资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，二次函数的最大值为3，一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．m≥3 B．m≥-3 C．m≤3 D．m≤-3
2．如图，中，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为则图中涂色部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的分式方程有整数解，那么所有满足条件的的和是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝55°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
5．如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（ ）
A． B． C． D．0
6．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（ ）
……
-3
-2
-1
0
1
……
……
-17
-17
-15
-11
-5
……
A． B． C． D．
7．一元二次方程的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝-2 B．x＝-2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
8．如图，的半径为，圆心到弦的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票,座号是“7排8号” B．射击运动员射击一次,恰好命中靶心
C．抛掷一枚图钉,钉尖触地 D．13名同学中,至少2人出生的月份相同
10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有________．
12．已知：，则 的值是_______.
13．如图，在直角坐标系中，点，点，过点的直线垂直于线段，点是直线上在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为，把沿翻折，使点落在点处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为__________．
14．已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A，B，C，D按顺时针方向排列)中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的度数为____________．
15．如图，是的直径，点、在上，连结、、、，若，，则的度数为________.
16．已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是____.
17．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，且DEBC，BD＝AE，若AB＝12cm，AC＝24cm，则AE＝_____．
18．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这6个数中任意取出一个数记作k，则既能使函数y＝的图象经过第一、第三象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根的概率为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图，是正方形的对角线上的两点，且.
求证：四边形是菱形.
20．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝1．
21．（6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加____件，每件商品，盈利______元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
22．（8分）已知＝，求的值．
23．（8分）在校园文化艺术节中，九年级（1）班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖.
（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，恰好选到男生是 事件（填随机或必然），选到男生的概率是 .
（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图的方法，求刚好是一男生和一女生的概率.
24．（8分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别是、，为顶点．
（1）求、的值和顶点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：
用电量
90
93
102
113
114
120
天数
1
1
2
3
1
2
（1）该校这10天用电量的众数是 度，中位数是 度；
（2）估计该校这个月的用电量（用30天计算）.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】方程ax2+bx+c-m=0有实数相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．
【详解】方程ax2+bx+c-m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又∵图象最高点y=3，
∴二次函数最多可以向下平移三个单位，
∴m≤3，
故选：C．
本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．
2、A
【分析】先根据勾股定理得到AB，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是．
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴，
∴，
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴．
故选：A
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．
3、A
【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的取值范围，综合考虑确定a的值，再求和即可.
【详解】解不等式组得：
∵至少有4个整数解
∴，解得
分式方程去分母得
解得：
∵分式方程有整数解，a为整数
∴、、、
∴、、、、、、、
∵，
∴
又∵
∴或
满足条件的的和是-13，
故选A.
本题考查了不等式组与分式方程，解题的关键是解分式方程时需要舍去增根的情况.
4、B
【分析】由点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠BAC＝55°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝110°．（圆周角定理）
故选：B．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半
5、B
【分析】在通往图书馆的路口有3条路，一次只能选一条路，则答案可解．
【详解】在通往图书馆的路口有3条路，一次只能选一条路，她能一次选对路的概率是
故选：B．
本题主要考查随机事件的概念，掌握随机事件概率的求法是解题的关键．
6、B
【分析】当和时，函数值相等，所以对称轴为
【详解】解：根据题意得，当和时，函数值相等，
所以二次函数图象的对称轴为直线
故选B
本题考查了二次函数的性质.
7、A
【分析】首先将原方程移项可得，据此进一步利用直接开平方法求解即可.
【详解】原方程移项可得：，
解得：，，
故选：A.
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握相关方法是解题关键.
8、D
【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB=2CA，代入求出即可.
【详解】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
则OC=6，OA=10，由勾股定理得：
，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AB=2AC=16，
故选D．
本题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，正确作出辅助线是关键.
9、D
【分析】根据必然事件的定义即可得出答案.
【详解】ABC均为随机事件，D是必然事件，故答案选择D.
本题考查的是必然事件的定义：一定会发生的事情.
10、A
【分析】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM=BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=，
在Rt△DMH中，DM===，
∵CM∥AD，
∴==，
∴P′M= DM=．
故选A．
本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6
【解析】符合条件的最多情况为：
即最多为2+2+2=6
12、
【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
【详解】解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0),
故：，
故答案：.
此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.
13、或
【分析】求出直线l的解析式，证出△AOB∽△PCA，得出，设AC=m（m＞0），则PC=2m，根据△PCA≌△PDA，得出 ，当△PAD∽△PBA时，根据，，得出m=2，从而求出P点的坐标为（4，4）、（0，-4），若△PAD∽△BPA，得出，求出，从而得出，求出，即可得出P点的坐标为．
【详解】∵点A（2，0），点B（0，1），
∴直线AB的解析式为y=-x+1
∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，
∴直线l的解析式为；y=2x-4，∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x轴，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴，
∴，
设AC=m（m＞0），则PC=2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC=AD，PC=PD，
∴，
如图1：当△PAD∽△PBA时，
则，
则，
∵AB=，
∴AP=2，
∴，
∴m=±2，（负失去）
∴m=2，
当m=2时，PC=4，OC=4，P点的坐标为（4，4），
如图2，若△PAD∽△BPA，
则，
∴，
则，
∴m=±，（负舍去）
∴m=，
当m=时，PC=1，OC=，
∴P点的坐标为（，1），
故答案为：P（4，4），P（，1）．
此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点．
14、80°或100°
【解析】作出图形，证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，分类讨论可得解.
