安徽省亳州市蒙城县第六中学2024-2025学年高一下数学期末联考试题含解析.doc

安徽省亳州市蒙城县第六中学2024-2025学年高一下数学期末联考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③相等的角在直观图中仍然相等;④正方形的直观图是正方形.以上结论正确的是( )
A．①② B．① C．③④ D．①②③④
3．已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则时，的值是（ ）
A．10 B．120 C．130 D．140
4．已知非零向量与的夹角为，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．数列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，则a2019的值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
6．已知等比数列的公比为，若，，则（ ）
A．-7 B．-5 C．7 D．5
7．已知向量，且，则( ).
A． B．
C． D．
8．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
10．已知a,,且,若对,不等式恒成立,则的最大值为( )
A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一圆柱的侧面展开图是长、宽分别为3、4的矩形，则此圆柱的侧面积是________．
12．在中，比长4，比长2，且最大角的余弦值是，则的面积等于______________．
13．在正方体的体对角线与棱所在直线的位置关系是______.
14．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．
15．已知函数，对于上的任意，，有如下条件：
①； ②；③；④．
其中能使恒成立的条件序号是__________．
16．已知，是第三象限角，则 .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）若关于x的不等式2x＞m（x2+6）的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集．
（2）若2kx＜x2+4对于一切的x＞0恒成立，求k的取值范围．
18．某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示：
中学编号
1
2
3
4
5
6
7
8
原料采购加工标准评分x
100
95
93
83
82
75
70
66
卫生标准评分y
87
84
83
82
81
79
77
75
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）
（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.
参考公式：，；
参考数据：，.
19．在中，分别为内角的对边，且
（1）求的大小：
（2）若，求的面积.
20．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份

2010

2011

2012

2013

2014

时间代号

1

2

3

4

5

储蓄存款（千亿元）

5

6

7

8

10

（Ⅰ）求y关于t的回归方程
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.
附：回归方程中
21．已知函数.
（1）求证：；
（2）若角满足，求锐角的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，的图象是开口向下且与x轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果.
【详解】
不等式为一元二次不等式，故，
根据一元二次函数的图象与性质可得，
的图象是开口向下且与x轴没有交点，
则，解不等式组，得.
故本题正确答案为A.
本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题.
2、A
【解析】
由直观图的画法和相关性质，逐一进行判断即可.
【详解】
斜二侧画法会使直观图中的角度不同，也会使得沿垂直于
水平线方向的长度与原图不同，而多边形的边数不会改变，
同时平行直线之间的位置关系依旧保持平行，故：
①②正确，③和④不对，因为角度会发生改变.
故选：A.
本题考查斜二侧画法的相关性质，注意角度是发生改变的，这是易错点.
3、B
【解析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.
【详解】
设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
4、B
【解析】
根据条件可求出，从而对两边平方即可得出，解出即可．
【详解】
向量与的夹角为，且；
；
；
；
或0（舍去）；
．
故选：．
本题主要考查了向量数量积的定义及数量积的运算公式，属于中档题.
5、B
【解析】
根据递推公式，算出即可观察出数列的周期为3，根据周期即可得结果．
【详解】
解：由已知得，，，
，…，，
所以数列是以3为周期的周期数列，故，
故选：B．
本题考查递推数列的直接应用，难度较易．
6、A
【解析】
由等比数列通项公式可构造方程求得，再利用通项公式求得结果.
【详解】

