福建省泉港一中2026届数学高一第一学期期末检测试题含解析.doc

福建省泉港一中2026届数学高一第一学期期末检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
2．已知， ，则（ ）
A. B.
C. D.
3．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
4．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
B.y=sin2xcos2x
C.y=cos（4x+）
D.y=sin22x﹣cos22x
6．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A2 B.4
C.6 D.8
7．在空间坐标系中，点关于轴的对称点为（）
A. B.
C. D.
8．等边三角形ABC的边长为1，则（）
A. B.
C. D.
9．已知光线每通过一块特制玻璃板，强度要减弱，要使通过玻璃板光线强度减弱到原来的以下，则至少需要重叠玻璃版块数为（参考数据：）（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
10．已知集合，集合，则A∩B＝（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，___________.
12．已知，，则____________
13．下列命题中，正确命题的序号为______
①单位向量都相等；②若向量，满足，则；
③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量；
⑤向量，共线与向量意义是相同的
14．已知的图象的对称轴为_________________
15．已知平面向量，，，，，则的值是______
16．已知，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，求不等式的解集.
18．设函数的定义域为，函数的定义域为.
（1）求；
（2）若，且函数在上递减，求的取值范围.
19．（1）已知，则；
（2）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求
20．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，求a的值
21．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）

（1）求，关于x的函数关系式；
（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
2、D
【解析】由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.
【详解】因为， ，,,
所以.
故选：D
3、C
【解析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质可得在上单调递增，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
【详解】解：因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：

所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选：C
4、D
【解析】利用充分条件，必要条件的定义判断即得.
【详解】由，可得，
所以是的充要条件；
所以是既不充分也不必要条件；
所以是的必要不充分条件；
所以是的充分不必要条件.
故选：D.
5、D
【解析】A中，周期为,不是偶函数；
B中，周期为，函数为奇函数；
C中，周期为，函数为奇函数；
D中，周期为，函数为偶函数
6、D
【解析】由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点横坐标之和为 .故正确答案为D.

考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.
7、C
【解析】两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，由此可直接得出结果.
【详解】解：两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，竖坐标互为相反数，
所以点关于轴的对称点的坐标是.
故选：C.
8、A
【解析】直接利用向量的数量积定义进行运算，即可得到答案；
详解】，
故选：A
9、D
【解析】设至少需要经过这样的块玻璃板,则,即,两边同时取以10为底的对数,可得,进而求解即可,需注意
【详解】设至少需要经过这样的块玻璃板,则,即,
所以,即,
因为,
所以,
故选:D
【点睛】本题考查利用对数的运算性质求解,考查指数函数的实际应用
10、B
【解析】化简集合B，再求集合A,B的交集即可.
【详解】∵集合，集合，
∴.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设，则，求出的表达式，再由即可求解.
【详解】设，则，所以，
因为是定义在上的偶函数，所以，
所以当时，
故答案为：.
12、
【解析】，，
考点：三角恒等变换
13、④⑤
【解析】由向量中单位向量，向量相等、零向量和共线向量的定义进行判断，即可得出答案 .
【详解】对于①.单位向量方向不同时，不相等，故不正确.
对于②.向量，满足时，若方向不同时，不相等，故不正确.
对于③.有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量.
向量可以用有向线段来表示，二者不等同，故不正确,
对于④.根据零向量的定义，正确.
对于⑤.根据共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正确.
故答案为：④⑤
14、
【解析】根据诱导公式可得，然后用二倍角公式化简，进而可求.
【详解】因为所以，故对称轴为.
故答案为:
15、
【解析】根据向量垂直向量数量积等于，解得α·β＝，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解.
【详解】由得，
所以，
所以
所以.
故答案为：
16、
【解析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值
【详解】∵.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）答案见解析
【解析】（1）由已知得，4是方程的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系求得m，n，代入不等式，求解可得答案；
（2）代入已知条件得，分，，，，，分别求解不等式可得答案.
【小问1详解】
解：依题意，的解集为，故，4是方程的两根，
则，解得，
故或，
故不等式的解集为或.
【小问2详解】
解：依题意，，
若，（*）式化为，解得；
若，则；
当时，的解为或；
当时，（*）式化为，该不等式无解；
当时，的解为；
当时，的解为；
综上所述，若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为或；
若，不等式无解；
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）先求出集合，，然后由补集和并集的定义求解即可；
（2）先利用交集求出集合，然后利用二次函数的单调性分析求解即可
【详解】解：（1）由得，∴，
由得，∴，
∴，∴.
（2）∵，，∴.
由在上递减，得，即，∴.
19、（1）；（2）当时，；当时，
【解析】（1）分子分母同时除以，然后代入计算即可；
（2）利用三角函数的定义求出和，再分和讨论计算即可.
【详解】（1）分子分母同时除以得原式＝.
（2）由三角函数的定义可知
，，
当时，，，所以；
当时，，，所以
所以当时，原式；当时，原式
20、a＝－1或a＝2
【解析】函数的对称轴是，根据与区间的关系分类讨论得最大值，由最大值求得
【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a
（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1
（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝ (舍去)
（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2
综上可知，a＝－1或a＝2
【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数最值问题．二次函数在区间最值问题，一般需要分类讨论，分类标准是对称轴与区间的关系，如果，求最小值时分三类：，，，求最大值只要分两类：和，类似分类
21、（1），（2）13分钟
【解析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出和的方程即可；
（2）根据零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
可设，
∵转动的周期为30分钟，∴，
∵枢轮的直径为3.4米，∴，
∵点P的初始位置为最高点，∴，
∴，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，
∵水位以每分钟0.017米速度下降，
∴；
【小问2详解】
P点进入水中，则，即
∴
作出和的大致图像，显然在内存在一个交点

令，
∵，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.