云南省宣威市六中2025年数学高一第二学期期末联考试题含解析.doc

云南省宣威市六中2025年数学高一第二学期期末联考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列满足，，则（ ）
A．1024 B．2048 C．1023 D．2047
2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝，＝(cosA，sinA)，若与夹角为，则acosB＋bcosA＝csinC，则角B等于(　　)
A． B． C． D．
3．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（ ）
A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．2
4．已知，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，且不等式的解集为，则函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．样本中共有个个体，其值分别为、、、、.若该样本的平均值为，则样本的方差为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为
A．3 B．1 C． D．
8．设直线系．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．存在一个圆与所有直线相交
B．存在一个圆与所有直线不相交
C．存在一个圆与所有直线相切
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
9．在中，角的对边分别为.若，，，则边的大小为（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某中学初中部共有名老师，高中部共有名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为__________．

12．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为______三角形．
13．已知x，y满足，则的最大值为________.
14．已知数列的前项和为，，，则__________．
15．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ．
16．若点为圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足=
(1)若求数列的通项公式;
(2)若==对一切恒成立求实数取值范围.
18．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求的值.
19．在平面直角坐标系中，已知向量，．
（1）求证：且；
（2）设向量，，且，求实数的值．
20．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.
21．对于定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.
（1）若函数是“基函数，”生成的，求实数的值；
（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.求函数的解析式.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据叠加法求结果.
【详解】
因为，所以，
因此，选C.
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
2、B
【解析】
根据向量夹角求得角 的度数，再利用正弦定理求得 即得解.
【详解】
由已知得：
所以 所以
由正弦定理得：
所以
又因为
所以 因为
所以
所以
故选B.
本题考查向量的数量积和正弦定理，属于中档题.
3、A
【解析】

【详解】
，选A.
本题考查由两直线平行求参数.
4、B
【解析】
由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.
【详解】

故选B.
本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.
5、B
【解析】
本题考查二次函数图像，二次方程的根，二次不等式的解集三者之间的关系.
不等式的解集为,所以方程的两根是则解得所以则
故选B
6、D
【解析】
根据样本的平均数计算出的值，再利用方差公式计算出样本的方差.
【详解】
由题意可知，，解得，
因此，该样本的方差为，故选：D.
本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
7、C
【解析】
分析：根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得的值．
详解：如图：∵， ，
则

又 三点共线，
故得 ．
故选C.．
点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
8、D
【解析】
对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解
【详解】
因为
所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在， 半径大于1的圆与中所有直线相交, A正确
也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确
也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确
故正确
因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 与 均为等边三角形而面积不等,

故错误，答案选D.
本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化.
9、A
【解析】
直接利用余弦定理可得所求.
【详解】
因为，所以，解得或（舍）.
故选A.
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．
10、A
【解析】
根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求，根据在方向上的投影为，代入数值，即可求解．
【详解】
因为，所以 ，
即， 即，
因为，所以，所以 ，
所以在方向上的投影为：．
故选：A．
本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由初中部、高中部男女比例的饼图，初中部女老师占70%，高中部女老师占40%，分别算出女老师人数，再相加.
【详解】
初中部女老师占70%，高中部女老师占40%，
该校女教师的人数为.
考查统计中读图能力，从图中提取基本信息的基本能力.
12、等腰或直角
【解析】
根据正弦定理化简得到，得到，故 或
，得到答案.
【详解】

利用正弦定理得到：，化简得到
即
故 或
故答案为等腰或直角
本题考查了正弦定理和三角恒等变换，漏解是容易发生的错误.
13、6
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.
【详解】
由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
因为目标函数，可化为直线，当直线过点A时，此时目标函数在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
又由，解得，
所以目标函数的最大值为.
故答案为：6.

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
14、
【解析】
先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.
【详解】
当时，则有，；
当时，由得出，
上述两式相减得，，得且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，
那么，因此，，故答案为.
本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.
15、5
【解析】
试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
16、；
【解析】
利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦．
【详解】
圆标准方程为，圆心为，，
∵是中点，∴，即，
∴的方程为，即．
故答案为．
本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长（其中为圆心到弦所在直线的距离）．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）=；（2）.
【解析】
（1）由，结合可得数列为等差数列，进而可得所求；（2）由得，利用累加法并结合等比数列的前项和公式求出，化简得，再利用数列的单调性求出的最大值即可得出结论.
【详解】
（1）由，可得=．
∴数列是首项为1，公差为4的等差数列，
∴.
（2）由及，
得=，
∴，
∴

，
又满足上式，
∴．
∵对一切恒成立，即对一切恒成立，
∴对一切恒成立．
又数列为单调递减数列，
∴，
∴，
∴实数取值范围为．
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，考查了累加法与恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力，解决数列中的恒成立问题时，也常利用分离参数的方法，转化为求最值的问题求解．
18、 (1) 最小正周期是 (2)
【解析】
（1）运用辅助角公式化简得；
（2）先计算的值为，构造，求出的值.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以函数的最小正周期是.
（2）因为 ，所以，
因为，所以，
所以，则

利用角的配凑法，即进行角的整体代入求值，考查整体思想的运用.
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据向量的坐标求出向量模的方法以及向量的数量积即可求解.
（2）根据向量垂直，可得数量积等于，进而解方程即可求解.
【详解】
（1）证明：，，所以，因为，所以；
（2）因为，所以，
由（1）得：
所以，解得．
本题考查了向量坐标求向量的模以及向量数量积的坐标表示，属于基础题.
20、（1）；（2）正相关；（3）2.2千元.
【解析】
（1）直接利用公式计算回归方程为：.
（2）由（1），故正相关.
（3）把代入得：.
【详解】
（1）∵，，样本中心点为：
∴由公式得：
把代入得：
所求回归方程为：；
（2）由（1）知，所求出方程的系数为：，，
∵，
∴与之间是正相关.
（3）把代入得：（千元）
即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.
本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.
21、 (1) . (2)
【解析】
（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得的值.（2）设出的表达式，利用为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得，由此化简的表达式，构造函数，利用定义法证得在上的单调性，由此求得的最小值，也即的最小值，从而求得的最小值，结合题目所给条件，求出的值，即求得的解析式.
【详解】
解：（1）由已知得，
即，
得，所以.
（2）设，则.
由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，所以.
所以
.
设，，令，则，
任取，且
则，
因为，且
所以，，，故
即，所以在单调递增，
所以，且当时取到“”.
所以，
又在区间的最小值为，
所以，且，此时，
所以
本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数与方程的思想，综合性较强，属于中档题.