2025年福建省仙游县数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年福建省仙游县数学高一第一学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
2．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为（）
A.36 B.42
C.49 D.56
4．幂函数的图象过点，则（）
A. B.
C. D.
5．边长为的正四面体的表面积是
A. B.
C. D.
6．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数值为

A. B.
C. D.
7．已知函数（ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　）
A.6 B.7
C.8 D.9
8．设集合，则集合的元素个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
9．已知集合，则（）
A. B.
C. D.R
10．
A. B.
C.1 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11． “”是“”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”中的一个）
12．已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；④；⑤
（1）当满足条件_________时，有；
（2）当满足条件________时，有．（填所选条件的序号）
13．函数定义域为___________
14．若幂函数的图象过点，则______.
15．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________
16．已知，，，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数满足对任意，都有；；的图象与轴的两个交点之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）记，
（i）若为单调函数，求的取值范围；
（ii）记的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.
18．已知，，.
（1）求，的值；
（2）若，求值.
19．求值或化简：
（1）；
（2）.
20．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围
21．已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1
（1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；
（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；
B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；
C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
2、B
【解析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；
【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，
，，，
所以在上存在一个零点.
故选：.
【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题
3、C
【解析】由题意，根据扇形面积公式及二次函数的知识即可求解.
【详解】解：设扇形的半径为R，弧长为l，由题意得，
则扇形的面积，
所以该扇形面积的最大值为49，
故选：C.
4、C
【解析】将点代入中，求解的值可得，再求即可.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.
所以，故，
故选：C.
5、D
【解析】∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，
∴表面积为：4×a=a2，
故选D
6、B
【解析】所以，所以。故选B。
7、B
【解析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可
【详解】解：对任意，都有，
为函数的最大值，则，，
得，，
在区间，上不单调，
，
即，即，得，
则当时，最小.
故选：B.
8、B
【解析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的运算即可得到结果.
【详解】集合，
所以.
故选：B.
9、D
【解析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.
【详解】依题意，，而，
所以
故选：D
10、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、充分不必要
【解析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】由得，解得或，
因Ü或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
12、 (1).③⑤； (2).②⑤
【解析】若m⊂α，α∥β，则m∥β；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β
故答案为（1）③⑤（2）②⑤
考点：本题主要考查直线与平面垂直的位置关系
点评：熟练掌握直线与平面平行、垂直的判定与性质，基础题
13、 [0,1）
【解析】要使函数有意义，需满足，函数定义域为[0,1）
考点：函数定义域
14、
【解析】设，将点代入函数的解析式，求出实数的值，即可求出的值.
【详解】设，则，得，，因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.
详解】不妨设，
因为函数有两个零点分别为a，b，
所以，
所以，
即，且，
，
当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，
，
即，
故答案为：
16、
【解析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因，所以，，
又，，所以，，
所以，，所以
.
故答案为
【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）（i）；（ii）或.
【解析】（1）根据二次函数的对称轴、求参数a、b、c，写出的解析式；
（2）（i）利用二次函数的性质，结合的区间单调性求的取值范围；
（ii）讨论、、，结合二次函数的性质求最小值的表达式，再令并应用数形结合的方法研究的零点情况求的取值范围.
【详解】（1）设由题意知：对称轴，
，又，则，
，
设的两根为，，则，，
由已知：，解得
.
（2）（i），其对称轴为
为单调函数，
或，解得或.
的取值范围是.
（ii），，对称轴
①当，即时，区间单调递增，
.
②当，即时，在区间单调递减，

③当，即时，，

函数零点即为方程的根
令，即，作出的简图如图所示

①当时，，或，解得或，有个零点；
②当时，有唯一解，解得，有个零点；
③当时，有两个不同解，，解得或，有4个零点；
④当时，，，解得，有个零点；
⑤当时，无解，无零点
综上：当或时，有个零点.
【点睛】关键点点睛：第二问，（i）分类讨论并结合二次函数区间单调性求参数范围，（ii）分类讨论求最小值的表达式，再应用换元法及数形结合求参数范围.
18、（1），
（2）
【解析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；
（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.
【小问1详解】
∵，∴.
∵，∴，
∴，且，解得，
∴，
【小问2详解】
∵，，∴，
∴，
∴
.
19、 (1)18;(2) .
【解析】(1) 利用对数的运算性质即可得出;
(2) 利用指数幂和对数的运算法则即可得出.
试题解析：
(1)
（2）
＝
＝＝＝
20、（1）
（2）
【解析】（1）函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，有，代入即可得出的值；
（2）时，恒成立转化为即，令，求在的最大值即可.
【小问1详解】
函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，
即，解得，当时，不满足题意，所以；
【小问2详解】
由，得，即，
令，易知在上单调递减，
则的最大值为.又因为当时，恒成立，
即在恒成立，所以.
21、（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）{a|1＜a≤2},
【解析】（1）化简集合A，B，利用并集及交集的概念运算即得；
（2）分a＞1，0＜a＜1讨论，利用条件列出不等式即得.
【小问1详解】
∵A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a+2}，
∴当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，
所以A∪B＝{x | x＞0}，A∩B＝{x |2＜x＜4}；
【小问2详解】
当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}，
因为C⊆B，所以，解得－1≤ a ≤2，
因为a ＞1，此时1＜a ≤2，
当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B，
综上，a 的取值范围为{a|1＜a≤2}