2026届湖北安陆一中数学高二第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届湖北安陆一中数学高二第一学期期末学业质量监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
2．当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）

A. B.
C. D.
4．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（）
A. B.
C. D.
5．直线经过两点，那么其斜率为（）
A. B.
C. D.
6．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
7．下列说法错误的是（）
A.命题“，”的否定是“，”
B.若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021
C.“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件
D.已知，且，则的最小值为9
8．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心（，）
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
9．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.440 B.330
C.220 D.110
10．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
11．直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（）
A. B.1
C. D.2
12．设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线的左顶点为，虚轴的一个端点为，右焦点到直线的距离为，则双曲线的离心率为__________.
14．在圆M：中，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________.
15．设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_______________.
16．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项
（1）求数列与的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围
18．（12分）已知的三个顶点是，，
（1）求边所在的直线方程；
（2）求经过边的中点，且与边平行的直线的方程
19．（12分）已知函数，其中
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）①若恒成立，求的最小值；
②证明：，其中.
20．（12分）已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式及前项的和.
21．（12分）已知三条直线：，：，：（是常数），.
（1）若，，相交于一点，求的值；
（2）若，，不能围成一个三角形，求的值：
（3）若，，能围成一个直角三角形，求的值.
22．（10分）已知集合，设
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；
【详解】解：因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为；
故选：C
2、A
【解析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】设，其中.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，解得，此时不存在；
②当时，，解得；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，
则，解得，此时不存在.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
3、A
【解析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.
【详解】解：因为在三棱锥中，，
所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，
则体对角线长为，外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，
故选：.

4、A
【解析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.
【详解】设等边三角形的边长为，
则，解得
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为
故选：A
5、B
【解析】由两点的斜率公式可得答案.
【详解】直线经过两点，则
故选：B
6、C
【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.
【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，
连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，

由得，
又，
设，则，，
又，解得，
又由，，
解得，，，
则椭圆的方程为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.
7、C
【解析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；
对于B：根据充分不必要条件直接判断；
对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；
对于D：利用基本不等式求最值.
【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；
对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；
对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；
对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）故D正确.
故选：C
8、D
【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误
故选D
9、A
【解析】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
Ⅱ卷
10、A
【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.
【详解】 与x，y轴的交点，分别为 ，，点 在圆 ，即上，
所以 ，圆心到直线距离为 ，
所以 面积的最小值为 ，
最大值为.
故选：A

11、B
【解析】设，，，，得到，用导数法求解.
【详解】解：设，，，，则，
，
，
令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数的最小值为1，
故选：B
12、C
【解析】先求出代表的是以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），数形结合得到取得最小值时a的值，得到圆心C，利用点到直线距离求出圆心C到直线的距离，数形结合求出半径r的取值范围.
【详解】，两边平方得：，即点P在以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：

因为Q的坐标为，则在直线，过点A作⊥l于点，与半圆交于点，此时长为的最小值，则，所以直线：，与联立得：，所以，解得：，则圆C：，则，圆心到直线的距离为，要想圆C上恰有2个点到直线的距离为1，则.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据双曲线左顶点和虚轴端点的定义，结合点到直线距离公式、双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】不妨设在纵轴的正半轴上，由双曲线的标准方程可知：，
右焦点的坐标为，直线的方程为：，
因为右焦点到直线的距离为，
所以有，即双曲线的离心率为，
故答案为：
14、
【解析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而可得点在圆内，即可得到过点的最长弦、最短弦弦长，即可求出四边形的面积；
【详解】解：圆M：，即，圆心，半径，点，则，所以点在圆内，所以过点的最长弦，又，所以最短弦，所以
故答案为：
15、
【解析】由可知公比，所以直接利用等比数列前项和公式化简，即可求出
【详解】解：因为，所以，
所以，所以，化简得，
因为等比数列的各项为正数，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】此题考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题
16、
【解析】联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.
【详解】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，
则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，，且是和的等比中项，
所以，整理可得，解得或.
若，则，可得，不合乎题意；
若，则，可得，合乎题意.
所以，;；
（2）因为，①
，②
②①得
因为，即对恒成立，
所以
当且，，故数列为单调递增数列，
当为偶数时，，所以；
当为奇数时，，所以，即.
综上可得
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用直线方程的两点式求解；
（2）先求得AB的中点，再根据直线与AC平行，利用点斜式求解.
【小问1详解】
因为，，
所以边所在的直线方程为，
即；
【小问2详解】
因为，，
所以AB的中点为：，
又，
所以直线方程为：，
即.
19、（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）①1；②证明见解析
【解析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可；
②由①知：，时取“=”， 令，即，最后累加即可.
【小问1详解】
由已知条件得，其中的定义域为，
则，
当时，，当时，，
综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
①由恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，
∴的最小值为1.
②由①知：，时取“=”，
令，得，
∴
，
当时，.
20、（1）证明见解析；
（2），.
【解析】（1）证明出，即可证得结论成立；
（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.
【小问1详解】
证明：因为数列满足，，则，
且，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，故数列为等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，，
因此，
.
21、（1）
（2）或或
（3）或
【解析】(1)由二条已知直线求交点，代入第三条直线即可；
(2)不能围成一个三角形，过二条已知直线的交点，或者与它们平行；
(3)由直线互相垂直得，斜率之积为-1.
【小问1详解】
显然，相交，由
得交点，
由点代入得
所以当，，相交时，.
【小问2详解】
过定点 ，因为，，不能围成三角形，所以，或与平行，或与平行，
所以，或，或.
【小问3详解】
显然与不垂直，所以，且或
所以的值为或
22、（1）
（2）
【解析】（1）先解出集合A、B，然后根据p是q的充分不必要条件列出不等式组求解.
（2）¬q是¬p的必要不充分条件可知q是p的充分不必要条件，然后求解.
【小问1详解】
解：由题意得：
，
p是q的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集
∴，即，所以实数a的取值范围.
【小问2详解】
¬q是¬p的必要不充分条件
p是q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件
集合B是集合A的真子集
∴，故实数a的取值范围为