资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34° B．46° C．56° D．66°
2．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3的值为( )
A．35 B．70 C．140 D．290
4．如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：5，则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为（ ）
A．3：5 B．3：8 C．9：25 D．：
5．下列事件中，必然发生的是 （ ）
A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
6．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
7．平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
8．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣2， 1） B．（1，﹣2） C．（2，-1） D．（-1，2）
9．将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A．y=2(x+1)2+3 B．y=2(x－1)2－3
C．y=2(x+1)2－3 D．y=2(x－1)2+3
10．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图,在一个正方形围栏中均为地散步着许多米粒，正方形内有一个圆(正方形的内切圆)一只小鸡在围栏内啄食,则小鸡正在圆内区域啄食的概率为________.
12．一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是5”的概率是___________．
13．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，则的值是__________．
14．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD=弧CD．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝_____．
15．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
16．如图，点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC=8，若AB=m（m为整数），则整数m的值为______．
17．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是______________．
18．若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）三台县教育和体育局为帮助万福村李大爷“精准脱贫”，在网上销售李大爷自己手工做的竹帘，其成本为每张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张.为了吸引更多顾客，采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5张.设每张竹帘的售价为元（为正整数），每月的销售量为张．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内？
20．（6分）已知：如图，在半径为的中，、是两条直径，为的中点，的延长线交于点，且，连接。.
（1）求证：;
（2）求的长.
21．（6分）已知二次函数.
（1）用配方法求出函数的顶点坐标；
（2）求出该二次函数图象与轴的交点坐标。
（3）该图象向右平移 个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点.请直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标为 .
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
23．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示, 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求的面积的最大值;
(3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点,求出点的坐标;并探究:在轴上是否存在点,使?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由．
24．（8分）已知，如图1，在中，对角线，，，如图2，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作交于点；将沿对角线剪开，从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）设四边形的面积为，试确定与的函数关系式；
（3）当为何值时，有最大值？
（4）连接，试求当平分时，四边形与四边形面积之比．
25．（10分）为倡导绿色出行，某市推行“共享单车”公益活动，在某小区分别投放甲、乙两种不同款型的共享单车，甲型、乙型单车投放成本分别为元和元，乙型车的成本单价比甲型车便宜元，但两种类型共享单车的投放量相同，求甲型共享单车的单价是多少元？
26．（10分）树AB和木杆CD在同一时刻的投影如图所示，木杆CD高2m，影子DE长3m；若树的影子BE长7m，则树AB高多少m？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选：C．
此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
2、D
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选D．
此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
3、D
【分析】由题意得，将所求式子化简后，代入即可得.
【详解】由题意得：，即
又
代入可得：原式
故选：D.
本题考查了长方形的周长和面积公式、多项式的因式分解、以及完全平方公式，熟练掌握相关内容是解题的关键.
4、C
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝3：5，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝3：5，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：9：1．
故选：C．
本题考查位似的性质，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得，位似图形即特殊的相似图形，运用相似图形的性质是解题的关键.
5、B
【解析】A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．
6、B
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解．
【详解】解：∵直径AB⊥弦CD
∴CE＝DE
故选B.
本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成．
7、B
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：，顶点坐标是（-1，-4）．
，顶点坐标是（1，-4）．
所以将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，
故选：B．
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律和变化特点.
8、D
【解析】解：点M（1，﹣2）与点N关于原点对称，
点N的坐标为
故选D.
本题考查关于原点对称的点坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数.
9、A
【分析】抛物线平移不改变a的值．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+1．
故选：A．
10、A
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】设正方形的边长为a，再分别计算出正方形与圆的面积，计算出其比值即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则S正方形=a2，
因为圆的半径为，
所以S圆=π()2=，
所以“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为：
故答案为：
本题考查几何概率，掌握正方形面积公式正确计算是解题关键．
12、
【分析】“正面朝上的数字是5”的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【详解】解：∵抛掷六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子共有6种结果，其中“正面朝上的数字是5”的只有1种，
∴“正面朝上的数字是5”的概率为，
故答案为：．
此题主要考查了概率公式的应用，概率等于所求情况数与总情况数之比．
13、
【分析】将点B的坐标代入反比例函数求出k，再将点A的坐标代入计算即可；
【详解】（1）将代入得，k＝=-6，
所以，反比例函数解析式为，
将点的坐标代入得
所以m＝，
故填：.
此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法求解析式.
14、25°
【分析】先求出∠ABC＝50°，进而判断出∠ABD＝∠CBD＝25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【详解】解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵弧AD=弧CD
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝25°，
∴∠CAD＝∠CBD＝25°．
故答案为：25°．
本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线.
15、16 cm
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．
故答案为：16.
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
16、6或1
【分析】因为直径所对圆周角为直角，所以ABC的边长可应用勾股定理求解，其中，且AC+BC=8，即可求得，列出关于BC的函数关系式，再根据二次函数的性质和三角形的三边关系得出的范围，再根据题意要求AB为整数，即可得出AB可能的长度．
【详解】解：∵直径所对圆周角为直角，故ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理可得，，即，
又∵AC+BC=8，∴AC=8-BC
∴
∵
∴当BC=4时，的最小值=32，∴AB的最小值为
∵
∴
∵AB=m
∴
∵m为整数
∴m=6或1，
故答案为：6或1．
本题主要考察了直径所对圆周角为直角、勾股定理、三角形三边关系、二次函数的性质，解题的关键在于找出AB长度的范围．
17、=31.1
【分析】根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．
【详解】根据题意，得：
=31.1
故答案为：=31.1．
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的．
18、30°或150°
【解析】与半径相等的弦与两条半径可构成等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为60，而弦所对的圆周角两个，根据圆内接四边形对角互补可知，这两个圆周角互补，其中一个圆周角的度数为 ，所以另一个圆周角的度数为150.
