资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是( )
A． B． C． D．
2．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE//BC，若AD＝2，DB＝1，AC＝6，则AE等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，二次函数的图象与轴交于点（4，0），若关于的方程 在的范围内有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．为测量如图所示的斜坡垫的倾斜度，小明画出了斜坡垫的侧面示意图，测得的数据有：，则该斜坡垫的倾斜角 的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为( )
A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2)
9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( )
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
10．求二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：①；②；③；④；⑤；其中，正确的结论有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若关于的方程的一个根是1，则的值为______.
12．已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 .
13．如图，的顶点和分别在轴、轴的正半轴上，且轴，点，将以点为旋转中心顺时针方向旋转得到，恰好有一反比例函数图象恰好过点，则的值为___________.
14．若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接)
15．已知是，则的值等于____________．
16．如图，在中，点是边的中点，⊙经过、、三点，交于点，是⊙的直径，是上的一个点，且，则___________．
17．若直线与函数的图象有唯一公共点，则的值为__ ;有四个公共点时，的取值范围是_
18．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知关于的方程.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．
20．（6分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的融合点.
例如：，，当点满是，时，则点是点，的融合点，
（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点，的融合点.
①试确定与的关系式.
②若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.
21．（6分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于(0，)，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点F为线段AC上一动点，过点F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为点E，G，当四边形OEFG为正方形时，求出点F的坐标；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）春节前，某超市从厂家购进某商品，已知该商品每个的成本价为30元，经市场调查发现，该商品每天的销售量 (个)与销售单价 (元) 之间满足一次函数关系，当该商晶每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个．
（1）与之间的函数关系式为__________________(不要求写出的取值范围) ；
（2）若超市老板想达到每天不低于220个的销售量，则该商品每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
23．（8分）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价元时，日盈利为元.据此规律，解决下列问题：
（1）降价后每件商品盈利 元，超市日销售量增加 件（用含的代数式表示）；
（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？
24．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．
25．（10分）对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．
（1）填空：
①原点O与线段BC的“近距离”为 ；
②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为 ；
（2）已知抛物线C：，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；
（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0º<α≤180º），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．
26．（10分）已知为实数，关于的方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围．
（2）若，试求的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，
在△EBO与△FDO中，
，
∴△EBO≌△FDO，
∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABCD．
故选B．
本题考查了矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
2、D
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.
【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.
3、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到AE的长．
【详解】解：∵DE//BC
∴AE：AC＝AD：AB，
∵AD＝2，DB＝1，AC＝6，
∴，
∴AE＝4，
故选：C．
本题考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
4、B
【分析】将点 (1，0)代入函数解析式求出b=1，即要使在的范围内有实根，即要使在的范围内有实根，即要使二次函数与一次函数y=t在的范围内有交点，求出时，二次函数值的范围，写出t的范围即可．
【详解】将x=1代入函数解析式可得：0=－16+1b，
解得b=1，
二次函数解析式为：，
要使在的范围内有实根，
即要使二次函数与一次函数y=t在的范围内有交点，
二次函数对称轴为x=2，且当x=2时，函数最大值y=1，
x=1或x=3时，y=3，
3<y≤1．
3<t≤1．
故选：B．
本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，数形结合，将方程有实根的问题转化为函数的交点问题是解题关键．
5、A
【分析】利用正弦值的概念，的正弦值=进行计算求解.
【详解】解：∵
∴在Rt△ABC中，
故选：A.
本题考查锐角三角函数的概念，熟练掌握正弦值的概念，熟记的正弦值=是本题的解题关键.
6、B
【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行依次判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7、D
【解析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形．
【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，
故选：D．
本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．
8、C
【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选C．
本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．
9、B
【详解】∵α是锐角，
∴cosα>0，
∵cosα<，
∴0<cosα<，
又∵cos90°=0,cos45°=，
∴45°<α<90°；
∵α是锐角，
∴tanα>0，
∵tanα<，
∴0<tanα<，
又∵tan0°=0,tan60°=，
0<α<60°；
故45°<α<60°.
故选B.
本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键
10、C
【分析】由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴为直线得＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，则abc＜0；由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜＜-2；抛物线的对称轴为直线，且c＜-1，时，；抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，，当得：，且，∴，即；对称轴为直线得,由于时，，则0,所以0,解得,然后利用得到.
【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，
所以①错误；
∵抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为，由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜＜-2，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且c＜-1，∴当时，, 所以③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，，
当代入得：，
∵，∴，即,所以④错误；
∵对称轴为直线，∴,
∵由于时，，∴0,所以0,解得,
根据图象得，∴，所以⑤正确.
