资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB向右平移5个单位长度后，点A、B恰好同时落在反比例函数（x＞0）的图象上，则等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2
5．获2019年度诺贝尔化学奖的“锂电池”创造了一个更清洁的世界．我国新能源发展迅猛，某种特型锂电池2016年销售量为8万个，到2018年销售量为97万个．设年均增长率为x，可列方程为（ ）
A．8（1+x）2＝97 B．97（1﹣x）2＝8 C．8（1+2x）＝97 D．8（1+x2）＝97
6．若，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．以上结论均不正确
7．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，其体温（℃）与时间（时）之间的关系如图所示．若y（℃）表示0时到t时内骆驼体温的温差（即0时到t时最高温度与最低温度的差）．则y与t之间的函数关系用图象表示，大致正确的是（）
A． B． C． D．
8．下列事件中，必然发生的为（ ）
A．奈曼旗冬季比秋季的平均气温低 B．走到车站公共汽车正好开过来
C．打开电视机正转播世锦赛实况 D．掷一枚均匀硬币正面一定朝上
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
10．解方程，选择最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
11．《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
12．如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③④当时，随的增大而减小．不正确的说法有( )
A．① B．①② C．①③ D．②④
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点、分别在的边、上，若，，．若，，则的长是__________．
14．已知且为锐角，则_____．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′ 的度数是______________.
16．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE＝2：5，连接DE交AB于F，则=_____________
17．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=3，那么正方形ABCD的面积是__________．
18．已知，则=__________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点，与轴交于点.
求二次函数的解析式；
点为轴下方二次函数图象上一点，连接，若的面积是面积的一半，求点坐标.
20．（8分）如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长之比为3：4，周长为40cm，求菱形的高及面积．
21．（8分）如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．
22．（10分）为了加强学校的体育活动，某学校计划购进甲、乙两种篮球，根据市场调研发现，如果购进甲篮球2个和乙篮球3个共需270元；购进甲篮球3个和乙篮球2个共需230元．
（1）求甲、乙两种篮球每个的售价分别是多少元？
（2）为满足开展体育活动的需求，学校计划购进甲、乙两种篮球共100个，由于购货量大，和商场协商，商场决定甲篮球以九折出售，乙篮球以八折出售，学校要求甲种篮球的数量不少于乙种篮球数量的4倍，甲种篮球的数量不多于90个，请你求出学校花最少钱的进货方案；
（3）学校又拿出省下的290元购买跳绳和毽子两种体育器材，跳绳10元一根，毽子5元一个，在把钱用尽的情况下，有多少种进货方案？
23．（10分）如图，抛物线与轴交于，两点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
（3）设抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时点的坐标.
24．（10分）如图，在坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点.直线.
抛物线的解析式为 .直线的解析式为 ；
若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的解析式；
设抛物线的顶点关于轴的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，如果直线与抛物线在轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形).请结合函数的图象，直接写出点的纵坐标的取值范围.
25．（12分）如图，已知反比例函数（x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：∆ACB∽∆NOM；
（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
26．（1）计算；
（2）解不等式．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，故选：B．
本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键.
2、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．
故选B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、D
【分析】根据点平移规律，得到点A平移后的点的坐标为（2,3），由此计算k值.
【详解】∵已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB向右平移5个单位长度后，
∴点A平移后的点坐标为（2,3），
∵点A、B恰好同时落在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴，
故选：D.
此题考查点平移的规律，点沿着x轴左右平移的规律是：左减右加；点沿着y轴上下平移的规律是：上加下减，熟记规律是解题的关键.
4、A
【解析】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，由此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0），所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，故选A.
5、A
【分析】2018年年销量=2016年年销量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：设年均增长率为x，可列方程为：
8（1+x）2＝1．
故选：A．
此题主要考查了根据实际问题列一元二次方程；得到2018年收入的等量关系是解决本题的关键．
6、B
【分析】利用互余两角的三角函数关系，得出．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于另一个锐角的余角的余弦值则这两个锐角互余．
7、A
【分析】选取4时和8时的温度，求解温度差，用排除法可得出选项．
【详解】由图形可知，骆驼0时温度为：37摄氏度，4时温度为：35℃，8时温度为：37℃
∴当t=4时，y=37－35=2
当t=8时，y=37－35=2
即在t、y的函数图像中，t=4对应的y为2，t=8对应的y为2
满足条件的只有A选项
故选：A
本题考查函数的图像，解题关键是根据函数的意义，确定函数图像关键点处的数值．
8、A
【分析】根据必然事件的定义选出正确选项．
【详解】解：A选项是必然事件；
B选项是随机事件；
C选项是随机事件；
D选项是随机事件．
故选：A．
本题考查必然事件和随机事件，解题的关键是掌握必然事件和随机事件的定义．
9、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
10、D
【解析】根据方程含有公因式，即可判定最适当的方法是因式分解法.