故答案为30°或150°.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）．
【分析】（1）根据“销售单价每降1元，则每月可多销售5张”写出与的函数关系式即可；
（2）根据题意，利用利润=每件的利润×数量即可得出w关于x的表达式，再利用二次函数的性质即可得到最大值；
（3）先求出每月利润为4220元时对应的两个x值，再根据二次函数的图象和性质即可得出答案．
【详解】（1）由题意可得：整理得；
（2）由题意，得：
∵.
∴有最大值
即当时，
∴应降价（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
解之，得：，，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴．
本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质以及一元二次方程的解法是解题的关键．
20、（1）证明见解析； （1）EM=4.
【解析】（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（1）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度．
【详解】（1）连接AC、EB．
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，∴△AMC∽△EMB，∴，∴AM•BM=EM•CM；
（1）∵DC是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴DE1+EC1=DC1．
∵DE，CD=8，且EC为正数，∴EC=2．
∵M为OB的中点，∴BM=1，AM=3．
∵AM•BM=EM•CM=EM•（EC﹣EM）=EM•（2﹣EM）=11，且EM＞MC，∴EM=4．
本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理的知识点，解答本题的关键是根据已知条件和图形作辅助线．
21、（1）（-1,8）；（2）和；（3）3；（4,0）
【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，然后求顶点坐标即可；
（2）将y=0代入，求出x的值，即可求出该二次函数图象与轴的交点坐标；
（3）根据坐标与图形的平移规律即可得出结论．
【详解】解：（1）
∴二次函数的顶点坐标为（-1,8）；
（2）将y=0代入，得
解得：
∴该二次函数图象与轴的交点坐标为和；
（3）∵向右平移3个单位后与原点重合
∴该图象向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，
此时也向右平移了3个单位，平移后的坐标为（4,0）
即平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标为（4,0）
故答案为：3；（4,0）．
此题考查的是求二次函数的顶点坐标、二次函数与x轴的交点坐标和坐标与图形的平移规律，掌握将二次函数的一般式化为顶点式、求二次函数与x轴的交点坐标和坐标与图形的平移规律是解决此题的关键．
22、（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可．
（2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可．
【详解】（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．
（2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长；
所以
本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式的计算，作出正确的图形是解本题的关键．
23、（1）；（2）当时，最大值为；（3）存在，点坐标为，理由见解析
【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；
(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,设P求出关于n的函数式，从而求S△PAB的最大值.
(3) 求点D的坐标，设D,过D做DG垂直于AC于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点,使?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q点.
【详解】解：抛物线顶点为
可设抛物线解析式为
将代入得
抛物线，即
连接，
设点坐标为
当时，最大值为
存在，设点D的坐标为
过作对称轴的垂线，垂足为,
则
在中有
化简得
（舍去），
∴点D(,-3)
连接，在中
在以为圆心，为半径的圆与轴的交点上
此时
设点为(0,m), AQ为的半径
则AQ²=OQ²+OA², 6²=m²+3²
即
∴
综上所述，点坐标为
故存在点Q，且这样的点有两个点.
(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；
(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.
(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.
24、（1），（2）四边形AHGD
（3）当 四边形的面积最大，最大面积为
（4）
【分析】（1）由题意得：利用垂直平分线的性质得到：列方程求解即可，
（2）四边形AHGD分别求出各图形的面积，代入计算即可得到答案，
（3）利用（2）中解析式，结合二次函数的性质求最大面积即可，
（4）连接 过作于 从而求解此时时间，分别求解四边形EGFD和四边形AHGE的面积，即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，由题意得：
及平移的性质，
点在线段的垂直平分线上，
当时，点在线段的垂直平分线上．
（2） ，，,
又
点在上，
四边形AHGD
（）
（3） 四边形AHGD 且
抛物线的对称轴是：
时，随的增大而增大，
当 四边形的面积最大，最大面积为：
（4）如图，连接 过作于
平分
此时：
由
四边形EGFD
四边形ABGE
四边形AHGE.
四边形EGFD:四边形AHGE
本题考查的是平行四边形中几何动态问题，考查了线段的垂直平分线的性质，图形面积的计算，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
25、甲型共享单车的单价是元．
【分析】设甲型共享单车的单价是元，根据两种类型共享单车的投放量相同列方程求解即可．
【详解】解：设甲型共享单车的单价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
原方程的解是，
答：甲型共享单车的单价是元．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
26、树AB高m
【分析】根据树和标杆平行列出比例式代入相关数据即可求解．
【详解】解：∵AB与CD平行，
∴AB：BE＝CD：DE，
∴AB：7＝2：3，
解得AB＝
故树AB高m．
考核知识点：平行投影.理解平行投影性质是关键.
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