江苏省泰州市泰州中学2024-2025学年数学高一下期末质量检测模拟试题含解析.doc

江苏省泰州市泰州中学2024-2025学年数学高一下期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列是等差数列，，则 (     )
A．36 B．30 C．24                          D．1
2．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）
（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）
A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天
3．单位圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
5．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
6．已知a，b为不同的直线，为平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．圆锥的母线长为，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
9．若，则与夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．1
10．在中，若°，°，．则=
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若，则的取值围为_________.
12．下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
13．如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________

14．设数列的通项公式，则数列的前20项和为____________．
15．已知，若数列满足，，则等于________
16．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，其中，求：
（1）；；
（2）与的夹角的余弦值．
18．如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面.

（1）证明：//；
（2）求证：.
19．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．
（1）求的解析式及定义域；
（2）求的最大值．
20．已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量共线.
21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
通过等差中项的性质即可得到答案.
【详解】
由于，故，故选B.
本题主要考查等差数列的性质，难度较小.
2、A
【解析】
设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．
【详解】
设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An，Bn，
由题意可得：，化为：2n7，
解得2n＝3，2n＝1（舍去）．
∴n12.3．
∴估计2.3日蒲、莞长度相等，
故选：A．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3、B
【解析】
将转化为弧度，即可得出答案.
【详解】
，因此，单位圆中，的圆心角所对的弧长为.
故选B.
本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.
4、D
【解析】
∵，
∴
，
，故选D.
5、C
【解析】
分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以

故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
6、D
【解析】
根据线面垂直与平行的性质与判定分析或举出反例即可.
【详解】
对A,根据线线平行与线面垂直的性质可知A正确.
对B, 根据线线平行与线面垂直的性质可知B正确.
对C,根据线面垂直的性质知C正确.
对D,当,时,也有可能.故D错误.
故选：D
本题主要考查了空间中平行垂直的判定与性质,属于中档题.
7、B
【解析】
由圆锥展开图为半径为的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积.
【详解】
一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图为半圆，
半圆的弧长为，即圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径是，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是，
圆锥的表面积为．故选：B．
本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题.
8、B
【解析】
利用正弦定理求出，然后利用三角形的内角和定理可求出.
【详解】
由正弦定理得，得，
，，则或.
当时，由三角形的内角和定理得；
当时，由三角形的内角和定理得.
因此，或.
故选B.
本题考查利用正弦定理和三角形的内角和定理求角，解题时要注意大边对大角定理来判断出角的大小关系，考查计算能力，属于基础题.
9、A
【解析】
根据向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由向量，
则与夹角的余弦值为,故选A.
本题主要考查了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、A
【解析】
∵在△ABC中,A=45∘,B=60∘，a=2，
∴由正弦定理得：.
本题选择A选项.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由函数，根据，得到，再由，得到，结合余弦函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
又由，即，即，
因为，则，
所以或，即或，
所以实数的取值围为.
故答案为：.
本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、①②
【解析】
根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.
【详解】
①若，则的最大值为
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取 错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
故答案为① ②
本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.
13、
【解析】
通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.
【详解】
作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.

本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.
14、
【解析】
对去绝对值，得，再求得的前项和，代入=20即可求解
【详解】
由题的前n项和为
的前20项和，代入可得.
故答案为：260
本题考查等差数列的前项和，去绝对值是关键，考查计算能力，是基础题
15、
【解析】
根据首项、递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.
【详解】

，所以数列是以5为周期的数列，
因为20能被5整除，所以.
本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.
16、9
【解析】
平分圆的直线过圆心，由此求得的等量关系式，进而利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由于直线始终平分圆的周长，故直线过圆的圆心，即，所以.
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）10；（2）
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是平面向量的数量积和向量的模．先根据是相互垂直的单位向量表示出要用的两个向量，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算即可求出答案．
（2）本题考察的是平面向量的夹角余弦值，可以通过向量的数量积公式表示出夹角的余弦值．先求出向量的模长，然后根据（1）求出的的数量积代入公式，即可求出答案．
试题解析：（1），
．

∴|．
（2）
考点：平面向量数量积的坐标表示、模和夹角．
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用线面平行的性质定理可得，从而得到.
（2）连接，可证平面，从而得到.
【详解】
（1）因为平面，平面，平面平面，
所以.
又在直棱柱中，有，所以.
(2)连接，因为棱柱为直棱柱，所以平面，
又平面，所以.
又因为，平面，平面，，
所以平面.又平面，所以.
在直棱柱中，有四边形为平行四边形.
又因为，所以四边形为菱形，所以.
又,平面,平面，
所以平面，又平面，所以.
线线平行的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如三角形的中位线、梯形的中位线等；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理（同垂直一个平面的两条直线平行）.
而线线垂直的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如勾股定理等；（2）异面直线所成的角为 ；（3）线面垂直的性质定理；
19、（1）（2）的最大值为.
【解析】
（1）利用周长，可以求出的长，利用平面几何的知识可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周长为，可求出的取值范围，最后利用三角形面积公式求出的解析式；
（2）化简（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．
【详解】
（1）如下图所示：

∵设，则，
又，
即，
∴，得
，
∵，
∴，
∴的面积．
（2）由（1）可得，

，
当且仅当，即时取等号，
∴的最大值为，此时．
本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力.
20、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
试题解析：
（1）
（2），

∵与共线，
∴
∴
21、 (Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a<c，故．
因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．