【详解】由已知，得方程含有公因式，
∴最适当的方法是因式分解法
故选：D.
此题主要考查一元二次方程解法的选择,熟练掌握,即可解题.
11、D
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可．
【详解】由题意可得，．
故选：D．
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
12、A
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系逐个判断即可．
【详解】二次函数的图象的开口向下，与y轴正半轴相交
，则①不正确
二次函数的对称轴为，与x轴的一个交点为
与x轴的另一个交点为
方程的根是，则②正确
二次函数的图象上，所对应的点位于第一象限，即
，则③正确
由二次函数的图象可知，当时，随的增大而减小，则④正确
综上，不正确的说法只有①
故选：A．
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系，掌握理解并灵活运用函数的性质是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由题意根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理和相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=65°，
∴∠C=180°-40°-65°=75°，
∴∠C=∠AED，
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴.
故答案为：．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型，难度较小．
14、2
【分析】根据特殊角的三角函数值，先求出，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴；
∴
=
=
=
=；
故答案为：2.
本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是正确求出，熟练掌握运算法则进行计算.
15、105°
【分析】根据旋转的性质得AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AB′B=∠ABB′，然后根据平行线的性质得到∠AB′B=∠C′AB′=75°，于是得到结论．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，
∴AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，∠C′AB′=∠CAB=75°，
∴△AB′B是等腰三角形，
∴∠AB′B=∠ABB′
∵BB'∥AC，
∴∠A B′B=∠C′AB′=75°，
∴∠C′AC=∠B′A B =180°-2×75°=30°，
∴∠BAC′=∠C′AC+∠BA C =30°+75°=105°，
故答案为：105°．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
16、9:4
【分析】先证△ADF∽△BEF，可知 ，根据BE：CE＝2：5和平行四边形的性质可得AD:BE的值，由此得解.
【详解】解：∵BE：CE=2：5，
∴BE：BC=2：3 ，即BC：BE=3：2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD：BE=3：2，△ADF∽△BEF，
∴.
故答案为：9:4.
本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质.熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.
17、1
【分析】由正方形的面积公式可求解．
【详解】解：∵AC=3，
∴正方形ABCD的面积=3×3×=1，
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是解题的关键．
18、
【分析】根据比例的性质，化简求值即可.
【详解】
故答案为：.
本题主要考察比例的性质，解题关键是根据比例的性质化简求值.
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）点坐标为或
【分析】（1）根据A、B、C三点坐标，运用待定系数法即可解答；
（2）由的面积是面积的一半，则D点的纵坐标为-3，令y=3，求得x的值即为D点的纵坐标.
【详解】解:
设D的坐标为（x，yD）
∵的面积是面积的一半
∴，
又∵点在轴下方，即.
令y=-3，即
解得:，，
∴点坐标为或
本题主要考查了求二次函数解析式和三角形的面积，确定二次函数解析式并确定△ABD的高是解答本题的关键.
20、菱形的高是9.6 cm，面积是96 cm1．
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出AC与BD的长，再由菱形面积公式求出所求即可．
【详解】解：∵BD：AC＝3：4，
∴设BD＝3x，AC＝4x，
∴BO＝，AO＝1x，
又∵AB1＝BO1+AO1，
∴AB＝x，
∵菱形的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm，即x＝10，
∴x＝4，
∴BD＝11cm，AC＝16cm，
∴S▱ABCD＝BD•AC＝×11×16＝96（cm1），
又∵S▱ABCD＝AB•h，
∴h＝＝9.6（cm），
答：菱形的高是9.6 cm，面积是96 cm1．
此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
21、cm
【分析】设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，由垂径定理可求出BD的长，再根据最深地方的高度是3cm得出OD的长，根据勾股定理即可求出OB的长．
【详解】解：设圆形切面的半径为，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，
则AD＝BD＝AB＝×10＝5cm，
∵最深地方的高度是3cm，
∴OD＝﹣3，
在Rt△OBD中，
OB2＝BD2+OD2，即＝52+（﹣3）2，
解得＝（cm），
∴输水管的半径为cm．
本题考查了垂径定理，构造圆中的直角三角形，灵活利用垂径定理是解题的关键.
