山东师大附中2025届数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

山东师大附中2025届数学高一第二学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，为直线，，为平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则与为异面直线
C．若，，，则
D．若，，，则
4．方程的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．182
6．已知两条直线与两个平面，给出下列命题:
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则；
其中正确的命题个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知的模为1，且在方向上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．已知直线与平行，则等于( )
A．或 B．或 C． D．
9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
10．若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是
A．平均数为20，方差为8 B．平均数为20，方差为10
C．平均数为21，方差为8 D．平均数为21，方差为10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______.

12．若点为圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程为___________.
13．的值为__________．
14．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ．
15．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.
16．如图所示，分别以为圆心，在内作半径为2的三个扇形，在内任取一点，如果点落在这三个扇形内的概率为，那么图中阴影部分的面积是____________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角

（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？
（2）若当变化时，求的取值范围.
18．已知同一平面内的三个向量、、，其中（1，2）．
（1）若||＝2，且与的夹角为0°，求的坐标；
（2）若2||＝||，且2与2垂直，求在方向上的投影．
19．在直角坐标系中，点，圆的圆心为，半径为2.
（Ⅰ）若，直线经过点交圆于、两点，且，求直线的方程；
（Ⅱ）若圆上存在点满足，求实数的取值范围.
20．设是两个相互垂直的单位向量，且
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
21．已知为等边角形，.点满足，，.设.
试用向量和表示;
若,求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由已知条件，先求出函数的周期，由于，即可求出值域.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以当时，；
当时，；当时，，
所以的值域为.
故选：C.
本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.
2、A
【解析】
设长方体的棱长为，球的半径为，根据题意有，再根据球的直径是长方体的体对角线求解.
【详解】
设长方体的棱长为，球的半径为，
根据题意，，
解得，
所以，
所以外接球的表面积，
故选：A
本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3、D
【解析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.
【详解】
由，为直线，，为平面，知：
在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
在D中，若，，，则由线面垂直、面面平行的性质定理得，故D正确.
故选：D.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.
4、C
【解析】
利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为，即可得到原方程的解.
【详解】
由，
根据正切函数图像以及周期可知：
，
故选：C
本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题.
5、B
【解析】
由，可得，可得的值.
【详解】
解：已知等差数列中，
可得，
即：，，
故选B
本题主要考查等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键.
6、A
【解析】
结合线面平行定理和举例判断.
【详解】
若，则可能平行或异面，故①错误；
若，则可能与的交线平行，故②错误；
若，则，所以，故③正确；
若，则可能平行，相交或异面，故④错误；
故选A.
本题线面关系的判断，主要依据线面定理和举例排除.
7、A
【解析】
根据投影公式，直接得到结果.
【详解】
，
.
故选A.
本题考查了投影公式，属于简单题型.
8、C
【解析】
由题意可知
且，
解得．
故选．
9、D
【解析】
根据折线图中11个月的数据分布，数据从小到大排列中间的数可得中位数，根据数据的增长趋势可判断BCD.
【详解】
由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.
本题主要考查了识别折线图进行数据分析，属于基础题.
10、A
【解析】
利用和差积的平均数和方差公式解答.
【详解】
由题得样本的平均数为，方差为.
故选A
本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由，得，可得出，再利用、、三点共线的向量结论得出，可解出实数的值.
【详解】
由，得，可得出，
由于、、三点共线，，解得，故答案为.
本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.
12、；
【解析】
利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦．
【详解】
圆标准方程为，圆心为，，
∵是中点，∴，即，
∴的方程为，即．
故答案为．
本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长（其中为圆心到弦所在直线的距离）．
13、
【解析】
直接利用诱导公式化简求值.
【详解】
,
故答案为:.
本题考查诱导公式的应用,属于基础题.
14、
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用
15、.
【解析】
从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．
【详解】
假设时命题成立，则，
当时，
从到时左边需增乘的代数式是．
故答案为：.
本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
16、
【解析】
先求出三块扇形的面积,再由概率计算公式求出的面积,进而求出阴影部分的面积.
【详解】
∵,
∴三块扇形的面积为:,
设的面积为,
∵在内任取一点,点落在这三个扇形内的概率为,
,
∴图中阴影部分的面积为:,
故答案为:.
本题主要考查几何概型的应用,属于几何概型中的面积问题,难度不大.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）3≤x≤1．
【解析】
试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求最值，最后根据正切函数单调性确定最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据a的范围确定范围，最后解不等式得的取值范围.
试题解析：（1）当时，过作的垂线，垂足为，
则，且，
由已知观察者离墙米，且，
则，
所以， ，
当且仅当时，取“”．
又因为在上单调增，所以，当观察者离墙米时，视角最大．
（2）由题意得，，又，
所以，
所以，
当时，，所以，
即，解得或，
又因为，所以，
所以的取值范围为．

18、（1）（2，4）（2）
【解析】
（1）由题意可得与共线，设出的坐标，根据||＝2，求出参数的值，可得的坐标；
（2）由题意可得，再根据，求出 的值，可得在方向上的投影的值．
【详解】
（1）同一平面内的三个向量、、，其中（1，2），若||＝2，且与的夹角为0°，
则与共线，故可设（t，2t），t＞0，
∴2，∴t＝2，即（2，4）．
（2）∵2||＝||，即||．
∵2与2垂直，∴（2）•（2）＝2320，
即83•20，即366，即•，
∴在方向上的投影为．
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．
19、（Ⅰ）或.（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用d=1以直线的斜率存在、不存在两种情况进行分类讨论；（Ⅱ）设，由求出x、y满足的关系式，可得点在圆上，推出圆与圆有公共点，所以，列出不等式求解即可.
【详解】
（Ⅰ）当，圆心为，
圆的方程为，
设圆心到直线的距离为，则.
①若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
，解得，
此时的方程为，即.
②若直线的斜率不存在，直线的方程为，验证满足，符合题意.
综上所述，直线的方程为或.
（Ⅱ）设，则，
于是
由得，即，
所以点在圆上，又点在圆上，
故圆与圆有公共点，即,
于是，解得，
因此实数的取值范围是.
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，向量的数量积，根据圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；
（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．
【详解】
解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，
，
当时，；
（Ⅱ）若，则，

因为是两个相互垂直的单位向量，
当时，.
本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．
21、 (1) ； ；(2) .
【解析】
（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程，解方程求得结果.
【详解】
（1）

（2）
为等边三角形且 ，

即：，解得：
本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.