山东省德州市武城县第二中学2025年数学高一第一学期期末统考试题含解析.doc

山东省德州市武城县第二中学2025年数学高一第一学期期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列各个关系式中，正确的是（ ）
A.={0}
B.
C.{3，5}≠{5，3}
D.{1}{x|x2=x}
2．已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ）
A. B.－
C.± D.
3．已知a=1.50.2，b=log0.21.5，c=0.21.5，则（　　）
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
4．若，且，则的值是　　
A. B.
C. D.
5．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，则（）
A. B.
C. D.
6．若，，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，则下列关于函数的说法中，正确的是（）
A.将图象向左平移个单位可得到的图象
B.将图象向右平移个单位，所得图象关于对称
C.是函数的一条对称轴
D.最小正周期为
8．已知向量且，则x值为（）.
A.6 B.-6
C.7 D.-7
9．数列的前项的和为（ ）
A. B.
C. D.
10．将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知集合
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）当时，若，求实数的取值范围
12．函数的定义域为__________________ .
13．已知，则的值是________，的值是________.
14．集合，则____________
15．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.（参考数据：）
16．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
（2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值.
18．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间” .
（1）先判断“函数没有“和谐区间”是否正确，再写出函数“和谐区间”；
（2）若是定义在上的奇函数，当时，.
（i）求的“和谐区间”；
（ii）若函数的图象是在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数，使集合恰含有个元素，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．在平面直角坐标系中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆相交,所截得的弦长为4,求直线的方程.
20．已知角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并满足：，且有意义.
（1）试判断角的终边在第几象限；
（2）若角的终边上一点，且为坐标原点），求的值及的值.
21．已知函数

（1）画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间；
（2）当时，求函数的最小值，并求y取最小值时x的值．（结果保留根号）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由空集的定义知={0}不正确，A不正确；
集合表示有理数集，而不是有理数，所以B不正确；
由集合元素的无序性知{3，5}={5，3}，所以C不正确；
{x|x2=x}={0，1}，所以{1}{0，1},所以D正确.
故选D.
2、B
【解析】
由诱导公式对已知式子和所求式子进行化简即可求解.
【详解】根据诱导公式：，所以，，故.
故选：B
【点睛】诱导公式的记忆方法：奇变偶不变，符号看象限.
3、D
【解析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以
故选：D
4、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解
【详解】由题意，知，且，
所以，则，

故选B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5、D
【解析】根据任意角的三角函数的定义即可求出的值，根据二倍角的正弦公式，即可求出的值
【详解】由题意，角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，
所以，，
所以
故选：D
6、A
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合题意，即可得x，y，z的大小关系，即可得答案.
【详解】因为在上为单调递增函数，且，
所以，即，
因为在R上为单调递增函数，且，
所以，即，
又，
所以.
故选：A
7、C
【解析】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的对称性和周期性逐一判断即可.
【详解】A：图象向左平移个单位可得到函数的解析式为：，故本选项说法不正确；
B：图象向右平移个单位，所得函数的解析式为；，因为，所以该函数是偶函数，图象不关于原点对称，故本选项说法不正确；
C：因为，所以是函数的一条对称轴，因此本选项说法正确；
D：函数的最小正周期为：，所以本选项说法不正确，
故选：C
8、B
【解析】利用向量垂直的坐标表示可以求解.
【详解】因为，，所以，即；
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
9、C
【解析】根据分组求和可得结果.
【详解】，
故选：C
10、C
【解析】先由图象的变换求出的解析式，再由定义域求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得 的取值范围.
【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得 的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，∴周期 ，
由，则 ，
若函数在上没有零点，结合正弦函数 的图象观察

则
∴ ， ，解得，
又，解得 ，
当时，解得，当 时，，可得，
.
故选：C
【点睛】本题考查正弦型的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式求解，属于较难题.
第II卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）30（2）或
【解析】（1）当时，可得中元素的个数，进而可得的非空真子集的个数；
（2）根据，可分和两种情况讨论，可得出实数的取值范围
【小问1详解】
当时，，共有5个元素，
所以的非空真子集的个数为
【小问2详解】
（1）当时，，解得；
（2）当时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得或
解得：或
综上可得，实数的取值范围是或
12、
【解析】由 ，解得 ，所以定义域为
考点：本题考查定义域
点评：解决本题关键熟练掌握正切函数的定义域
13、 ①. ②.
【解析】将化为可得值，通过两角和的正切公式可得的值.
【详解】因为，所以；
，
故答案为：，.
14、
【解析】分别解出集合,，再根据并集的定义计算可得.
【详解】∵∴，
∵，∴，
则，
故答案为：
【点睛】本题考查指数不等式、对数不等式的解法，并集的运算，属于基础题.
15、51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，根据条件列方程求出k值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，根据题中数据再列方程可得a值.
【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则，
解得，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，
则

