资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．设a，b是方程的两个实数根，则的值为
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
2．若点A(-3，m)，B(3,m)，C(-1，m+n²+1)在同一个函数图象上，这个函数可能是( )
A．y＝x+2 B． C．y＝x²+2 D．y＝-x²-2
3．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．下列运算中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．小马虎在计算16-x时，不慎将“-”看成了“+”，计算的结果是17，那么正确的计算结果应该是（ ）
A．15 B．13 C．7 D．
6．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
8．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（）
A． B． C． D．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且，则m的值是（ ）
A．或3 B．﹣3 C． D．
10．如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知在反比例函数图象的任一分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是______．
12．75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_____cm．
13．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点．若的面积为8，则的值为________．
14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝cm，则AB的长为_____．
15．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为_____．
16．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝______．
17．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为_____m．
18．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC, AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB．
20．（6分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝1；
（2）x（x+1）＝1．
21．（6分）国庆期间电影《我和我的祖国》上映，在全国范围内掀起了观影狂潮．小王一行5人相约观影，由于票源紧张，只好选择3人去A影院，余下2人去B影院，已知A影院的票价比B影院的每张便宜5元，5张影票的总价格为310元．
（1）求A影院《我和我的祖国》的电影票为多少钱一张；
（2）次日，A影院《我和我的祖国》的票价与前一日保持不变，观影人数为4000人．B影院为吸引客源将《我和我的祖国》票价调整为比A影院的票价低a%但不低于50元，结果B影院当天的观影人数比A影院的观影人数多了2a%，经统计，当日A、B两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，求a的值．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上.
（1）求直线的解析式.
（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，.当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值.
（3）点是线段的中点，将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（8分）用一根长12的铁丝能否围成面积是7的矩形？请通过计算说明理由.
24．（8分）为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：. 设这种产品每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．（10分）已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
26．（10分）某校在基地参加社会活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留有一个宽为3米的出入口，如图所示.如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位同学争议的情境：小军：把它围成一个正方形，这样的面积一定最大．小英：不对啦！面积最大的不是正方形．请根据上面信息，解决问题：
（1）设米（）．
① 米（用含的代数式表示）；
②的取值范围是 ；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】解：∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，a2+a﹣2017=0，
∴a2=﹣a+2017，
∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b=2017﹣1=1．
故选C．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，．也考查了一元二次方程的解．
2、D
【分析】先根据点A、B的坐标可知函数图象关于y轴对称，排除A、B选项；再根据点C的纵坐标大于点A的纵坐标，结合C、D选项，根据y随x的增减变化即可判断.
【详解】
函数图象关于y轴对称，因此A、B选项错误
又
再看C选项，的图象性质：当时，y随x的增大而减小，因此错误
D选项，的图象性质：当时，y随x的增大而增大，正确
故选：D.
本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题关键.
3、A
【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】：∵y=（x﹣2）2﹣3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-3）．
故选A.．
本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
4、C
【解析】试题分析：3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；和不是同类项，不能合并，B错误；，C正确；，D错误，故选C．
考点：合并同类项．
5、A
【详解】试题分析：由错误的结果求出x的值，代入原式计算即可得到正确结果．
解：根据题意得：16+x=17，
解得：x=3，
则原式=16﹣x=16﹣1=15，
故选A
考点：解一元一次方程．
6、C
【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【详解】解：A、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，此选项符合题意；
D、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．
7、D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
8、A
【分析】根据图形找到对边和斜边即可解题.
【详解】解：由网格纸可知,
故选A.
本题考查了三角函数的实际应用,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.
9、C
【分析】先利用判别式的意义得到m＞-，再根据根与系数的关系的x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-1，则（x1+x2）2-x1x2-17=0，所以（2m+1）2-（m2-1）-17=0，然后解关于m的方程，最后确定满足条件的m的值．
【详解】解：根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，
∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，
整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝﹣3，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
故选：C．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式．
10、A
【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后证明△ABD为等边三角形，得出BD=AB=2，再根据CD=BC-BD即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2，∠B=60°，
∴BC=2AB，BC2=AC2+AB2，∴4AB2=AC2+AB2，
∴AB=2，BC=4，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2，
故选：A．
此题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，解本题的关键是综合运用基本性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故答案为：．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．
12、1
【分析】由弧长公式：计算．
【详解】解：由题意得：圆的半径．
故本题答案为：1．
本题考查了弧长公式．
13、
【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．
【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，
∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．
的面积与四边形的面积相等，
∴四边形DEAB＝8，
设D点的横坐标为x，纵坐标就为
∵D为OB的中点．
∴
∴四边形DEAB的面积可表示为：
∴
故答案为：
本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
14、
【分析】根据题意过点C作CD⊥AB，根据∠B＝45°，得CD＝BD，根据勾股定理和BC＝得出BD，再根据∠A＝30°，得出AD，进而分析计算得出AB即可．
【详解】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．
∵∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵BC＝，
∴BD＝，
∵∠A＝30°，
∴tan30°＝，
∴AD＝＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝．
故答案为：．
本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．
15、（﹣2，1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
16、1
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，
所以x1+x2-x1x2=3-2=1．
故答案为：1．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ，x1x2=．
17、（7+6）
【解析】过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt△AEF中利用DF的长，求得线段AF的长；在Rt△BCE中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的长．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，
∵坝顶部宽为2m，坝高为6m，
∴DC=EF=2m，EC=DF=6m，
∵α=30°，
∴BE= （m），
∵背水坡的坡比为1.2：1，
∴，
解得：AF=5（m），
则AB=AF+EF+BE=5+2+6=（7+6）m，
故答案为（7+6）m．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
18、x1＝3，x2＝1
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、见解析
【解析】根据等边三角形性质得∠B=∠C，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证.