所以②③⑤正确, 故选C．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x轴、y轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线开口方向；c的符号由抛物线与y轴的交点的位置确定；b的符号由a及对称轴的位置确定；当x＝1时，y＝；当时，.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、－6
【分析】把x=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值．
【详解】把代入方程得到，解得.
故答案为：−6.
本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入并求值是解题的关键.
12、15.6
【解析】试题分析：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
考点：折线统计图；中位数
13、-24
【分析】先根据图形旋转的性质得BD=BA，∠DBA=90°，再得出轴，然后求得点D的坐标，最后利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可.
【详解】设DB与轴的交点为F，如图所示：
∵以点为旋转中心顺时针方向旋转得到，点，轴
∴BD=BA=6，∠DBA=90°
∴轴
∴DF=6-2=4
∴点D的坐标为（-4,6）
∵反比例函数图象恰好过点
∴，解得：
故填：
本题主要考查坐标与图形变化-旋转、待定系数法求反比例函数解析式，根据图形旋转的性质得出点D的坐标是关键.
14、a＜b＜c
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.
【详解】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上，
∴点离对称轴距离越远函数值越大，
∵-1-（-2）=1，
1-（-1）=2，
2-（-1）=3，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c.
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键.
15、
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a-b与ab的关系，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴
则，
故对答案为：．
此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16、1
【分析】根据题意得到△BDC是等腰三角形，外角和定理可得∠ADC也就是要求的∠AFC．
【详解】连接DE，
∵CD是⊙的直径，
∴∠DEC＝90°，DE⊥BC，
∵E是BC的中点，
∴DE是BC的垂直平分线，则BD＝CD，
∴∠DCE＝∠B＝24°，
∴∠ADC＝∠DCE＋∠B＝1°，
∴∠AFC＝∠ADC＝1°，
故填：1．
本题考查了线段垂直平分线的性质、外角和定理、同弧所对的圆周角相等，综合性较强，是中考填空题、选择题的常见题型．
17、-3
【分析】根据函数y=|x2-2x-3|与直线y=x+m的图象之间的位置关系即可求出答案．
【详解】解：作出y=|x2-2x-3|的图象，如图所示，
∴y=，
当直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象只有1个交点时，
直线经过点（3，0），将（3，0）代入直线y=x+m，
得m=-3，
联立，
消去y后可得：x2-x+m-3=0，
令△=0，
可得：1-4（m-3）=0，
m=，
即m=时，直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象只有3个交点，
当直线过点（-1，0）时，
此时m=1，直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象只有3个交点，
∴直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象有四个公共点时，m的范围为：，
故答案为：-3，.
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
18、（2，﹣3）
【分析】根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．
【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.
试题解析：（1）∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜1，
∴a的取值范围是a＜1；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣1．
20、（1）点是点，的融合点；（2）①，②符合题意的点为， .
【解析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.
（2）①由题中融合点的定义可得，.
②结合题意分三种情况讨论：（ⅰ）时，画出图形，由融合点的定义求得点坐标；（ⅱ）时，画出图形，由融合点的定义求得点坐标；（ⅲ）时，由题意知此种情况不存在.
【详解】（1）解：，
∴点是点，的融合点
（2）解：①由融合点定义知，得．
又∵，得
∴，化简得．
②要使为直角三角形，可分三种情况讨论：
（i）当时，如图1所示，
设，则点为．
由点是点，的融合点，
可得或，
解得，∴点．
（ii）当时，如图2所示，
则点为．
由点是点，的融合点，
可得点．
（iii）当时，该情况不存在．
综上所述，符合题意的点为，
本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
21、（1）y=﹣x2+；（2）（1，1）；（3）当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．
【解析】试题分析：（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．
试题解析：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴抛物线的顶点为（0，），
故抛物线的解析式可设为y=ax2+．
∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，
∴a+=2，
解得a=﹣，
∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，
令y=0得，﹣x2+=0，
解得：x1=3，x2=﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有，
解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+．
设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．
∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，
∴﹣p+=p，
解得p=1，
∴点F的坐标为（1，1）．
②当点F在第二象限时，
同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），
此时点F不在线段AC上，故舍去．
综上所述：点F的坐标为（1，1）；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，
则OD=t，OE=t+1．
∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．
当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．
当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．
在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．
在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，
∴MN2=12+（）2=．
①当DN=DM时，
（﹣t+）2=t2﹣t+2，
解得t=；
②当ND=NM时，
﹣t+=，
解得t=3﹣；
③当MN=MD时，
=t2﹣t+2，
解得t1=1，t2=3．
∵0≤t≤2，∴t=1．
综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．
考点：二次函数综合题.