，得
，

则燃料质量是箭体质量的51倍
故答案为：51.
16、 (0,1)
【解析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.
【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m满足不等式组解得0<m<1.
故答案为(0,1)
【点睛】这个题目考查了二次函数根的分布的问题，结合二次函数的图像的性质即可得到结果,题型较为基础.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）6毫克/立方米
（2）7.1 （3），； 的最小值为12毫克/立方米
【解析】（1）由函数解析式，将代入即可得解；
（2）分和两种情况讨论，根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（3）根据题意写出函数的解析式，再根据基本不等式即可求得最小值.
【小问1详解】
解：由，
当时，，
所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米；
【小问2详解】
解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当时，令，得恒成立，
所以当时，起到净化污水的作用，
当时，令，得，则，
所以，
综上所述当时，起到净化污水的作用，
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时；
【小问3详解】
解：因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为，
所以，，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，，
当时，取最小值12毫克/立方米.
18、（1）正确，；
（2）（i）和，（ii）存在符合题意，理由见解析.
【解析】（1）根据和谐区间的定义判断两个函数即可；
（2）（i）根据是奇函数求出的解析式，再利用“和谐区间”的定义求出的“和谐区间”，（ii）由（i）可得的解析式，由与都是奇函数，问题转化为与的图象在第一象限内有一个交点，由单调性求出的端点坐标，代入可得临界值即可求解.
【小问1详解】
函数定义域为，且为奇函数，
当时，单调递减，任意的，则，
所以时，没有“和谐区间”，同理时，没有“和谐区间”，
所以“函数没有“和谐区间”是正确的，
在上单调递减，所以在上单调递减，
所以值域为，即，所以，
所以，是方程的两根,
因为，解得，
所以函数的“和谐区间”为.
【小问2详解】
（i）因为当时，
所以当时，，所以
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以当时，，可得，
设，因为在上单调递减，
所以，，
所以，，
所以，是方程的两个不相等的正数根，即，是方程的两个不相等的正数根，且，所以，，
所以在区间上的“和谐区间”是，
同理可得，在区间上的“和谐区间”是.
所以的“和谐区间”是和，
（ii）存在，理由如下：
因为函数的图象是以在定义域内所有“和谐区间”上的图象，
所以
若集合恰含有个元素，
等价于函数与函数的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.
因为与都是奇函数，
所以只需考虑与的图象在第一象限内有一个交点.
因为在区间上单调递减，
所以曲线的两个端点为，.
因为，
所以的零点是，，或
所以当的图象过点时，，；
当图象过点时，， ，
所以当时，与的图象在第一象限内有一个交点.
所以与的图象有两个交点.
所以的取值范围是.
19、 (1);(2)或
【解析】（1）先求得圆三个交点，，由和的垂直平分线得圆心，进而得半径；
（2）易得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率不存在和存在时，利用圆心到直线的距离求解即可.
试题解析：
二次函数的图像与两坐标轴轴的三个交点分别记为
(1)线段的垂直平分线为,线段的垂直平分线,
两条中垂线的交点为圆心,又半径,
∴圆的方程为:
(2)已知圆的半径,弦长为4,所以圆心到直线的距离为1,
若直线斜率不存在时,即时,满足题意;
当直线斜率存在时,设直线斜率存在为,直线方程为
,此时直线方程为:,
所以直线的方程为:或.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
20、（1）第四象限；（2），.
【解析】（1）根据题意得sinα<0，cosα>0进而求得答案．（2）先求得m的值，进而利用三角函数定义求得答案
【详解】（1）由，得,
由有意义，可知，
所以是第四象限角.
（2）因为，所以，
解得
又为第四象限角，故，
从而，
.
【点睛】本题主要考查了三角函数的符号及象限的判断，考查三角函数定义，解题过程中特别注意三角函数符号的判断，是基础题
21、（1）作图见解析，递增区间为，递减区间为；
（2）最小值为，y取最小值时.
【解析】（1）由即得图象，由图象即得单调区间；
（2）利用基本不等式即得.
【小问1详解】
由函数，图象如图：

递增区间为，递减区间为；（注：写成也可以）
【小问2详解】
当时，，
等号当且仅当时成立，
∴的最小值为，y取最小值时