【详解】证明：ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°,
∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°,
∴∠CAD=∠BDE,
∴
考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.
20、（1）；（2）
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根据因式分解的性质，直接得到答案即可．
【详解】解：（1）x2﹣2x﹣3＝1
；
（2）
．
本题考查了解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21、（1）A影院《我和我的祖国》的电影票为60元一张；（2）a的值为1．
【分析】（1）设A影院《我和我的祖国》的电影票为x元一张，由5张影票的总价格为310得关于x的一元一次方程，求解即可；
（2）当日A、B两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，得关于a的方程，再设a%＝t，得到关于t的一元二次方程，解得t，然后根据题意对t的值作出取舍，最后得a的值．
【详解】解：（1）设A影院《我和我的祖国》的电影票为x元一张，由题意得：
3x+2（x+5）＝310
∴3x+2x＝300
∴x＝60
答：A影院《我和我的祖国》的电影票为60元一张；
（2）由题意得：
60×4000+60（1﹣a%）×4000（1+2a%）＝505200
化简得：2400（1﹣a%）（1+2a%）＝2652
设a%＝t，则方程可化为：2t2﹣t+0.105＝0
解得：t1＝1%，t2＝35%
∵当t1＝1%时，60×（1﹣1%）＝51＞50；
当t2＝35%时，60×（1﹣35%）＝39＜50，
故t1＝1%符合题意，t2＝35%不符合题意；
∴当t1＝1%时，a＝1．
答：a的值为1．
本题考查了一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，明确题意正确列式并对一元二次方程采用换元法求解，是解题的关键．
22、（1）；（2）3；（3）存在，点Q的坐标为或或或.
【解析】 【分析】（1）求出点A、B、 E的坐标，设直线的解析式为 ，将点A和点E的坐标代入即可；
（2）先求出直线CE解析式，过点P作 轴，交CE与点F，设点P的坐标为 ，则点F ，从而可表示出△EPC的面积，利用二次函数性质可求出x的值，从而得到点 P的坐标，作点K关于CD和CP 的对称点G、H，连接G、 H交CD和CP与N 、M，当点O、N、 M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝ GH，利用勾股定理求出GH即可；
(3)由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点 G的坐标，然后分为 三种情况讨论求解即可.
【详解】解：（1）
当时，
设直线的解析式为 ，将点A和点E的坐标代入得
解得
所以直线的解析式为 .
（2）设直线CE的解析式为 ，将点E的坐标代入得:
解得:
直线CE的解析式为
如图，过点P作轴，交 CE与点F
设点P的坐标为 ，则点F
则FP＝
∴当 时，△EPC的面积最大，
此时
如图2所示:作点K 关于CD和CP的对称点G 、H，连接G、H 交CD和CP与N 、M
K是CB的中点，
OD＝1， OC＝3
K是BC 的中点，∠OCB＝60°
点O与点K 关于CD对称
点G与点O 重合
∴点G(0，0)
点H与点K 关于CP对称
∴点H的坐标为
当点O、N、 M、H在条直线上时，KM+MN+NK 有最小值，最小值＝GH
的最小值为 3.
（3）如图
经过点D ，的顶点为点F
∴点
点G为 CE的中点，
当FG＝FQ时，点 或
当GF＝GQ时，点 F与点 关于直线 对称
点
当QG＝QF时，设点 的坐标为
由两点间的距离公式可得： ，解得
点 的坐标为
综上所述，点Q的坐标为 或 或 或
本题考查了二次函数的图像与性质的应用，涉及的知识点主要有待定系数法求一次函数的解析式、三角函数、勾股定理、对称的坐标变换、两点间的距离公式、等腰三角形的性质及判定，综合性较强，灵活利用点坐标表示线段长是解题的关键.
23、用一根长12的铁丝能围成面积是7的矩形，理由见解析
【分析】设这根铁丝围成的矩形的一边长为，然后根据矩形的面积公式列出方程，并解方程即可．
【详解】解：设这根铁丝围成的矩形的一边长为．
根据题意，得
解这个方程，得，
当时，；当时，
答：用一根长12铁丝能围成面积是7的矩形．
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用矩形的面积公式列方程是解决此题的关键．
24、（1）；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：.
（2），
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
25、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于1，即可得证．
（2）把x=1代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=1．
∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞1，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=1是此方程的一个根，
∴把x=1代入方程中得到m（m+1）=1，
∴m=1或m=-1，
∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-2=4m2-4m+1+9-m2+7m-2=3m2+3m+2，
把m=1代入3m2+3m+2得：3m2+3m+2=2；
把m=-1代入3m2+3m+2得：3m2+3m+2=3×1-3+2=2．
考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解．
26、（1）①；②；（2）小英的说法正确，理由见解析
【分析】(1)①根据题意表示出来即可;②由题意列出不等式解出即可.
(2)先用公式算出面积,再利用配方法求最值即可判断.
【详解】（1）①由题意得:.
∴答案为:.
②≥0,解得.
∴.
（2）小英的说法正确，理由是：
.
又在范围内，
当时，面积最大.
此时，而，
四边形不是正方形.
小英的说法正确.
本题考查二次函数的应用,关键在于通过题目找出等量关系列式解题.
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