程为

（2）点B的坐标为，直线BC的斜率为
故切线斜率，结合直线的点斜式
解得直线方程为
【点睛】本道题目考查了圆的方程的求解和切线方程计算，在计算圆的方程的时候，关键找出圆的半径和圆心，建立方程，计算切线方程，可以结合点斜式，计算方程，即可．