【详解】∵AB＝BC，∠ABC＝100°，
∴∠1＝∠2＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC.点D的位置有两种情况：
如图①，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∵∠1＝∠CAD，
∴CE＝CF，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴∠ACE＝∠ACF.
在Rt△BCE与Rt△DCF中，，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∴∠BCD＝80°；
如图②，
∵AD′∥BC，AB＝CD′，
∴四边形ABCD′是等腰梯形，
∴∠BCD′＝∠ABC＝100°，
综上所述，∠BCD＝80°或100°，
故答案为80°或100°.
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，同时注意分类思想的应用．
15、°
【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB=90°，根据同圆或等圆中，弦相等得到弧相等得到圆周角相等，得到∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠ABD的度数，即可得出结论．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°．
∵BD=CD，
∴弧BD=弧CD，
∴∠A=∠DBC=20°，
∴∠ABD=90° -20°=70°，
∴∠ABC=∠ABD-∠DBC=70°-20°=50°．
故答案为：50°．
本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角为90°．
16、x≤1
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
随增大而增大时，的取值范围是
故答案为
17、1cm
【分析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进行代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵DE//BC，
∴，即，
解得：AE＝1．
故答案为：1cm．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18、．
【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k值，找到同时满足两个条件的k的值即可．
【详解】解：这6个数中能使函数y＝的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数，
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根，
∴k2﹣4≥0，
解得k≤﹣2或k≥2，
能满足这一条件的数是：﹣3、﹣2、2这3个数，
∴能同时满足这两个条件的只有2这个数，
∴此概率为，
故答案为：．
三、解答题(共66分)
19、见解析
【解析】连接AC，交BD于O，由正方形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD根据BE=DF可得OE=OF，由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定，
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∵OA=OC，AC⊥EF，OE=OF，
∴四边形AECF为菱形．
本题考查了正方形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形的判定，对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键.
20、化简为，值为
【分析】先将分式化简,再把值代入计算即可．
【详解】原式＝
＝，
当a＝1时，
原式＝．
本题考查分式的化简求值,关键在于熟练掌握化简方法．
21、（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
（2）2x；50﹣x．
（3）每件商品降价1元时，商场日盈利可达到2000元．
【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【详解】（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50-x）元．
故答案为2x；50-x．
（3）根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，
整理，得：x2-35x+10=0，
解得：x1=10，x2=1，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=1．
答：每件商品降价1元时，商场日盈利可达到2000元．
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．
22、-7
【分析】根据等式的性质可得＝b，再根据分式的性质可得答案．
【详解】解：由＝，得＝b．
∴
本题考查了比例的性质和分式性质，利用等式性质求得＝b是解题关键．
23、（1）随机，；（2）树状图见解析，
【分析】（1）根据随机事件的概念可知该事件为随机事件，选到男生的概率用男生的人数除以总人数即可；
（2）用树状图列出所有情况，找到一男一女的情况，用一男一女的情况数除以总数即可求出概率.
【详解】解：（1）随机，
男生共3名，总人数为7名，所以选到男生的概率为
故答案为随机，
（2）树状图如图所示
由图可知，共有12种等可能结果，其中刚好是一男生一女生的结果数为6，
∴.
本题主要考查树状图或列表法求随机事件的概率，掌握树状图或列表法是解题的关键.
24、（1）；（2）200；（3）150元, 最高利润为5000元,
【分析】（1）总利润=每台的利润销售台数，根据公式即可列出关系式；
（2）将y=4800代入计算即可得到x的值，取x的较大值；
（3）将（1）的函数关系式配方为顶点式，即可得到答案.
【详解】（1）由题意得： ；
（2）将y=4800代入，
∴，
解得x1=100，x2=200，
要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以x=200，
故每台冰箱降价200元
（3），
每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润为5000元
此题考查二次函数的实际应用，熟记销售问题的售价、进价、利润三者之间的关系是解题的关键.
25、（1），，(-1，4)；（2）在y轴上存在点D (0，3)或D (0，1)，使△ACD是以AC为斜边的直角三角形
【分析】(1)把A(-3，0)，B(1，0)代入解方程组即可得到结论；
(2)过C作CE⊥y轴于E，根据函数的解析式求得C(-1，4)，得到CE=1，OE=4，设，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)把A(−3,0)、B(1,0)分别代入，
，
解得：，，
则该抛物线的解析式为：，
∵，
所以顶点的坐标为(，)；
故答案为：，，顶点的坐标为(，)；
(2)如图1，过点作⊥轴于点，
假设在轴上存在满足条件的点，
设(0，)，则，
∵，
∴，，,，
由∠90得∠1∠290，
又∵∠2∠390，
∴∠3∠1，
又∵∠CED∠DOA90，
∴△∽△，
∴，
则，
变形得，
解得，．
综合上述：在y轴上存在点(0，3)或(0，1)，使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
26、（1）113；113；（2）3240度.
【分析】（1）分别利用众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的计算方法计算出平均用电量，再乘以总用电天数即可得解．
【详解】解：（1）113度出现了3此,出现的次数最多，故众数为113度；
将数据按从小到大的顺序排列，共10个数据，位于第5,6的数均为113，故中位数为113度；
（2）（度）．
答：估计该校该月的用电量为3240度．
本题考查的知识点是中位数、众数的概念定义以及算数平均线的计算方法，属于基础题目，易于理解掌握．
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