22、（1）甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元；（2）花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个；（3）有28种进货方案．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）设学校计划购进甲种篮球m个，则学校计划购进乙种篮球（100−m）个；根据题意列不等式即可得到结论；
（3）设购买跳绳a根，毽子b个，根据题意得方程10a＋5b＝290，求得b＝58−2a＞0，解不等式即可得到结论．．
【详解】（1）设甲种篮球每个的售价为元，乙种篮球每个的售价为元．依题意，得
解得
答：甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元．
（2）设学校购进甲种篮球个，则购进乙种篮球个．
由已知，得.解得．
又，∴．
设购进甲、乙两种篮球学校花的钱为元，
则，
∴当时，取最小值，花最少钱为2990元．花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个．
（3）设购买跳绳根，毽子个，则，．
解得．
∵为正整数，
∴有28种进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答问题．
23、（1）y=x2﹣2x﹣1；（2）存在；M（1，﹣2）；（1）（1+2，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）.
【解析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（1，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=1，然后利用根与系数即可确定b、c的值；
（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=1代入即可得到点M的坐标；
（1）根据S△PAB=2，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，
∴﹣1+1=﹣b，
﹣1×1=c，
∴b=﹣2，c=﹣1，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣1．
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，
设直线BC的解析式为y=kx+t（k≠0），
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=﹣2，
∴抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；
（1）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=2，
∴AB•|yP|=2，
∵AB=1+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣1，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣1，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=2．
此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．
24、（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)将两点坐标直接代入可求出b，c的值，进而求出抛物线解析式为，得出C的坐标，从而求出直线AC的解析式为y=x+3.
(2)设直线的解析式为，直线与抛物线只有一个公共点，方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式即可求出b的值.
(3)抛物线的顶点坐标为（-1，4），关于y轴的对称点为M（1，4），可确定M在直线AC上，分直线不在直线下方和直线在直线下方两种情况分析即可得解.
【详解】解：将A，B坐标代入解析式得出b=-2，c=3,
∴抛物线的解析式为：
当x=0 时，y=3，C的坐标为（0，3），
根据A，C坐标可求出直线AC的解析式为y=x+3.
直线，
设直线的解析式为.
直线与抛物线只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
解得.
直线的解析式为.
.
解析：如图所示，，
抛物线的顶点坐标为.
抛物线的顶点关于轴的对称点为.
当时，，
点在直线上.
①当直线不在直线下方时，直线能与抛物线在第二象限的部分形成封闭图形.
当时，.
当直线与直线重合，即动点落在直线上时，点的坐标为.
随着点沿抛物线对称轴向上运动，图形逐渐变小，直至直线与轴平行时，图形消失，此时点与抛物线的顶点重合，动点的坐标是，
②当直线在直线下方时，直线不能与抛物线的任何部分形成封闭图形.
综上，点的纵坐标的取值范围是.
本题是一道二次函数与一次函数相结合的综合性题目，根据点坐标求出抛物线与直线的解析式是解题的关键.考查了学生对数据的综合分析能力，数形结合的能力，是一道很好的题目.
25、（1）；（2）证明见解析；（3），.
【解析】试题分析：（1）把 A 点坐标代入可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则，再根据反比例函数 解析式可得=n，则，而，可得，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得
△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB 与△NOM 的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．
试题解析：（1）∵（x＞0，k 是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵点 A（1，4），点 B（m，n），
∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，
∴，
∵B（m，n）在y=上，
∴=n，
∴，而，
∴，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB 与△NOM 的相似比为 2，
∴m-1=2，m=3，
∴B（3，），
设AB所在直线解析式为 y=kx+b，
∴，
解得，
∴AB的解析式为y=-x+．
考点：反比例函数综合题．
26、（1）0；（2）；
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案；（2）先把不等式①按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出其解集；再把不等式②按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出其解集，最后求出其公共解集即可；
【详解】解：
（1）原式＝
＝
＝0；
（2）
解不等式①得，x＞﹣4；
解不等式②得，；
∴原不等式组的解集是；
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组是解题的关键.
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