2025年贵港市重点中学高一数学第二学期期末考试试题含解析.doc

2025年贵港市重点中学高一数学第二学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．两个正实数满足，则满足，恒成立的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（ ）
A．2张恰有一张是移动卡 B．2张至多有一张是移动卡
C．2张都不是移动卡 D．2张至少有一张是移动卡
3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法正确的是
A．A+B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B+C与D不是互斥事件，但是对立事件
C．A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件 D．B+C+D与A是互斥事件，也是对立事件
4．圆：被直线截得的线段长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边落在射线上，则（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 三个数的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，则下列结论正确的是
A． B． C．与垂直 D．
8．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：
A．100 B．80 C．60 D．40
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___．
12．设函数满足，当时，，则=________.
13．三棱锥的各顶点都在球的球面上，，平面，，，球的表面积为，则的表面积为_______．
14．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．
15．设数列的通项公式为，则_____．
16．不等式的解集为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
参考数据：．
18．设的内角所对应的边长分别是，且.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）当的面积为时，求的值．
19．设函数.
（1）若，解不等式；
（2）若对一切实数，恒成立，求实数的取值范围.
20．如图，在四棱锥中，，且，，，点在上，且．

（1）求证：平面⊥平面；
（2）求证：直线∥平面．
21．一汽车厂生产，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆．

轿车
轿车
轿车
舒适型
100
150

标准型
300
450
600
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数， 记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，且函数没有零点，求事件发生的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。
【详解】
由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.
故选：B
本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围，是常考题型。
2、B
【解析】
概率的事件可以认为是概率为的对立事件．
【详解】
事件“2张全是移动卡”的概率是，它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．
故选B．
本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1．
3、D
【解析】
不可能同时发生的事件为互斥事件，当两个互斥事件的概率和为1，则两个事件为对立事件，易得答案.
【详解】
因为事件彼此互斥，所以与是互斥事件，
因为，，
，所以与是对立事件，故选D.
本题考查互斥事件、对立事件的概念，注意对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.
4、D
【解析】
由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长，即可得出结果.
【详解】
因为圆：的圆心为，半径；
所以圆心到直线的距离为，
因此，弦长.
故选D
本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型.
5、D
【解析】
在的终边上取点,然后根据三角函数的定义可求得答案.
【详解】
在的终边上取点,则,
根据三角形函数的定义得.
故选:D
本题考查了利用角的终边上的点的坐标求三角函数值,属于基础题.
6、A
【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质比较，b，c的大小即可．
【详解】
＝log50.2＜0，b＝20.5＞1，0＜c＝0.52＜1，
则，
故选A．
本题考查了对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题．
7、C
【解析】
可按各选择支计算．
【详解】
由题意，，A错；
，B错；，∴，C正确；
∵不存在实数，使得，∴不正确，D错，
故选C．
本题考查向量的数量积、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知识，属于基础题．
8、A
【解析】
在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.
【详解】
根据对称性，点 关于 轴对称的点的坐标为.
故选A.
本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.
9、B
【解析】
根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.
【详解】
由题意知： ，则

设向量与向量的夹角为
则
本题正确选项：
本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.
10、A
【解析】
根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．
本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：，
问题得解.
【详解】
因为在方向上的射影数量为2，
所以，整理得：
又，为单位向量，
所以.
设与的夹角，则
所以与的夹角是
本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.
12、
【解析】
由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出结果．
【详解】
∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx，
当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=0+
=．
故答案为：．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
13、
【解析】
根据题意可证得，而，所以球心为的中点．由球的表面积为，即可求出，继而得出的值，求出三棱锥的表面积．
【详解】
如图所示：
∵，平面，∴，又，故球心为的中点．
∵球的表面积为，∴，即有．
∴，．
∴，，
，．
故的表面积为．
故答案为：．
本题主要考查三棱锥的表面积的求法，球的表面积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．
14、4π
【解析】
利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.
【详解】
由，解得．．解得．
，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．
故答案为：4π．
本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.
15、
【解析】
根据数列的通项式求出前项和，再极限的思想即可解决此题。
【详解】
数列的通项公式为，
则，
则答案．
故为：．
本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。
16、
【解析】
利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集．
【详解】
同解于
解得或
故答案为：
本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多
【解析】
1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．
【详解】
（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03
这组数据的平均数
．
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．
记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：
，，，
从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于250克的芒果收入为（元）；
不低于250克的芒果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）．
由于，所以选择方案②获利多．
本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18、（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由得，再利用正弦定理即可求出（Ⅱ）由可得，再利用余弦定理即可求出.
【详解】
（Ⅰ）∵∴，
由正弦定理可知： ，∴
（Ⅱ）∵
∴
由余弦定理得：
∴，即
则：
故：
本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
19、（1）或；（2）
【解析】
（1）时，不等式化为，求解即可；
（2）分和两种情况分类讨论，并结合二次函数的性质，可求出答案.
【详解】
（1）时，不等式化为，即，解得或，即解集为：或.
（2）当时，，符合题意，
当时，由题意得，解得，
综上所述，实数的取值范围是：.
本题考查不等式恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）通过边长关系可知，所以，又，所以平面，所以平面平面．（2）连接交与点，连接，易得∽，所以，所以直线平面．
，
【详解】
（1）因为，，
所以，所以
又，且，平面，平面
所以平面
又平面
所以平面平面
（2）连接交与点，连接
在四边形中，，
∽，所以
又，即
所以
又直线平面，直线平面
所以直线平面
（1）证明面面垂直：先正线面垂直，线又属于另一个面，即可证明面面垂直．（2）证明线面平行，在面内找一个线与已知直线平行即可.
21、（1）400；（2）；（3）
【解析】
（1）由分层抽样按比例可得；
（2）把5个样本编号，用列举法列出任取2辆的所有基本事件，得出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，计数后可得概率．
（3）求出，确定事件所含的个数后可得概率．
【详解】
（1）由题意，解得；
（2）C类产品中舒适型和标准型产品数量比为，因此5人样品中舒适型抽取了2辆，标准型抽取了3辆，编号为，任取2辆的基本事件有：共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有共7个，所求概率为．
（3）由题意，
满足的有共6个，
函数没有零点，则，解得，再去掉，还有4个，
∴所求概率为．
本题考查分层抽样，考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有的基本事件．