22、（1）；（2）该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元
【分析】(1)设y=kx+b，再根据每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个，列方程组，从而确立y与x的函数关系为y=−10x+700；
(2)设利润为W，则，将其化为顶点式，由于对称轴直线不在之间，应说明函数的增减性，根据单调性代入恰当自变量取值，即可求出最大值．
【详解】解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y=−10x+700.
故答案为.
(2)设每天销售利润为元，由题意得
由于，得
∴
又，．当时， 随着的增大而增大
∴当时，取最大值，最大值为
答：该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元.
本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数图象的对称性及增减性分析解决实际问题的能力．
23、（1）(30-x);10x；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元.
【分析】（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x元，超市平均每天可多售出10x件；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w，化为一般式后，再配方可得出结论．
【详解】解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x件；
（2）设每件商品降价x元时，利润为w元
根据题意得：w=(30-x)(100+10x)= -10x2+200x+3000=-10(x-10)2+4000
∵-10<0，∴w有最大值，
当x=10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；
答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w关于x的二次函数解析式是解题的关键．
24、见解析
【分析】由旋转前后图形全等的性质可得AC＝AF，由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得EF＝BC．
【详解】证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF，
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
本题主要考查的是旋转前后图形全等的性质以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键.
25、（1）①2；②；（2）或；（3）点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．
【分析】（1）①由垂线段最短，即可得到答案；
②根据题意，找出正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，的临界点，然后分别求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范围；
（2）根据题意，抛物线与△ABC的“近距离”为1时，可分为两种情况：当点C到抛物线的距离为1，即CD=1；当抛物线与线段AB的距离为1时，即GH=1；分别求出a的值，即可得到答案；
（3）根据题意，取AB的中点F，连接EF，求出EF的长度，然后根据题意，求出点F，点Q的坐标，求出FQ的长度，即可得到EQ的长度，即可得到答案．
【详解】解：（1）①∵B（9，2），C（，2），
∴点B、C的纵坐标相同，
∴线段BC∥x轴，
∴原点O到线段BC的最短距离为2；
即原点O与线段BC的“近距离”为2；
故答案为：2；
②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），
∴线段BC∥x轴，线段AC∥y轴，
∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，
当点N与点O重合时，点N与线段AC的最短距离为1，
则正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，
此时m为最小值，
∵正方形的边长为，
由勾股定理，得：，
∴，（舍去）；
当点Q到线段AB的距离为1时，此时m为最大值，如图：
∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形，
∴QM=，
∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=9，
∵△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=7，
∴m的最大值为：，
∴m的取值范围为：；
故答案为：；
（2）抛物线C：，且，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，
由题可知，点C与抛物线的距离为1时，如图：
∵点C的坐标为（，2），
∴但D的坐标为（，3），
把点D代入中，有
，
解得：；
当线段AB与抛物线的距离为1时，近距离为1，如图：即GH=1，
点H在抛物线上，过点H作AB的平行线，线段AB与y轴相交于点F，作FE⊥EH，垂足为E，
∴EF=GH=1，
∵∠FDE=∠A=45°，
∴，
∵点A（-1，-8），B（9，2），设直线AB为，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
∴直线EH的解析式为：；
∴联合与，得
，
整理得：，
∵直线EH与抛物线有一个交点，
∴，
解得：；
综合上述，a的值为：或；
（3）由题意，取AB的中点F，连接EF，如图：
∵点A（-1，-8），B（9，2），
∴，
在中，F是AD的中点，点E是的中点，
∴，
∵点D的坐标为（5，-2），A（-1，-8），
∴点F的坐标为（2，），
∵在正方形PNMQ中，中心点的坐标为（5，），
∴点Q的坐标为（6，），
∴，
∴；
∴点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．
本题考查了图形的运动问题和最短路径问题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的平移，勾股定理，旋转的性质，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，作出临界点的图形，从而进行分析．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．难度很大，是中考压轴题．
26、（1）.（2）-3.
【分析】（1）把方程化为一般式，根据方程有两个实数根，可得，列出关于的不等式，解出的范围即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得， ，再将原等式变形为 ，然后整体代入建立关于的方程，解出值并检验即可.
【详解】（1）解：原方程即为．
，
∴ ． ∴．
∴；
（2）解：由根系关系，得，
∵,
∴
∴．即．
解得，或
∵
∴.
故答案为（1）.（2）-3.
本题考查一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．
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