故选：
本题考查等比数列通项公式基本量的计算问题，考查基础公式的应用，属于基础题.
7、D
【解析】
运用平面向量的加法的几何意义，结合等式，把其中的向量都转化为以为起点的向量的形式，即可求出的表示.
【详解】
,
,故本题选D.
本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.
8、C
【解析】
将函数y=sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(x－)，再向左平移个单位得到的解析式为y=sin(（x+）－)= y=sin(x－)，故选C
9、D
【解析】
试题分析：由图可知，，∴，又，
∴，∴，又．∴.
考点：由图象确定函数解析式.
10、C
【解析】
由，不等式恒成立，得，利用绝对值不等式的定理，逐步转化，即可得到本题答案.
【详解】
设，对，不等式恒成立的等价条件为，又表示数轴上一点到两点的距离之和的倍，显然当时，，
则有，所以，得，
从而，所以的最大值为1.
故选：C.
本题主要考查绝对值不等式与恒成立问题的综合应用，较难.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、12
【解析】
直接根据圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积的关系计算得解.
【详解】
因为圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积相等，
所以此圆柱的侧面积为.
故答案为：12
本题主要考查圆柱的侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、
【解析】
由a比c长4，b比c长2，用c表示出a与b，可得出a为最大边，即A为最大角，可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，同时利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入，并根据最大角的余弦值，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【详解】
根据题意得：a=c+4，b=c+2，则a为最长边，
∴A为最大角，又cosA=，且A为三角形的内角，
，

整理得：，即(c−3)(c+2)=0，
解得：c=3或c=−2(舍去)，
∴a=3+4=7，b=3+2=5，
则△ABC的面积S=bcsinA=.
故答案为：.
余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
13、异面直线
【解析】
根据异面直线的定义，作出图形，即可求解，得到答案.
【详解】
如图所示，与不在同一平面内，也不相交，所以体对角线与棱是异面直线.

本题主要考查了异面直线的概念及其判定，其中熟记异面直线的定义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
14、.
【解析】
分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.
详解：∵

，故答案为.
点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
15、③④
【解析】
∵g（x）= [（﹣x）2﹣cos（﹣x）]= [x2﹣cosx]=g（x），
∴g（x）是偶函数，∴g（x）图象关于y轴对称，
∵g′（x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，
∴g（x）在（0，]上是增函数，在[﹣，0）是减函数，
故③x1＞|x2|；④时，g（x1）＞g（x2）恒成立，
故答案为：③④．
点睛：此题考查的是函数的单调性的应用；已知表达式，根据表达式判断函数的单调性，和奇偶性，偶函数在对称区间上的单调性相反，根据单调性的定义可知，增函数自变量越大函数值越大，减函数自变量越大函数值越小。
16、.
【解析】
试题分析：根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.
考点：同角三角函数的基本关系.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）原不等式等价于根据不等式的解集由根与系数的关系可得关于 的方程，解出的值，进而求得的解集；
（2）由对于一切的恒成立，可得，求出的最小值即可得到的取值范围．
【详解】
（1）原不等式等价于，
所以的解集为
则，，
所以等价于，即，所以，
所以不等式的解集为
（2）因为，由，得，
当且仅当时取等号.
本题主要考查了一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题和基本不等式，考查了方程思想和转化思想，属基础题．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由题意计算、，求出回归系数，写出线性回归方程；
（2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值．
【详解】
（1）由题意得：，，
，
.
故所求的线性回归方程为：.
（2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：
，，，，，，，，，，
所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为.
本题考查了线性回归方程的求解，考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理将，角化为边得，即，再由余弦定理求解
（2）根据，由正弦定理，求边b，又，然后代入公式求解.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得：，
即，
，
又，
.
（2）因为
由正弦定理得，
又，
所以.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20、（Ⅰ），（Ⅱ）千亿元.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，从而就可得到回归方程，
（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
试题解析： （1）列表计算如下
i

1

1

5

1

5

2

2

6

4

12

3

3

7

9

21

4

4

8

16

32

5

5

10

25

50

15

36

55

120

这里
又
从而.
故所求回归方程为.
（2）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
考点：线性回归方程.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）根据函数的解析式化简计算可得出；
（2）由（1）得，由，可得，并推导出函数为上的增函数，可得出，由为锐角可得出，由此可得出锐角的取值范围.
【详解】
（1），
；
（2）任取、，且，
，
，，，
所以，函数是上的增函数，
由（1）知：即，
由，得，
又，
即有，故有，即，
为锐角，则，，的取值范围是.
本题考查利用解析式化简计算，同时也考查了利用函数的单调性解不等式，涉及三角不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.