2024-2025学年甘肃省陇南市徽县第二中学数学高一第二学期期末经典试题含解析.doc

2024-2025学年甘肃省陇南市徽县第二中学数学高一第二学期期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．正方体中,直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为 （ ）
A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}
4．的内角的对边分别是，若，，，则( )
A． B． C． D．
5．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．设等比数列的前项和为，若，则( )
A． B． C． D．
9．函数的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若是等差数列，首项，，，则使前项和最大的自然数是________.
12．无穷等比数列的首项是某个正整数，公比为单位分数（即形如：的分数，为正整数），若该数列的各项和为3，则________.
13．若各项均为正数的等比数列，，则它的前项和为______.
14．某餐厅的原料支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程，则表中的值为_________.

2
4
5
6
8

25
35

55
75

15．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.
16．设集合，它共有个二元子集，如、、等等．记这个二元子集为、、、、，设，定义，则_____．（结果用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，D为的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求与所成角的余弦值．
18．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.

（1）若，求AM的长度；
（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；
（3）求的取值范围.
19．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求 的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
20．已知，．
(1)求及的值；
(2)求的值．
21．已知函数.
（1）求在区间上的单调递增区间；
（2）求在的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.
【详解】
作出相关图形，由于，所以直线与所成角即为直线与所成角，由于为等边三角形，于是所成角余弦值为，故答案选C.

本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.
2、D
【解析】
首先确定题中，，的取值范围，再根据大小排序即可.
【详解】
由题知，，
，
，
所以排序得到.
故选：D.
本题主要考查了比较指数对数的大小问题，属于基础题.
3、B
【解析】
数列是周期为8的数列；，
；
故选B
4、B
【解析】
,
所以，整理得求得或
若，则三角形为等腰三角形，不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出后，要及时判断出，便于三角形的初步定型，也为排除提供了依据.如果选择支中同时给出了或，会增大出错率.
5、D
【解析】
本题首先可根据数列是各项均为正数的等比数列以及计算出的值，然后根据对数的相关运算以及等比中项的相关性质即可得出结果．
【详解】
因为等比数列的各项均为正数，，
所以，，
所以，
故选D．
本题考查对数的相关运算以及等比中项的相关性质，考查的公式为以及在等比数列中有，考查计算能力，是简单题．
6、D
【解析】
A项中，需要看分母的正负；B项和C项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小.
【详解】
A项中，若，则有，故A项错误；B项中，若，则，故B项错误；C项中，若则即，故C项错误；D项中，若，则一定有，故D项正确.
故选：D
本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.
7、B
【解析】
由题意，∴，
即，解得，
∴该不等式的解集是，故选．
8、C
【解析】
根据等比数列性质：成等比数列，计算得到，，，计算得到答案.
【详解】
根据等比数列性质：成等比数列
，设则，
；

故选：C
本题考查了数列的前N项和，利用性质成等比数列可以简化运算，是解题的关键.
9、B
【解析】
试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.
10、C
【解析】
根据，求出向量的关系，再利用必要条件和充分条件的定义，即可判定，得到答案．
【详解】
由题意，函数，
又为偶函数，所以，
则，即，
可得，所以，
若，则，所以，
则，所以函数是偶函数，
所以“函数为偶函数”是“”的充要条件．
故选C．
本题主要考查了向量的数量积的运算，函数奇偶性的定义及其判定，以及充分条件和必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由已知条件推导出，，由此能求出使前项和成立的最大自然数的值．
【详解】
解：等差数列，首项，，，
，．
如若不然，，则，
而，得，矛盾，故不可能．

使前项和成立的最大自然数为．
故答案为：．
本题考查等差数列的前项和取最大值时的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．
12、
【解析】
利用无穷等比数列的各项和，可求得，从而，利用首项是某个自然数，可求，进而可求出.
【详解】
无穷等比数列各项和为3，
，是个自然数，则，
.
故答案为：
本题主要考查了等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
13、
【解析】
利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出它的前项和.
【详解】
设各项均为正数的等比数列的公比为，由，得
，且，
解得，
它的前项和为.
故答案：.
本题考查等比数列的前项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14、60
【解析】
由样本中心过线性回归方程，求得，，代入即可求得
【详解】
由题知：，，
将代入得
故答案为：60
本题考查样本中心与最小二乘法公式的关系，易错点为将直接代入求解，属于中档题
15、0
【解析】
利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
根据向量减法的几何意义可得：,
即,
所以
.
故答案为：0
本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.
16、1835028
【解析】
分别分析中二元子集中较大元素分别为、、、时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果.
【详解】
当二元子集较大的数为，则较小的数为；
当二元子集较大的数为，则较小的数为、；
当二元子集较大的数为，则较小的数为、 、；

当二元子集较大的数为，则较小的数为、、、、.
由题意可得
，
令，
得，
上式下式得，
化简得，
因此，，
故答案为：.
本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）连接，设与相交于点O，连接OD.证明 OD为的中位线，得，即可证明；（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可
【详解】
(1)证明：如图，连接，设与相交于点O，连接OD.
∵四边形是平行四边形．
∴点O为的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为的中位线，

平面，平面， 平面 .

（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角
在中，D为AC的中点，则
同理可得，
在中，
与BD所成角的余弦值为 .
本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题
18、（1）；（2），当时，；（3）.
【解析】
（1），，，由即可得解；
（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；
（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.
【详解】
（1）由题意可知:，即，
，所以；
（2），，，，
，，
，时，取得最大值1，；
（3），
由题意可知，令，
.
本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.
19、 (1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.
试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜1，故当n≤2时，f（n）递减；
当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＞1，故当n≥2时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．
从而当x∈[1，2）时，f'（x）＜1，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞1，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利．
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）由已知，，利用，可得的值，再利用及二倍角公式，分别求得及的值；
（2）利用倍角公式、诱导公式，可得原式的值为.
【详解】
（1）因为，，所以，所以，
.
（2）原式
若三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二.
21、 (1) 和. (2)
【解析】
（1）利用辅助角公式可将函数化简为；令可求出的单调递增区间，截取在上的部分即可得到所求的单调递增区间；（2）利用的范围可求得的范围，对应正弦函数的图象可求得的范围，进而得到函数的值域.
【详解】
（1）
令，解得：
令，可知在上单调递增
令，可知在上单调递增
在上的单调递增区间为：和
（2）当时，

即在的值域为：
本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题；解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式，将整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围，从而结合正弦函数的知识可求得结果.