2025年湖南省湘潭市名校高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年湖南省湘潭市名校高二上数学期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．两圆和的位置关系是（ ）
A.内切 B.外离
C.外切 D.相交
2．在公比为的等比数列中，前项和，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（）
①②③
A.0 B.1
C.2 D.3
4．设双曲线（）的焦距为12，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
5．抛物线的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
6．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
7．抛物线焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
8．已知等差数列的公差，若，，则该数列的前项和的最大值为（ ）
A.30 B.35
C.40 D.45
9．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）
A.虚轴长为4 B.焦距为
C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为
11．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（ ）
A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎
C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎
12．已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C.2 D.1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线，，为抛物线上一点，则到这两条直线距离之和的最小值为___________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则__________.
15．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点，则该抛物线的标准方程为___________.
16．已知直线，抛物线上一动点到直线l的距离为d，则的最小值是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设：函数的定义域为；：不等式对任意的恒成立
（1）如果是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围
18．（12分）设等差数列的前n项和为，已知
（1）求数列通项公式；
（2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值
19．（12分）如图，四棱锥中，，.

（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？
20．（12分）已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求在上的最小值.
21．（12分）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.
（1）求切线的倾斜角的取值范围；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
22．（10分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
两圆圆心距为，则，
因此，两圆和内切.
故选：A.
2、C
【解析】先利用和的关系求出和，再求其公比.
【详解】由，得，，
所以，，则.
故选：C.
3、C
【解析】根据等差数列的定义判断
【详解】设的公差为，
则，是等差数列，
，是常数列，也是等差数列，
若，则不是等差数列，
故选：C
4、B
【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.
【详解】因为可化为，
所以，则.
故选：B.
【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.
5、C
【解析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解
【详解】由，有，可得，
抛物线的焦点坐标为
故选：C
6、C
【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以，则曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线的倾斜角为.
故选：C
7、C
【解析】由抛物线方程确定焦点位置，确定焦参数，得焦点坐标
【详解】抛物线的焦点在轴正半轴，，，，因此焦点坐标为
故选：C
8、D
【解析】利用等差数列的性质求出公差以及首项，再由等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】等差数列，由，有，
又，公差，所以，，得，
，，
∴当或10时，最大，，
故选：D
9、C
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.
【详解】函数定义域为，求导得，
于是得函数的图象在点处切线的斜率，
而直线的斜率为，依题意，，即，解得，
所以.
故选：C
10、D
【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，
所以虚轴长为6，故A错误；
焦距为，故B错误；
渐近线方程为，故D正确；
焦点到渐近线的距离为，故C错误；
故选：D.
11、A
【解析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.
【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，
因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.
故选：A.
12、A
【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出的最大值.
【详解】作出可行域如图所示，
由可知，此直线可用由直线平移得到，求的最大值，即直线的截距最大，
当直线过直线的交点时取最大值，即
故选：

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】过作，垂足分别为，由直线为抛物线的准线，转化，当三点共线时，取得最小值
【详解】过作，垂足分别为

抛物线的焦点为
直线为抛物线的准线
由抛物线的定义，
故，当三点共线时，取得最小值
故最小值为点到直线的距离：
故答案为：
14、
【解析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值.
【详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示：

在双曲线中，，，则，即点、，
因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且，
因为，故、、三点共线，
所以，，故，
由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、，
联立，可得，
所以，，可得，
由韦达定理可得，，可得，

，
整理可得，即，解得或（舍），
所以，，解得.
故答案为：.
15、
【解析】根据抛物线的聚焦特点，经过抛物线后经过抛物线焦点，再经直线反射后经过点，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.
【详解】设光线与抛物线的交点为，抛物线的焦点为，则可得：
抛物线的焦点为：
则直线的方程为：
设直线与直线的交点为，则有：

解得：
则过点且垂直于的直线的方程为：

根据题意可知：点关于直线的对称点在直线上
设点，的中点为，则有：

直线垂直于，则有：

点在直线上，则有：

点在直线上，则有：

化简得：
又
故
故答案为：
【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键
16、##
【解析】作直线l，抛物线准线且交y轴于A点，根据抛物线定义有，进而判断目标式最小时的位置关系，结合点线距离公式求最小值.
【详解】如下图示：若直线l，抛物线准线且交y轴于A点，则，，

由抛物线定义知：，则，
所以，要使目标式最小，即最小，
当共线时，又，此时.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由对数函数性质，转化为对任意的恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）利用基本不等式，求得当命题是真命题，得到，结合 “”为真命题，“”为假命题，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：因为是真命题，所以对任意的恒成立，
当时，不等式，显然在不能恒成立；
当时，则满足解得，
故实数的取值范围为
【小问2详解】
解：因为，所以，当且仅当时，等号成立
若是真命题，则；
因为“”为真命题，“”为假命题，所以与一真一假
当真假时，所以；
当假真时，所以，
综上，实数的取值范围为
18、（1）
（2）10
【解析】（1）由等差数列的前项和公式求得公差，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和求得，根据新定义求得，然后分组，结合等差数列的前项和公式计算后解方程可得
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，因为，则.
因为，则，得.
所以数列的通项公式是
【小问2详解】
因为，则
所以
.
当时，因为，则.
当时，因为，则.
因为，则，即，
即，即．因为，所以
19、（1）详解解析；
（2）存在.
【解析】（1）利用勾股定理证得，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设点，，求得平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，进而得解.
【小问1详解】
取中点为，连接，

在中，，，
，又，，
所以，又，
，而，
所以，又，
，
，又，，
平面.
【小问2详解】
以A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
设点，因为点F在线段上，设，
， ，
设平面的法向量为，，，
则，令，则，
设直线CF与平面所成角为，
，
解得或（舍去），
，此时点F是的三等分点，
所以在线段上是存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于.
20、（1）；
（2）.
【解析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程；
(2）根据极值点求出的值，根据导数值的正负判断函数的单调性，即可求出最小值.
【小问1详解】
∵，，
∴
∴
∴在处的切线为，即；
【小问2详解】
∵，
由题可知，
∴，
∴单调递增，单调递减，
∵，，
∴.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意求出值，求导后通过导数的值域求出斜率范围，从而得到倾角范围.
（2）利用导数几何意义得到过P点的切线方程，化简后构造m的函数，求新函数的极大值极小值即可.
【小问1详解】
因为，则，
解得，所以，
则，故，，
，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.
小问2详解】
设曲线与过点，的切线相切于点，
则切线的斜率为，所以切线方程为
因为点，在切线上，
所以 ，即，
由题意，该方程有三解
设，则，令，解得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，极大值为，
所以实数的取值范围是.
22、（1）
（2）
【解析】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，．利用椭圆的定义求出，然后求解，得到椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得到弦长的表达式，再通过换元利用二次函数的性质求解最值即可
【小问1详解】
依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，
则，，，，
椭圆的方程为
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设，，，，
由得
由得
由，
得
设，则，
当直线的斜率不存在时，，的最大值为